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1、
黑龍江省哈爾濱市木蘭高級(jí)中學(xué)高中物理 經(jīng)典復(fù)習(xí)資料 功能問(wèn)題中的等效思維
1. 等效研究對(duì)象
例1. 如圖1(a)所示,半徑為R的定滑輪不計(jì)質(zhì)量,不計(jì)輪軸的摩擦,滑輪上掛一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵鏈(L>10R),兩邊垂下相等的長(zhǎng)度,由于輕微的干擾,使滑輪轉(zhuǎn)動(dòng),且鐵鏈與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng),當(dāng)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí),其角速度多大?
圖1
分析:滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)而帶動(dòng)鐵鏈,滑輪邊緣的線速度等于鐵鏈移動(dòng)的瞬時(shí)速度。對(duì)于鐵鏈,只有重力做功,符合機(jī)械能守恒定律。此過(guò)程中鐵鏈隨滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度:
如圖1(b)所示,整條鐵鏈的動(dòng)能可看作是由原部分移至位置,其重力勢(shì)能的減少轉(zhuǎn)變而來(lái)的,而之外的其余部分可認(rèn)為對(duì)整條鐵
2、鏈動(dòng)能的變化無(wú)貢獻(xiàn)。
設(shè)單位長(zhǎng)度鐵鏈的質(zhì)量為m,則對(duì)鐵鏈,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有:
得鐵鏈的速度
因
故滑輪在此時(shí)刻的角速度
以上解法不僅巧用等效研究對(duì)象,而且運(yùn)用機(jī)械能守恒定律的另一種表達(dá)式,避開(kāi)了參考平面的選擇,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。
2. 等效物理過(guò)程
例1. 一質(zhì)量為m的小球,從高為h處由靜止釋放,落地后彈回,因與地面碰撞有機(jī)械能損失,小球每次回跳的高度總等于其下落高度的,試問(wèn),若要使小球第一次回跳時(shí)跳到原高度,則當(dāng)小球開(kāi)始下落時(shí)應(yīng)對(duì)它做多少功?(不計(jì)空氣阻力)
分析:根據(jù)小球從h高處下落,回跳到高處,易得出小球與地面碰撞時(shí)損失的機(jī)械能。要使小球回跳到h高處,有
3、同學(xué)誤認(rèn)為對(duì)它做的功應(yīng)等于上述損失的機(jī)械能。而實(shí)際情況是,由于對(duì)小球做了功,使小球落地時(shí)的速度增大,小球與地面碰撞時(shí)損失的機(jī)械能也隨之增大,故小球不能回跳到h高處。
正確的解法是:
將小球開(kāi)始下落時(shí)對(duì)它做功等效為小球從高處由靜止釋放,且小球落地后回跳的高度恰為。根據(jù)題意,有:
此過(guò)程中損失的機(jī)械能
由功能關(guān)系,開(kāi)始對(duì)小球必須做功
由以上各式得:
3. 等效研究對(duì)象和等效物理過(guò)程
例3. 面積很大的水池,池深為H,上面浮著一正方體木塊,木塊邊長(zhǎng)為a,密度為水的,質(zhì)量為m。開(kāi)始時(shí)木塊靜止,有一半沒(méi)入水中,如圖2(a)所示,現(xiàn)用力F將木塊緩慢地壓到池底,不計(jì)摩擦,求:
4、
圖2
(1)從木塊剛好完全沒(méi)入水中到停止在池底的過(guò)程中,池水勢(shì)能的改變量;
(2)從開(kāi)始到木塊剛好完全沒(méi)入水的過(guò)程中,力F所做的功。
分析:(1)從木塊剛好完全沒(méi)入水中到停止在池底的過(guò)程,可看作是在池底與木塊等體積的“水塊”與剛沒(méi)入水中的木塊交換了位置。因此,池水勢(shì)能的改變量就等于這部分水重力勢(shì)能的增加量,即
(2)木塊被緩慢下壓入水的過(guò)程中,木塊所受的浮力為變力,因而力F也為變力。為避開(kāi)變力做功的直接計(jì)算,研究木塊和整個(gè)池水系統(tǒng),由于木塊所受的浮力及其反作用力為內(nèi)力,且這一對(duì)內(nèi)力的總功為零,因此木塊和池水系統(tǒng)機(jī)械能的增量就等于推力F所做的功。因?yàn)槌厮娣e很大,不計(jì)水面升高,
5、故池水重力勢(shì)能的增量可由圖2(c)中陰影部分的水全部移至水面來(lái)求得。于是由功能關(guān)系可得:
其中
代入上式得:
本題也可以用平均力對(duì)木塊做功來(lái)求解:
當(dāng)木塊沒(méi)入水中的深度為x時(shí),有
顯然推力F與木塊沒(méi)入水中的深度x為線性關(guān)系,因此,全過(guò)程中推力對(duì)木塊做功:
聯(lián)立解得:
例4. 噴水機(jī)噴出的豎直向上的水柱高度,空中有水,空氣阻力不計(jì),則噴水機(jī)的功率約為多少?(g取,水的密度)
分析:噴水機(jī)對(duì)水做功,使水以某一速度噴出,形成水柱。噴水機(jī)對(duì)水做功僅在水噴出之前,其后只有重力做功。忽略一切阻力影響,水的上升過(guò)程可看作豎直上拋運(yùn)動(dòng),下落過(guò)程可看作自由落體運(yùn)動(dòng),因此,形成穩(wěn)定水柱的時(shí)間:
每2s時(shí)間內(nèi)噴水機(jī)連續(xù)噴出的水的體積與空中水柱體積相等。因此,噴水機(jī)在2s內(nèi)對(duì)水做功等效于噴水機(jī)的動(dòng)力把水柱中所有的水都經(jīng)歷了舉至最高點(diǎn)這一過(guò)程,因而噴水機(jī)的功率:
本題還可由動(dòng)能定理來(lái)求解:
設(shè)噴水機(jī)的功率為P,經(jīng)時(shí)間△t,噴出水的質(zhì)量為,水的出口速度。
由動(dòng)能定理:,得:
其中為單位時(shí)間內(nèi)噴出的水量,顯然有:
其中m為空中水柱的總質(zhì)量,t為形成穩(wěn)定水柱的時(shí)間。因此噴水機(jī)的功率:
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