2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練09 二次函數(shù)(含解析)
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1、熱點(diǎn)09 二次函數(shù) 【命題趨勢(shì)】 中考中對(duì)二次函數(shù)的考查除定義、識(shí)圖、性質(zhì)、求解析式等常規(guī)題外,還會(huì)出現(xiàn)與二次函數(shù)有關(guān)的貼近生活實(shí)際的應(yīng)用題,閱讀理解和探究題,二次函數(shù)與其他函數(shù)方程、不等式、幾何知識(shí)的綜合題在壓軸題中出現(xiàn)的可能性很大. 【滿分技巧】 一、二次函數(shù)表達(dá)式的確定 步驟: (1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式; (2)根據(jù)已知條件,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組; (3)解方程組,求出待定系數(shù)的值,從而寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式. 二、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 (1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問(wèn)題,應(yīng)理清變量所表示的實(shí)際意義,注意隱含條件的使用,同時(shí)考慮問(wèn)題要周全,此類(lèi)問(wèn)題一般是運(yùn)用“總
2、利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本”或“總利潤(rùn)=每件商品所獲利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量”,建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)最值:若函數(shù)的對(duì)稱軸在自變量的取值范圍內(nèi),頂點(diǎn)坐標(biāo)即為其最值,若頂點(diǎn)坐標(biāo)不是其最值,那么最值可能為自變量?jī)啥它c(diǎn)的函數(shù)值;若函數(shù)的對(duì)稱軸不在自變量的取值范圍內(nèi),可根據(jù)函數(shù)的增減性求解,再結(jié)合兩端點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)比,從而求解出最值. 三、二次函數(shù)的圖象與幾何圖形的關(guān)系 將函數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類(lèi)試題一般難度較大.解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是善于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)模型,善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí),并注意挖掘題目中的一些隱含條件. 【限時(shí)檢測(cè)】(建議用時(shí):30分鐘) 一、
3、選擇題 1.(山東省濱州市2019年中考數(shù)學(xué)一模試卷)拋物線y=﹣+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A.(3,1) B.(﹣3,1) C.(,1) D.(﹣,1) 【答案】C 【解析】∵拋物線y=﹣+1中,2x﹣3=0時(shí),x=, 故拋物線y=﹣+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(,1). 故選C. 2.(四川省成都市都江堰市2019屆中考數(shù)學(xué)一診試題)對(duì)于函數(shù)y=–2(x–3)2,下列說(shuō)法不正確的是 A.開(kāi)口向下 B.對(duì)稱軸是 C.最大值為0 D.與y軸不相交 【答案】D 【解析】對(duì)于函數(shù)y=–2(x–3)2的圖象, ∵a=–2<0,∴開(kāi)口向下,對(duì)稱軸x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),函數(shù)有最大值0, 故
4、選項(xiàng)A、B、C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤,
故選D.
3.(2019?福建)若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(,
y2)、E(2,y3),則y1、y2、y3的大小關(guān)系是
A.y1
5、x=a和x=b(a≠b)時(shí),二次函數(shù)y=2x2﹣2x+3的函數(shù)值相等、當(dāng)x=a+b時(shí),函數(shù)y=2x2﹣2x+3的值是 A.0 B.﹣2 C.1 D.3 【答案】D 【解析】∵當(dāng)x=a或x=b(a≠b)時(shí),二次函數(shù)y=2x2﹣2x+3的函數(shù)值相等, ∴以a、b為橫坐標(biāo)的點(diǎn)關(guān)于直線x=對(duì)稱,則,∴a+b=1, ∵x=a+b,∴x=1, 當(dāng)x=1時(shí),y=2x2﹣2x+3=2﹣2+3=3,故選D. 5.(2019年河南省濮陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)二模試卷)若函數(shù)y=(m﹣1)x2﹣6x+m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),則m的值為 A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
6、 【答案】C 【解析】當(dāng)m=1時(shí),函數(shù)解析式為:y=﹣6x+是一次函數(shù),圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn), 當(dāng)m≠1時(shí),函數(shù)為二次函數(shù), ∵函數(shù)y=(m﹣1)x2﹣6x+m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn), ∴62﹣4×(m﹣1)×m=0, 解得,m=﹣2或3,故選C. 6.(黑龍江省哈爾濱市2019中考模擬測(cè)試三數(shù)學(xué)試題)將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的拋物線的解析式為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】拋物線y=x2先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得:y=(x–2)2;再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得:y=(x–2)2+3.故選B. 7.(2019年湖北省孝感
7、市安陸市、應(yīng)城市、云夢(mèng)縣、孝昌縣四縣市中考數(shù)學(xué)三模試卷)反比例函數(shù)的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=2kx2﹣4x+k2的圖象大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二、四象限, ∴k<0, 由圖知當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣k<1, ∴k>﹣1, ∴拋物線y=2kx2﹣4x+k2開(kāi)口向下, 對(duì)稱軸為x=﹣=,﹣1<<0, ∴對(duì)稱軸在﹣1與0之間, ∵當(dāng)x=0時(shí),y=k2>1. 故選D. 8.(安徽省亳州市蒙城縣第三中學(xué)2019屆中考數(shù)學(xué)模擬試卷(6月份))已知兩點(diǎn)A(﹣5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,點(diǎn)C(x
8、0,y0)是該拋物線的頂點(diǎn).若y1 9、物線的對(duì)稱軸x==2,
∴b=﹣4,
則方程x2+bx﹣t=0,即x2﹣4x﹣t=0的解相當(dāng)于y=x2﹣4x與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
∵方程x2+bx﹣t=0在﹣1 10、中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵=x2–x–a2–a,
∴對(duì)稱軸為直線x==.
∴①正確,
∵x2–x–a2–a=1,
∴x2–x–a2–a–1=0,
∴=(–1)2–4×1×(–a2–a–1)=1+4a2+4a+4=(2a+1)2+4>0,
∴方程(x+a)(x–a–1)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
∴②正確,
∵P(x0,m),Q(1,n)在拋物線上,
∴m=x02–x0–a2–a,n=12–1–a2–a=–a2–a,
∵m 11、>x0–1,
∴x0>0且x0–1<0,即0 12、為直線x=﹣2,
∴4a﹣b=0,所以①正確;
∵與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(﹣3,0)和(﹣4,0)之間,
∴由拋物線的對(duì)稱性知,另一個(gè)交點(diǎn)在(﹣1,0)和(0,0)之間,
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸,即c<0,故②正確;
∵由②知,x=﹣1時(shí)y>0,且b=4a,
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,
所以③正確;
由函數(shù)圖象知當(dāng)x=﹣2時(shí),函數(shù)取得最大值,
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c,
即4a﹣2b≥at2+bt(t為實(shí)數(shù)),故④錯(cuò)誤;
∵拋物線的開(kāi)口向下,且對(duì)稱軸為直線x=﹣2,
∴拋物線上離對(duì)稱軸水平距離越小,函數(shù)值越大,
∴y2>y1>y3, 13、故⑤錯(cuò)誤,故選C.
二、填空題
12.(2019?荊州)二次函數(shù)的最大值是__________.
【答案】7
【解析】,
即二次函數(shù)的最大值是7,
故答案為:7.
13.(2019年河南省許昌市中考二模數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)y=﹣x2+2x﹣2圖象上兩點(diǎn)A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,則y1與y2的大小關(guān)系是__________.(填“<”“>”或“=”)
【答案】>
【解析】y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1,
對(duì)稱軸x=1,
∵A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,
∴點(diǎn)A與B在對(duì)稱軸的右側(cè),
∵–1<0,
∴x>2時(shí),y隨x的增大而減小,
14、
∴y1>y2,
故答案為:>.
14.(2019年江蘇省鹽城市東臺(tái)市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(5月份))已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對(duì)稱軸是直線x=2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,1),則a+b+c的值為_(kāi)_________.
【答案】1
【解析】∵拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對(duì)稱軸是直線x=2,
∴P(3,1)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),
∴當(dāng)x=1時(shí),y=1,
即a+b+c=1,
故答案為:1.
15.(2019年河南省中考數(shù)學(xué)信息卷)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一個(gè)根是2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2,則拋物線y=ax2+bx+ 15、c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.
【答案】(2,5)
【解析】∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2,方程ax2+bx+c=5的一個(gè)根是2,
∴當(dāng)x=2時(shí),y=ax2+bx+c=5,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,5).
故答案為:(2,5).
16.(吉林省德惠市第三中學(xué)2019屆九年級(jí)5月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題)將拋物線y=2(x﹣1)2+3繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_________.
【答案】y=﹣2(x﹣1)2+3
【解析】拋物線y=2(x﹣1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),
由于拋物線y=2(x﹣1)2+3繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后拋物 16、線的頂點(diǎn)坐標(biāo)不變,只是開(kāi)口方向相反,
則所得拋物線解析式為y=﹣2(x﹣1)2+3,
故答案為:y=﹣2(x﹣1)2+3.
17.(2019?襄陽(yáng))如圖,若被擊打的小球飛行高度(單位:m)與飛行時(shí)間(單位:s)之間具有的關(guān)系為,則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為_(kāi)_________s.
【答案】4
【解析】依題意,令得:∴,
得:,解得:(舍去)或,
∴即小球從飛出到落地所用的時(shí)間為,故答案為:4.
三、解答題
18.(2019?湖州)已知拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),試比較與的大小,并說(shuō)明理由.
【解析】(1),
由題 17、意,得,
∴,
∴的取值范圍是.
(2),理由如下:
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線,
又∵,
∴當(dāng)時(shí),隨的增大而增大,
∵,∴.
19.(天津市紅橋區(qū)2019屆九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題)已知拋物線.
(1)若該拋物線與x軸有公共點(diǎn),求c的取值范圍;
(2)設(shè)該拋物線與直線交于M,N兩點(diǎn),若,求C的值;
(3)點(diǎn)P,點(diǎn)Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點(diǎn),都垂直于x軸,垂足分別為A,B,若,求c的取值范圍.
【解析】(1)∵拋物線與x軸有交點(diǎn),
∴一元二次方程有實(shí)根.
,即.解得.
(2)根據(jù)題意,設(shè)
由,消去y,得①.
由,得.
∴方程①的解為
,
,解得.
( 18、3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,且,
,兩式相減,得,即
,即
,其中
由,即,得.
當(dāng)時(shí),,不合題意.
又,得.
∴c的取值范圍是.
20.(2019?梧州)我市某超市銷(xiāo)售一種文具,進(jìn)價(jià)為5元/件.售價(jià)為6元/件時(shí),當(dāng)天的銷(xiāo)售量為100件.在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn):售價(jià)每上漲0.5元,當(dāng)天的銷(xiāo)售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷(xiāo)售單價(jià)統(tǒng)一為x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于240元,求當(dāng)天銷(xiāo)售單價(jià)所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤(rùn)不超過(guò)80%,要想當(dāng)天獲得利潤(rùn)最 19、大,每件文具售價(jià)為多少元?并求出最大利潤(rùn).
【解析】(1)由題意,y=(x-5)(100-×5)=-10x2+210x-800,
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=-10x2+210x-800.
(2)要使當(dāng)天利潤(rùn)不低于240元,則y≥240,
∴y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5=240,
解得,x1=8,x2=13,
∵-10<0,拋物線的開(kāi)口向下,
∴當(dāng)天銷(xiāo)售單價(jià)所在的范圍為8≤x≤13.
(3)∵每件文具利潤(rùn)不超過(guò)80%,
∴,得x≤9,
∴文具的銷(xiāo)售單價(jià)為6≤x≤9,
由(1)得y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5 20、)2+302.5,
∵對(duì)稱軸為x=10.5,
∴6≤x≤9在對(duì)稱軸的左側(cè),且y隨著x的增大而增大,
∴當(dāng)x=9時(shí),取得最大值,此時(shí)y=-10(9-10.5)2+302.5=280,
即每件文具售價(jià)為9元時(shí),最大利潤(rùn)為280元.
21.(河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019年中招模擬大聯(lián)考(三)數(shù)學(xué)試題)如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(–1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M.
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)Q,使得△BQ 21、M是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)連接AC,將△AOC繞平面內(nèi)某點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A1O1C1,點(diǎn)A、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、O1、C1、若△A1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫(xiě)出“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
【解析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
將點(diǎn)A(–1,0),B(4,0),C(0,2)代入解析式,
∴,∴,
∴y=–+x+2.
(2)∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴D(0,–2).
設(shè)直線BD的解析式為y=kx–2.
∵將(4,0)代入得:4k–2=0,
∴k=.
∴直線BD的解析式為y=x–2.
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí),△BQM是直角三角形,此時(shí)Q(–1,0);
當(dāng)BQ⊥BD時(shí),△BQM是直角三角形,
則直線BQ的直線解析式為y=–2x+8,
∴–2x+8=–+x+2,可求x=3或x=4(舍),
∴x=3;
∴Q(3,2)或Q(–1,0).
(3)兩個(gè)和諧點(diǎn);
AO=1,OC=2,
設(shè)A1(x,y),則C1(x+2,y–1),O1(x,y–1),
①當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí),
∴,
∴,
∴A1的橫坐標(biāo)是1;
當(dāng)O1、C1在拋物線上時(shí),
,
∴,
∴A1的橫坐標(biāo)是.
13
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