實(shí)際問題和一元一次方程[常見題型]

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1、. 實(shí)際問題與一元一次方程〔一基礎(chǔ) [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.熟練掌握分析解決實(shí)際問題的一般方法及步驟； 2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分問題的解題思路． [要點(diǎn)梳理] 知識點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟 列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類 題的一般步驟為：審、找、設(shè)、列、解、檢、答． 要點(diǎn)詮釋： 〔1"審"是指讀懂題目,弄清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量,以及它們之間的關(guān)系。 〔2"找"尋找等量關(guān)系； 〔3"設(shè)"就是設(shè)未知數(shù),一般求什么就設(shè)什么為x,但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)； 〔4"列"就是列方程,即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個

2、量,列出方程,同時(shí)注意方程兩邊是同一類量,單位要統(tǒng)一； 〔5"解"就是解方程,求出未知數(shù)的值． 〔6"檢"就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義,當(dāng)有不符合的解時(shí),及時(shí)指出,舍去即可； 〔7"答"就是寫出答案,注意單位要寫清楚． 知識點(diǎn)二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型 1．和、差、倍、分問題 〔1基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率, 現(xiàn)有量＝原有量+增長量,現(xiàn)有量＝原有量-降低量． 〔2尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程,常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增長率等． 2．行程問題 〔1三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度×?xí)r間 　〔2基本類型有： ①相遇問題

3、〔或相向問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間 Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離． ②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間 Ⅱ．尋找相等關(guān)系： 第一， 同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程． ③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度, 逆流速度=靜水速度－水流速度, 順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水流速度； Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮． 3．工程問題 如果題目沒有明確指明總工作量,一般把

4、總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式： 〔1總工作量=工作效率×工作時(shí)間； 〔2總工作量=各單位工作量之和． 4．調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮． [典型例題] 類型一、和差倍分問題 1．20XX北京市生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米,其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營用水的3倍還多0.6億立方米,問生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水各多少億立方米? [答案與解析]設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營用水x億立方米,則居民家庭用水<5.8-x>億立方米． 依題意,得5.8-x＝3x+0.6 解得x＝1.3 5.8-x＝5.8-1.3

5、＝4.5〔億立方米 答：生產(chǎn)運(yùn)營用水1.3億立方米,居民家庭用水4.5億立方米． [總結(jié)升華]本題要求兩個未知數(shù),不妨設(shè)其中一個未知數(shù)為x,另外一個用含x的式子表示．本題的相等關(guān)系是生產(chǎn)運(yùn)營用水量+居民家庭用水總量＝5.8億立方米． 舉一反三： [變式]<麻城期末考試>麻商集團(tuán)三個季度共銷售冰箱2800臺,第一個季度銷售量是第二個季度的2倍．第三個季度銷售量是第一個季度的2倍,試問麻商集團(tuán)第二個季度銷售冰箱多少臺? [答案]解：設(shè)第二個季度麻商集團(tuán)銷售冰箱x臺,則第一季度銷售量為2x臺,第三季度銷售量為4x臺,依題意可得：x+2x+4x＝2800, 解得：x＝400 答：

6、麻商集團(tuán)第二個季度銷售冰箱400臺． 類型二、行程問題 1.一般問題 2．小山娃要到城里參加運(yùn)動會,如果每小時(shí)走4千米,那么走完預(yù)訂時(shí)間離縣城還有0.5千米,如果他每小時(shí)走5千米,那么比預(yù)訂時(shí)間早半小時(shí)就可到XX城．試問學(xué)校到縣城的距離是多少千米? [答案與解析] 解：設(shè)小山娃預(yù)訂的時(shí)間為x小時(shí),由題意得： 4x+0.5＝5,解得x＝3． 所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5<千米>． 答：學(xué)校到縣城的距離是12.5千米． [總結(jié)升華]當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)有困難時(shí),可采用間接設(shè)的方法．即所設(shè)的不是最后所求的,而是通過求其它的數(shù)量間接地求最

7、后的未知量． 舉一反三： [變式]某汽車在一段坡路上往返行駛,上坡的速度為10千米/時(shí),下坡的速度為20千米/時(shí),求汽車的平均速度． [答案] 解：設(shè)這段坡路長為a千米,汽車的平均速度為x千米/時(shí),則上坡行駛的時(shí)間為小時(shí),下坡行駛的時(shí)間為小時(shí)．依題意,得：, 化簡得：． 顯然a≠0,解得 答：汽車的平均速度為千米/時(shí)． 2.相遇問題〔相向問題 [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<一>388410相遇問題] 3． A、B兩地相距100km,甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行,甲的速度是23km/h,乙的速度是21km/h,甲騎了1h后,乙從B地出發(fā),問甲經(jīng)過多少

8、時(shí)間與乙相遇？ [答案與解析] 解:設(shè)甲經(jīng)過x小時(shí)與乙相遇. 由題意得： 解得,x=2.75 答：甲經(jīng)過2.75小時(shí)與乙相遇． [總結(jié)升華]等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=100km 舉一反三： [變式]甲、乙兩人騎自行車,同時(shí)從相距45km的兩地相向而行,2小時(shí)相遇,每小時(shí)甲比乙多走2.5km,求甲、乙每小時(shí)各行駛多少千米? [答案] 解：設(shè)乙每小時(shí)行駛x千米,則甲每小時(shí)行駛千米,根據(jù)題意,得： 解得： 〔千米 答：甲每小時(shí)行駛12.5千米,乙每小時(shí)行駛10千米 3.追及問題〔同向問題 4．一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營訓(xùn)練,他們以5千米/時(shí)的速度行

9、進(jìn),走了18分鐘時(shí),學(xué)校要將一緊急通知傳給隊(duì)長,通訊員從學(xué)校出發(fā),騎自行車以14千米/時(shí)的速度按原路追上去,通訊員用多少分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍? [答案與解析] 解：設(shè)通訊員x小時(shí)可以追上學(xué)生隊(duì)伍,則根據(jù)題意, 得, 得：, 小時(shí)=10分鐘． 答：通訊員用10分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍． [總結(jié)升華]追及問題：路程差=速度差×?xí)r間,此外注意：方程中x表示小時(shí),18表示分鐘,兩邊單位不一致,應(yīng)先統(tǒng)一單位． 4.航行問題〔順逆風(fēng)問題 5．一艘船航行于A、B兩個碼頭之間,輪船順?biāo)叫行?小時(shí),逆水航行需5小時(shí),已知水流速度是4千米/時(shí),求這兩個碼頭之間的距離． [答案與解析] 解法1：

10、設(shè)船在靜水中速度為x千米/時(shí),則船順?biāo)叫械乃俣葹?x+4>千米/時(shí),逆水航行的速度為千米/時(shí),由兩碼頭的距離不變得方程：3＝5,解得：x=16, 〔16+4×3=60〔千米 答：兩碼頭之間的距離為60千米． 解法2：設(shè)A、B兩碼頭之間的距離為x千米,則船順?biāo)叫袝r(shí)速度為千米/時(shí),逆水航行時(shí)速度為千米/時(shí),由船在靜水中的速度不變得方程：,解得： 答：兩碼頭之間的距離為60千米． [總結(jié)升華]順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度-水流速度,根據(jù)兩個碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程． 類型三、工程問題 6．一個水池有兩個注水管,兩個

11、水管同時(shí)注水,10小時(shí)可以注滿水池；甲管單獨(dú)開15小時(shí)可以注滿水池,現(xiàn)兩管同時(shí)注水7小時(shí),關(guān)掉甲管,單獨(dú)開乙管注水,還需要幾小時(shí)能注滿水池? [思路點(diǎn)撥]視水池的蓄水量為"1",設(shè)乙管還需x小時(shí)可以注滿水池；那么甲乙合注1小時(shí)注水池的,甲管單獨(dú)注水每小時(shí)注水池的,合注7小時(shí)注水池的,乙管每小時(shí)注水池的． [答案與解析] 解：設(shè)乙管還需x小時(shí)才能注滿水池． 由題意得方程： 解此方程得：x＝9 答：單獨(dú)開乙管,還需9小時(shí)可以注滿水池． [總結(jié)升華]工作效率×工作時(shí)間=工作量,如果沒有具體的工作量,一般視總的工作量為"1" ． 舉一反三： [變式]修建某處住

12、宅區(qū)的自來水管道,甲單獨(dú)完成需14天,乙單獨(dú)完成需18天,丙單獨(dú)完成需12天,前7天由甲、乙兩人合作,但乙中途離開了一段時(shí)間,后兩天由乙、丙合作完成問乙中途離開了幾天? [答案] 解：設(shè)乙中途離開x天,由題意得 解得： 答：乙中途離開了3天 類型四、調(diào)配問題〔比例問題、勞動力調(diào)配問題 7．星光服裝廠接受生產(chǎn)某種型號的學(xué)生服的任務(wù),已知每3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條,一件上衣和一條褲子為一套,計(jì)劃用750m長的這種布料生產(chǎn)學(xué)生服,應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套?共能生產(chǎn)多少套? [思路點(diǎn)撥]每3米布料可做上衣2件或褲子3條,意思是每1米布料可做上衣 件,或做褲

13、子1條,此外恰好配套說明褲子的數(shù)量應(yīng)該等于上衣的數(shù)量． [答案與解析] 解：設(shè)做上衣需要xm,則做褲子為<750-x>m,做上衣的件數(shù)為件,做褲子的件數(shù)為,則有： 解得：x＝450, 750-x＝750-450＝300,〔套 答：用450m做上衣,300m做褲子恰好配套,共能生產(chǎn)300套． [總結(jié)升華]用參數(shù)表示上衣總件數(shù)與褲子的總件數(shù),等量關(guān)系：上衣總件數(shù)＝褲子的總件數(shù)． 舉一反三： [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<一>調(diào)配問題] [變式]甲隊(duì)有72人,乙隊(duì)有68人,需要從甲隊(duì)調(diào)出多少人到乙隊(duì),才能使甲隊(duì)恰好是乙隊(duì)人數(shù)的 . 解：設(shè)從甲隊(duì)調(diào)出x人到乙隊(duì).由題

14、意得, 解得,x=12. 答：需要從甲隊(duì)調(diào)出 12人到乙隊(duì),才能使甲隊(duì)恰好是乙隊(duì)人數(shù)的 . 實(shí)際問題與一元一次方程〔二〔提高 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.熟練掌握分析解決實(shí)際問題的一般方法及步驟； 2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分問題的解題思路． [要點(diǎn)梳理] 要點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟 要點(diǎn)二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型〔待續(xù) 1．和、差、倍、分問題 〔1基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率, 現(xiàn)有量＝原有量+增長量,現(xiàn)有量＝原有量-降低量． 〔2尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程,常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增長率等． 2．行程

15、問題 〔1三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度×?xí)r間 　〔2基本類型有： ①相遇問題〔或相向問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間 Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離． ②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間 Ⅱ．尋找相等關(guān)系： 第一,同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程； 第二,同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程． ③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度, 逆流速度=靜水速度－水流速度, 順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速； Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之

16、間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮． 3．工程問題 如果題目沒有明確指明總工作量,一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式： 〔1總工作量=工作效率×工作時(shí)間； 〔2總工作量=各單位工作量之和． 4．調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮． [典型例題] 類型一、和差倍分問題 1．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤？ [答案與解析] 解：設(shè)油箱里原有汽油x公斤,由題意得： x<1-25%><1-

17、40%>+1=25%x+<1-25%>x×40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油10公斤. [點(diǎn)評]等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 舉一反三： [變式]某班舉辦了一次集郵展覽,展出的郵票若平均每人3張則多24張,若平均每人4張則少26張,這個班有多少學(xué)生?一共展出了多少張郵票? [答案] 解：設(shè)這個班有x名學(xué)生,根據(jù)題意得： 3x+24＝4x-26 解得：x＝50 所以3x+24＝3×50+24＝174 答：這個班有50名學(xué)生,一共展出了174張郵票． 類型二、行程問題 1.車過橋問題 2.某橋長1200m,現(xiàn)有一列勻

18、速行駛的火車從橋上通過,測得火車從上橋到完全過橋共用了50s,而整個火車在橋上的時(shí)間是30s,求火車的長度和速度． [思路點(diǎn)撥]正確理解火車"完全過橋"和"完全在橋上"的不同含義． [答案與解析] 解：設(shè)火車車身長為xm,根據(jù)題意,得： , 解得：x＝300, 所以． 答：火車的長度是300m,車速是30m/s． [點(diǎn)評]火車"完全過橋"和"完全在橋上"是兩種不同的情況,借助線段圖分析如下<注：A點(diǎn)表示火車頭>： <1>火車從上橋到完全過橋如圖<1>所示,此時(shí)火車走的路程是橋長+車長． <2>火車完全在橋上如圖<2>所示,此時(shí)火車走的路程是橋長－車長．由于火車是勻速行

19、駛的,所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個火車在橋上的速度． 舉一反三： [變式]某要塞有步兵692人,每4人一橫排,各排相距1米向前行走,每分鐘走86米,通過長86米的橋,從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？ [答案] 解：設(shè)從第一排上橋到排尾離橋需要x分鐘,列方程得： , 解得：x＝3 答：從第一排上橋到排尾離橋需要3分鐘． 2.相遇問題〔相向問題 3．小李騎自行車從A地到B地,小明騎自行車從B地到A地,兩人都勻速前進(jìn).已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā),到上午10時(shí),兩人還相距36千米,到中午12點(diǎn),兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程. [答案與解析] 解：

20、設(shè)A、B兩地間的路程為x千米,由題意得： 解得：108． 答：A、B兩地間的路程為108千米. [點(diǎn)評]根據(jù)"勻速前進(jìn)"可知A、B的速度不變,進(jìn)而A、B的速度和不變.利用速度和=小李和小明前進(jìn)的路程和／時(shí)間可得方程． 舉一反三： [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<一>388410二次相遇問題] [變式]甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時(shí)開出,相向而行,途中相遇后繼續(xù)沿原路線行駛,在分別到達(dá)對方車站后立即返回,兩車第二次相遇時(shí)距A站34km,已知甲車的速度是70km/h,乙車的速度是52km/h,求A、B兩站間的距離. [答案] 解：設(shè)A、B兩站間的距離為x km,由題意得：

21、 解得：x=122 答： A、B兩站間的距離為122km. 3.追及問題〔同向問題 4．一輛卡車從甲地勻速開往乙地,出發(fā)2小時(shí)后,一輛轎車從甲地去追這輛卡車,轎車的速度比卡車的速度每小時(shí)快30千米,但轎車行駛一小時(shí)后突遇故障,修理15分鐘后,又上路追這輛卡車,但速度減小了,結(jié)果又用兩小時(shí)才追上這輛卡車,求卡車的速度． [答案與解析] 解：設(shè)卡車的速度為x千米/時(shí),由題意得： 解得：x=24 答：卡車的速度為24千米/時(shí)． [點(diǎn)評]采用"線示"分析法,畫出示意圖．利用轎車行駛的總路程等于卡車行駛的總路程來列方程,理清兩車行駛的速度與時(shí)間． 4.航行問題〔順逆風(fēng)問題

22、 5．盛夏,某校組織長江夜游,在流速為2.5千米/時(shí)的航段,從A地上船,沿江而下至B地,然后溯江而上到C地下船,共乘船4小時(shí)．已知A、C兩地相距10千米,船在靜水中的速度為7.5千米/時(shí),求A、B兩地間的距離． [思路點(diǎn)撥]由于C的位置不確定,要分類討論：〔1C地在A、B之間；〔2C地在A地上游． [答案與解析] 解：設(shè)A、B兩地間的距離為x千米． <1>當(dāng)C地在A、B兩地之間時(shí),依題意得． 解這個方程得：x＝20<千米> <2>當(dāng)C地在A地上游時(shí),依題意得： 解這個方程得： 答：A、B兩地間的距離為20千米或千米． [點(diǎn)評]這是航行問題,本題需分類討論,采

23、用"線示"分析法畫出示意圖<如下圖所示>,然后利用"共乘"4小時(shí)構(gòu)建方程求解． 5.環(huán)形問題 6．環(huán)城自行車賽,最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍,環(huán)城一周是20千米,求兩個人的速度. [答案與解析] 解；設(shè)最慢的人速度為x千米/時(shí),則最快的人的速度為x千米/時(shí), 由題意得: x×-x×=20 解得：x=10 答：最快的人的速度為35千米/時(shí),最慢的人的速度為10千米/時(shí). [點(diǎn)評]這是環(huán)形路上的追及問題,距離差為環(huán)城一周20千米.相等關(guān)系為：最快的人騎的路程 - 最慢人騎的路程=20千米. 舉一反三： [變式]兩人沿著邊長

24、為90m的正方形行走,按A→B→C→D→A…方向,甲從A以65m/min的速度,乙從B以72m/min的速度行走,如圖所示,當(dāng)乙第一次追上甲時(shí),在正方形的哪一條邊上? [答案] 解：設(shè)乙追上甲用了x分鐘,則有： 72x-65x＝3×90 〔分 答：乙第一次追上甲時(shí)走了 此時(shí)乙在AD邊上 類型三、工程問題 7．一個蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管和一個丙排水管,單獨(dú)開甲管6小時(shí)可注滿水池；單獨(dú)開乙管8小時(shí)可注滿水池,單獨(dú)開丙管9小時(shí)可將滿池水排空,若先將甲、乙管同時(shí)開放2小時(shí),然后打開丙管,問打開丙管后幾小時(shí)可注滿水池? [答案與解析] 解：設(shè)再過x小時(shí)可把水注滿

25、．由題意得： 解得：． 答：打開丙管后小時(shí)可把水放滿． [點(diǎn)評]相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1． 舉一反三： [變式]收割一塊水稻田,若每小時(shí)收割4畝,預(yù)計(jì)若干小時(shí)完成,收割后,改用新式農(nóng)機(jī),工作效率提高到原來的倍,因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提早1小時(shí)完成,求這塊水稻田的面積． [答案] 解：設(shè)這塊水稻田的面積為x畝,由題意得： 解得：． 答：這塊水稻田的面積為36畝． 類型四、配套問題〔比例問題、勞動力調(diào)配問題 8．某工程隊(duì)每天安排120個工人修建水庫,平均每天每個工人能挖土5 m3或運(yùn)土3 m3,為了使挖出的土及時(shí)被運(yùn)走,問：應(yīng)如何安排挖土和運(yùn)土的工人

26、? [答案與解析] 解：設(shè)安排x人挖土,則運(yùn)土的有<120-x>人,依題意得： 5x＝3<120-x>, 解得x＝45． 120-45＝75<人>． 答：應(yīng)安排45人挖土,75人運(yùn)土． [點(diǎn)評]用參數(shù)表示挖土數(shù)與運(yùn)土數(shù),等量關(guān)系：挖土與運(yùn)土的總立方米數(shù)應(yīng)相等． 舉一反三： [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<一> 配制問題] [變式]某商店選用A、B兩種價(jià)格分別是每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果后出售,為使這種雜拌糖果的售價(jià)是每千克25元,要配制這種雜拌糖果100千克,問要用這兩種糖果各多少千克？ [答案] 解：設(shè)要用A種糖果x千克,則B種糖

27、果用<100-x>千克.依題意,得： 28x+20<100-x>=25×100 解得：x=62.5. 當(dāng)x=62.5時(shí),100-x=37.5. 答：要用A、B兩種糖果分別為62.5千克和37.5千克. 實(shí)際問題與一元一次方程〔三〔基礎(chǔ) [學(xué)習(xí)目標(biāo)] <1>進(jìn)一步提高分析實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的能力,能熟練找出相等關(guān)系并列出方程； <2>熟悉利潤,存貸款,數(shù)字及方案設(shè)計(jì)問題的解題思路． [要點(diǎn)梳理] 要點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟 要點(diǎn)三、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型〔續(xù) 1．利潤問題 〔1 <2>標(biāo)價(jià)＝成本<或進(jìn)價(jià)>×<1＋利潤率> <3>實(shí)際售

28、價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率 <4>利潤＝售價(jià)－成本<或進(jìn)價(jià)>＝成本×利潤率 注意："商品利潤＝售價(jià)－成本"中的右邊為正時(shí),是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時(shí),就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售． 2．存貸款問題 〔1利息=本金×利率×期數(shù) 〔2本息和〔本利和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×<1＋利率×期數(shù)> 〔3實(shí)得利息=利息-利息稅 〔4利息稅=利息×利息稅率 〔5年利率＝月利率×12 〔6月利率＝年利率× 3.數(shù)字問題 已知各數(shù)位上的數(shù)字,寫出兩位數(shù),三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù),例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,則這個兩位數(shù)可以表示

29、為10b+a． 4．方案問題 選擇設(shè)計(jì)方案的一般步驟： 〔1運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況． 〔2用特殊值試探法選擇方案,取小于〔或大于一元一次方程解的值,比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論． [典型例題] 類型一、利潤問題 [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<二> 利潤問題例2] 1．以現(xiàn)價(jià)銷售一件商品的利潤率為30%,如果商家在現(xiàn)有的價(jià)格基礎(chǔ)上先提價(jià)40%,后降價(jià)50%的方法進(jìn)行銷售,商家還能有利潤嗎？為什么？ [答案與解析] 解：設(shè)該商品的成本為a元,則商品的現(xiàn)價(jià)為<1+30%>a元,依題意其后來折扣的售價(jià)為<1+30%>a·<1+40%>

30、<1-50%>=0.91a. ∵0.91a-a=-0.09a, ∴·100%=-9%. 答：商家不僅沒有利潤,而且虧損的利潤率為9%. [總結(jié)升華]解答此類問題時(shí),一定要弄清題意．分清售價(jià)、進(jìn)價(jià)、數(shù)量、利潤之間的關(guān)系很重要． 舉一反三： [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<二>388413利潤問題例3] [變式1]某個商品的進(jìn)價(jià)是500元,把它提價(jià)40%后作為標(biāo)價(jià).如果商家要想保住12%的利潤率搞促銷活動,請你計(jì)算一下廣告上可寫出打幾折？ [答案] 解：設(shè)該商品打x折,依題意,則： 500<1+40%>·=500〔1+12%. x==8. 答：該商品的廣告

31、上可寫上打八折. [變式2]張新和李明相約到圖書大廈去買書,請你根據(jù)他們的對話內(nèi)容<如圖所示>,求出李明上次所買書籍的原價(jià)． [答案] 解：設(shè)李明上次購買書籍的原價(jià)為x元,由題意得：0.8x+20＝x-12, 解這個方程得：x＝160． 答：李明上次所買書籍的原價(jià)是160元． 類型二、存貸款問題 2．爸爸為小強(qiáng)存了一個五年期的教育儲蓄,年利率為2.7％,五年后取出本息和為17025元,爸爸開始存入多少元. [答案與解析] 解：設(shè)爸爸開始存入x元.根據(jù)題意,得x＋x×2.7％×5＝17025. 解之,得x＝15000 答：爸爸開始存入15000元. [總結(jié)升華]本息和＝本

32、金＋利息,利息＝本金×利率×期數(shù)． 類型三、數(shù)字問題 3．一個三位數(shù),十位上的數(shù)是百位上的數(shù)的2倍,百位、個位上的數(shù)的和比十位上的數(shù)大2,又個位、十位、百位上的數(shù)的和是14,求這個三位數(shù). [答案與解析] 解：設(shè)百位上的數(shù)為x,則十位上的數(shù)為2x,個位上的數(shù)為14-2x-x 由題意得：x+14-2x-x=2x+2 解得：x=3 ∴x=3, 2x=6,14-2x-x=5 答：這個三位數(shù)為365 [總結(jié)升華]在數(shù)字問題中應(yīng)注意：〔1求的是一個三位數(shù),而不是三個數(shù)；〔2這類應(yīng)用題,一般設(shè)間接未知數(shù),切勿求出x就答；<3> 三位數(shù)字的表示方法是百位上的數(shù)字乘以100,1

33、0位上的數(shù)字乘以10,然后把所得的結(jié)果和個位數(shù)字相加． 舉一反三： [變式]一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大4,這個兩位數(shù)又是這兩個數(shù)字的和的4倍,求這個兩位數(shù). [答案] 解：設(shè)十位上的數(shù)字為,則個位上的數(shù)字為〔,由題意得： 解得： 答：這兩位數(shù)是48. 類型四、方案設(shè)計(jì)問題 4．為鼓勵學(xué)生參加體育鍛煉．學(xué)校計(jì)劃拿出不超過1600元的資金再購買一批籃球和排球．已知籃球和排球的單價(jià)比為3:2,單價(jià)和為80元． <1>籃球和排球的單價(jià)分別是多少元? <2>若要求購買的籃球和排球的總數(shù)量是36個,且購買的籃球數(shù)量不少于26個．請?zhí)骄坑心膸追N購買方案?

34、[答案與解析] 解：<1>設(shè)籃球和排球的單價(jià)分別為3x元和2x元． 依題意3x+2x＝80,解得x＝16 即 3x＝48,2x＝32 答：籃球和排球的單價(jià)分別為48元和32元． <2>采用列表法探索： 類別 方案 籃球〔x個 排球〔36-x個 合計(jì)〔元 <1> 26 10 1568 <2> 27 9 1584 <3> 28 8 1600 <4> 29 7 1616 由列表可知,共有三種購買方案： 方案一：購買籃球26個,排球10個； 方案二：購買籃球27個,排球9個； 方案三：購買籃球28個,排球8個． [總結(jié)升華

35、]本例設(shè)未知數(shù)的方法很獨(dú)特,值得借鑒．采用列表的方法探索方案,值得學(xué)習(xí)． 舉一反三： [變式]<武昌區(qū)期末調(diào)考>某校組織10位教師和部分學(xué)生外出考察,全程票價(jià)為25元,對集體購票,客運(yùn)公司有兩種優(yōu)惠方案可供選擇：方案一：所有師生按票價(jià)的88%購票；方案二：前20人購全票,從第21人開始,每人按票價(jià)的80%購票． <1>若有30位學(xué)生參加考察,問選擇哪種方案更省錢? <2>參加考察的學(xué)生人數(shù)是多少時(shí),兩種方案車費(fèi)一樣多? [答案] 解：設(shè)有x位學(xué)生參加考察． 按方案一購票費(fèi)用為：25×88%<10+x>＝22x+220 按方案二購票費(fèi)用為：20×25+25×80%

36、＝20x+300 <1>當(dāng)x＝30時(shí)： 22x+220＝660+220＝880<元> 20x+300＝600+300＝900<元> 答：當(dāng)有30位學(xué)生參加考察,選擇方案一更省錢． <2>設(shè)22x+220＝20x+300,解得：x＝40 答：參加考察的學(xué)生人數(shù)為40人時(shí),兩種方案車費(fèi)一樣多． 實(shí)際問題與一元一次方程〔四〔提高 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] <1>進(jìn)一步提高分析實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的能力,能熟練找出相等關(guān)系并列出方程； <2>熟悉利潤,存貸款,數(shù)字及方案設(shè)計(jì)問題的解題思路． [要點(diǎn)梳理] 要點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟

37、 要點(diǎn)三、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型〔續(xù) 1．利潤問題 〔1 <2>售價(jià)＝<1＋利潤率>.成本 <3>售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率 <4>利潤＝售價(jià)－成本<或進(jìn)價(jià)>利潤＝成本×利潤率 注意："商品利潤＝售價(jià)－成本"中的商品利潤為正時(shí),是盈利；當(dāng)為商品利潤負(fù)時(shí),就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售． 2．存貸款問題 〔1利息=本金×利率×期數(shù) 〔2本息和〔本利和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×<1＋利率×期數(shù)> 〔3實(shí)得利息=利息-利息稅 〔4利息稅=利息×利息稅率 〔5年利率＝月利率×12 〔6月利率＝年利率× 3.數(shù)字問題 已知

38、各數(shù)位上的數(shù)字,寫出兩位數(shù),三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù),例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a． 4．方案問題 選擇設(shè)計(jì)方案的一般步驟： 〔1運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況． 〔2用特殊值試探法選擇方案,取小于〔或大于一元一次方程解的值,比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論． [典型例題] 類型一、利潤問題 1．文星商店以每支4元的價(jià)格進(jìn)100支鋼筆,賣出時(shí)每支的標(biāo)價(jià)6元,當(dāng)賣出一部分鋼筆后,剩余的打9折出售,賣完時(shí)商店贏利188元,其中打9折的鋼筆有幾支? [答案與解析] 解：設(shè)打折的鋼筆有x支,則有：

39、 6<100-x>+6×90%x＝100×4+188 解得x＝20 答：打9折的鋼筆有20支． [總結(jié)升華]本題可以采用列表法分析問題： 售價(jià) 數(shù)量 售出總價(jià) 按標(biāo)價(jià)出售 6 100-x 6<100-x> 剩余的打折出售 6×90% x 6×90%x 此外本題還可以這樣列方程：<6-4><100-x>+<6×0.9-4>x＝188,這是以利潤作為相等關(guān)系來構(gòu)建方程的,其結(jié)果一樣． 舉一反三： [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<二>388413 思考與研究1] [變式]某種商品的標(biāo)價(jià)為900元,為了適應(yīng)市場競爭,店主打出廣告：該商

40、品九折出售,并返100元現(xiàn)金.這樣他仍可獲得10%的利潤率〔相對于進(jìn)貨價(jià),問此商品的進(jìn)貨價(jià)是多少？〔用四舍五入法精確到個位 [答案] 解：設(shè)此商品的進(jìn)貨價(jià)為x元,依題意,得： <900×0.9-100>-x=10%x, 得：x=∴x≈645. 答：此商品的進(jìn)價(jià)約為645元. 類型二、存貸款問題 2．某公司從銀行貸款20萬元,用來生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該貸款的年利率為15%<不計(jì)復(fù)利>,每個產(chǎn)品成本是3.2元,售價(jià)是5元,應(yīng)納稅款為銷售款的10%．如果每年生產(chǎn)10萬個,并把所得利潤<利潤＝售價(jià)－成本－應(yīng)納稅款>用來償還貸款,問幾年后能一次性還清? [答案與解析] 解：設(shè)x年后能一

41、次性還清貸款,根據(jù)題意, 得<5-3.2-5×10%>·10x＝20+20×15%x． 解之,得x＝2． 答：所以2年后能一次性還清貸款． [總結(jié)升華]解答本題利用了類比的數(shù)學(xué)方法,把貸款與存款相類比,貸款金額相當(dāng)于存款本金,貸款的年利率相當(dāng)于存款的年利率,每年產(chǎn)品的利潤＝售價(jià)－成本－應(yīng)納稅款,產(chǎn)品的總利潤等于本息和． 舉一反三： [高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程<二>388413貸款問題] [變式]小華父母為了準(zhǔn)備她上大學(xué)時(shí)的16000元學(xué)費(fèi),在她上初一時(shí)參加教育儲蓄,準(zhǔn)備先存一部分,等她上大學(xué)時(shí)再貸一部分.小華父母存的是六年期〔年利率為2.88%,上

42、大學(xué)貸款的部分打算用8年時(shí)間還清〔年貸款利息率為6.21%,貸款利息的50%由政府補(bǔ)貼.如果參加教育儲蓄所獲得的利息與申請貸款所支出的利息相等,小華父母用了多少錢參加教育儲蓄？還準(zhǔn)備貸多少款？ [答案] 解：設(shè)小華父母用x元參加教育儲蓄,依題意, x×2.88%×6=<16000-x>×6.21%×8×50%, 解得, x≈9436<元> 16000-9436=6564<元>. 答：小華父母用9436元參加教育儲蓄,還準(zhǔn)備貸6564元. 類型三、數(shù)字問題 3．一個兩位數(shù),十位數(shù)字比個位數(shù)字的4倍多1,將這兩個數(shù)字調(diào)換順序所得的數(shù)比原數(shù)小63,求原數(shù)． [答案與解析] 解：

43、設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為4x+1．根據(jù)題意得： 10<4x+1>+x＝10x+<4x+1>+63, 解得x＝2, ∴ 4x+1＝4×2+1＝9,故這個兩位數(shù)為92． 答： 這個兩位數(shù)是92． [總結(jié)升華]在數(shù)字問題中應(yīng)注意：〔1求的是一個兩位數(shù),而不是兩個數(shù)；〔2這類應(yīng)用題,一般設(shè)間接未知數(shù),切勿求出x就答；〔3兩位數(shù)的表示方法是10位上的數(shù)字乘以10,把所得的結(jié)果和個位數(shù)字相加 類型四、方案設(shè)計(jì)問題 4．某牛奶加工廠有鮮奶9噸,若在市場上直接銷售鮮奶,每噸可獲取利潤500元,制成酸奶銷售,每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售,每噸可獲利潤2000元,該

44、工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶,每天可加工3噸；制成奶片每天可加工1噸,受人員限制,兩種加工方式不可同時(shí)進(jìn)行,受氣溫條件限制,這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢．為此,該廠某領(lǐng)導(dǎo)提出了兩種可行方案： 方案1：盡可能多的制成奶片,其余直接銷售鮮牛奶； 方案2：將一部分制成奶片,其余制成酸奶銷售,并恰好4天完成． 你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多,為什么? [答案與解析] 解：〔1若選擇方案1,依題意, 總利潤=2000元×4+500元×<9-4>=10500元． 〔2若選擇方案2． 設(shè)將x噸鮮奶制成奶片,則用<9-x>噸鮮奶制成酸奶銷售, 依題意得,, 解得． 當(dāng)時(shí),． 總利

45、潤=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元． ∵ 12000>10500, ∴ 選擇方案2較好． 答：選擇方案2獲利最多,只要在四天內(nèi)用7.5噸鮮奶加工成酸奶,用1.5噸的鮮奶加工成奶片． [總結(jié)升華]如果題目中的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜,常借助列表,畫線段圖,示意圖等手段幫助我們理順題目中的數(shù)量關(guān)系,列出方程．例如本題方案2中,設(shè)將x噸鮮奶制成奶片,則列表如下： 每噸利潤 噸數(shù) 工效 天數(shù) 酸奶 1200 3 奶片 2000 1 合計(jì) 9 4 從表中能一目了然條件之間的關(guān)系,從而,得到等量關(guān)系． 舉一反三： [變式1

46、]商場出售的A型冰箱每臺售價(jià)2190元,每日耗電量為1度,而B型節(jié)能冰箱每臺售價(jià)比A型冰箱高出10%,但每日耗電量卻為0.55度．現(xiàn)將A型冰箱打折出售<打一折后的售價(jià)為原價(jià)的>,問商場將A型冰箱打幾折,消費(fèi)者買A型冰箱10年的總費(fèi)用與B型冰箱10年的總費(fèi)用相當(dāng)<每年365天,每度電按0.40元計(jì)算>． [答案] 解：設(shè)商場A型冰箱打x折,依題意,買A型冰箱需2190×元,10年的電費(fèi)是365×10×1×0.4元；買B型冰箱需2190×<1+10%>元,10年的電費(fèi)是365×10×0.55×0.4元,依題意,得： 2190×+365×10×1×0.4＝2190×<1+10%>+365×10

47、×0.55×0.4 解得：x＝8 答：商場將A型冰箱打8折出售,消費(fèi)者買A型冰箱10年的總費(fèi)用與B型冰箱10年的總費(fèi)用相當(dāng)． [變式2]某市居民生活用電的基本價(jià)格為每度0.40元,若每月用電量超過a度,超出部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi)． <1>某戶五月份用電84度,共交電費(fèi)30.72元,求a； <2>若該戶六月份的電費(fèi)平均每度0.36元,求六月份共用電多少度?應(yīng)交電費(fèi)多少元? [答案] 解：<1>根據(jù)題意,得0.40a+0.40×70%×<84-a>＝30.72． 解得：a＝60． <2>設(shè)該戶六月份共用電x度,因0.36＜0.40,所以x＞60,于是超出部分電量為度,依題意,得：0.40×60+0.4×70%＝0.36x． 解得：x＝90． 所以0.36x＝0.36×90＝32.40元． 答：<1>a＝60；<2>該用戶六月份共用電90度,應(yīng)交電費(fèi)32.40元． 15 / 15