4、B．3
C．2 D．0
解析： 原命題為假，逆命題為假，否命題及逆否命題也為假．
答案： D
6．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則m的值為( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
解析： 設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，由拋物線的定義知點P到準(zhǔn)線的距離為4，故＋2＝4，∴p＝4.
∴拋物線方程為x2＝－8y，代入點P坐標(biāo)得m＝±4，故選C.
答案：
7．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，則k的值為( )
A. B．－
5、
C．2 D．±
解析： ＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，
則·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)
＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±.
答案： D
8．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng)·取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
解析： 設(shè)Q(x，y，z)，因Q在上，
故有∥，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
則Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，
故當(dāng)λ＝時，·取最小值，此時Q
6、，故選C.
答案： C
9．橢圓短軸上的兩個三等分點與兩個焦點構(gòu)成一個正方形，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析： 焦距為2c，短軸長為2b，由已知：2c＝，
∴b＝3c，又a2＝b2＋c2＝9c2＋c2＝10c2，
∴e＝＝.
答案： A
10．給出下列四個命題，其中真命題為( )
①“?x∈R，使得x2＋1>3x”的否定是“?x∈R，都有x2＋1≤3x”；
②“m＝－2”是“直線(m＋2)x＋my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)與坐
7、標(biāo)軸有4個交點，分別為A(x1,0)，B(x2,0)，C(0，y1)，D(0，y2)，則x1x2－y1y2＝0；
④函數(shù)f(x)＝sin x－x的零點個數(shù)有3個．
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：?、僬_；
m＝－2?兩條直線垂直，而兩直線垂直推不出m＝－2，
∴m＝－2是這兩條直線垂直的充分非必要條件，②錯誤；
令y＝0，x2＋Dx＋F＝0得，x1x2＝F，
令x＝0，y2＋Ey＋F＝0，得y1y2＝F，
∴x1x2－y1y2＝0，③正確；④錯誤．
答案： C
11．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為正方形ABCD的中心，
8、P為棱A1B1上任一點，則異面直線OP與MA所成的角為( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則O，P(1，y,1)，A(1,0,0)，M，
∴＝，
＝，
∴·＝0，
∴OP與MA所成的角為90°.
答案： D
12．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－4y2＝4a(a＞0)的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足1·2＝0，|1|·|2|＝2，則a的值為( )
A．2 B.
C．1 D.
解析： 雙曲線方程化為－＝1(a＞0)，
∵1·2＝0，∴PF1⊥PF2.
∴||2＋||2＝4c
9、2＝20a，①
由雙曲線定義|1|－|2|＝±4，②
又已知：|||2|＝2，③
由①②③得：20a－2×2＝16a，∴a＝1.
答案： C
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，請把正確答案填在題中的橫線上)
13．已知AB是過橢圓＋＝1左焦點F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝12，其中F2是橢圓的右焦點，則弦AB的長是________．
解析： 由橢圓定義|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，
得|AB|＝8.
答案： 8
14．設(shè)命題p：|4x－3|≤1，命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若?p是?q的必要而不充分條件，則實數(shù)a的取
10、值范圍是________．
解析： 由已知p：－1≤4x－3≤1，∴≤x≤1，
q：a≤x≤a＋1，又?p??q，
∴p?q，即，由此可知0≤a≤.
答案：
15．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為u＝(－2,0，－4)，則直線與平面的位置關(guān)系是________．
解析： a·u＝(1,0,2)·(－2,0，－4)＝－2－8＝－10
∴直線l與平面α不平行，a＝－u
∴a∥u
直線l與平面α垂直．
答案： 垂直
16．已知命題p：m≥1，命題q：2m2－9m＋10＜0，若p，q中有且僅有一個為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：
11、 q：2＜m＜，由題意p真q假
∴1≤m≤2或m≥.
答案： [1,2]∪
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知a>0，設(shè)p：函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減，q：不等式x＋|x－2a|>1的解集為R.若p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．
解析： 由函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減知01的解集為R，
即y＝x＋|x－2a|在R上恒大于1，
又因為x＋|x－2a|＝，
∴函數(shù)y＝x＋|x－2a|在R上的最小值為2a，
故要使解集為R，只需
12、2a>1，∴a>.
∴若q真，則a>.又∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p與q一真一假．
若p真q假，則00，于是有k∈R.
設(shè)點A的坐標(biāo)為(x1，y1)，點B的坐標(biāo)為(x2，y2)，
則＋＝1. ?、?
13、
因為y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，
代入①，得2k－＝1. ②
又因為x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.
所以直線l的方程為y＝x－1.
19．(本小題滿分12分)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點為A(0,1)，離心率為，過點B(0，－2)及左焦點F1的直線交橢圓于C，D兩點，右焦點設(shè)為F2.
(1)求橢圓的方程；
(2)求△CDF2的面積．
解析： (1)易得橢圓方程為＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直線BF1的方程為y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，
所以直線與橢圓有兩個
14、公共點，
設(shè)為C(x1，y1)，D(x2，y2)，
則
∴|CD|＝|x1－x2|＝·
＝·＝，
又點F2到直線BF1的距離d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
20．(本小題滿分12分)三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1⊥AC1.
(1)求證：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．
解析： (1)證明：如圖，
設(shè)A1D＝t(>0)，取AB的中點E，則DE∥BC，因為BC⊥AC，
所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1為x，y，z軸建立空間直角
15、坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，C(0，1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，
＝(2,0,0)，
由·＝0，知A1C⊥CB，
又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，從而AC1⊥平面A1BC；
(2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝.
設(shè)平面A1AB的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0,1，)，
＝(2,2,0)，
所以，設(shè)z＝1，則n＝(，－，1)．
再設(shè)平面A1BC的法向量為m＝(u，v，w)，
＝(0，－1，)，＝(2,0,0)，
所以，設(shè)w＝1，則m＝(0，，1)，
故cos〈m，n〉＝＝－，
因為二
16、面角A－A1B－C為銳角，所以可知二面角A－A1B－C的余弦值為.
21．(本小題滿分12分)設(shè)p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：實數(shù)x滿足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且?p是?q的必要不充分條件，求a的取值范圍．
解析： 設(shè)A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}
＝{x|3a＜x＜a(a＜0)}，
B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}
＝{x|x＜－4或x≥－2}．
∵?p是?q的必要不充分條件，
17、
∴?q??p，且?p?/ ?q，
∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，
則或
即－≤a＜0或a≤－4.
22．(本小題滿分14分)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)證明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
解析： (1)證明：因為∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得BD＝AD.
從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)
如圖，以D為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1).＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)，
設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則
即
因此可取n＝(，1，)．
設(shè)平面PBC的法向量為m，則
可取m＝(0，－1，－)，cos〈m·n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值為－.
2012高中數(shù)學(xué) 模塊質(zhì)量檢測B課時同步練習(xí) 新人教A版選修
