清華數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)試的題目八蒙特卡羅方法龍格庫(kù)塔方法

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1、word 考試課程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 2005.6.15下午 班級(jí)某某學(xué)號(hào)得分 [說(shuō)明] 〔1〕第一、二、三題的答案直接填在試題紙上； 〔2〕第四題將數(shù)學(xué)模型、簡(jiǎn)要解題過(guò)程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，請(qǐng)寫在背面； 〔3〕除非特別說(shuō)明，所有計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保存4位數(shù)字。 〔4〕考試時(shí)間為120分鐘。 一、〔10分〕某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，1千克原料在甲類設(shè)備上用12小時(shí)可生產(chǎn)3件A，可獲凈利潤(rùn)64元；在乙類設(shè)備上用8小時(shí)可生產(chǎn)4件B，可獲凈利潤(rùn)54元。該廠每天可獲得55千克原料，每天總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，且甲類設(shè)備每天至

2、多能生產(chǎn)80件A。試為該廠制訂生產(chǎn)計(jì)劃使每天的凈利潤(rùn)最大。 1） 以生產(chǎn)A、B產(chǎn)品所用原料的數(shù)量x1、x2〔千克〕作為決策變量，建立的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是： 決策變量： 生產(chǎn)A原料x(chóng)1；生產(chǎn)B原料x(chóng)2 目標(biāo)函數(shù)： y=64*x1+54*x2 約束條件： x1+x2 ≤55 12*x1+8*x2≤480 3*x1≤80 x1,x20 根本模型： max(y)= 64*x1+54*x2 s.t. x1+x2 ≤55 12*x1+8*x2≤480 3*x1≤80 x1,x20 c=[64 54];

3、A1=[1 1 ; 12 8 ; 3 0]; b1=[55;480;80]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1) lag.ineqlin 輸出結(jié)果: x =10.000000004005848 44.999999993870908 z =-3.069999999925403e+003 ans = 33.999999998919357 2.500000000140441 0.000000000278405 2） 每天的最大凈利潤(rùn)是___3070__元。

4、假如要求工人加班以增加勞動(dòng)時(shí)間，如此加班費(fèi)最多 為每小時(shí)__2.5__元。假如A獲利增加到26元/件，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？____不變___ c=[78 54]; A1=[1 1 ; 12 8 ; 3 0]; b1=[55;480;80]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1) x = 9.999999999999400 45.000000000000625 z =-3.209999999999987e+003 二、(10分) 常微分方程組初值問(wèn)題 試用數(shù)值方法求__1.7

5、3205____(保存小數(shù)點(diǎn)后5位數(shù)字)。你用的MATLAB命令是______ ode45(ff, ts,y0)______，其精度為_(kāi)___四階__。 %待解常微分方程組函數(shù)M文件源程序： function dy=ff (x,y) dy=[y(2);-y(2)./x-y(1)*(x.^2-0.25)/(x.^2)]; %應(yīng)用歐拉方法和龍格-庫(kù)塔方法求解該常微分方程： ts=pi/2:- pi/12:pi/6;?。。?！步長(zhǎng)必須是可以整除步長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度的數(shù) y0=[2,-2/pi]; [x,y]=ode45(ff, ts,y0);

6、 %龍格-庫(kù)塔方法求數(shù)值解 [x, y(:,1)] 輸出結(jié)果： 0.523598775598299 1.732050795523993 三、 (10分) 線性代數(shù)方程組Ax=b, 其中 , , , 假如方程組右端項(xiàng)有小擾動(dòng)，試根據(jù)誤差估計(jì)式估計(jì)___0.0743___〔分別表示原問(wèn)題的解和右端項(xiàng)小擾動(dòng)后對(duì)應(yīng)的解的變化量〕；假如取初值，如此用高斯-賽德?tīng)柕ㄇ蠼釧x=b時(shí)，_(1.7160, 0.3926,-0.1306, 0.1381)_；對(duì)此題而言，此迭代方法是否收斂___是__，原因是__譜半徑ρ(B)=0.397<1__。 線性代數(shù)方程組解的誤差分析： 故其

7、誤差上限為： A=[5 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 31 -1 ;2 1 0 23]; b=[6 3 4 7]; db=[0 0 0 0.1]; d=cond(A,1)*norm(db,1)/norm(b,1) 輸出結(jié)果: d =0.074339065208930 A=[5 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 31 -1 ;2 1 0 23]; D=diag(diag(A)); %從稀疏矩陣A中提取D L=-tril(A,-1);

8、 %從稀疏矩陣A中提取L U=-triu(A,1);%從稀疏矩陣A中提取U b=[6 3 4 7]';%設(shè)定方程組右端項(xiàng)向量 x= zeros(4,1);%設(shè)定方程組初始向量 m= inv(D-L)*U; n= inv(D-L)*b;%高斯-賽德?tīng)柕? for j2=1:5 y=m*(x(:,j2)); for i=1:4 x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:); end end t2=x(:,

9、end) %輸出迭代法最終結(jié)果 j2 輸出結(jié)果: t2 = 1.715972347226445 0.392646824062879 -0.130571100623047 0.138061238325401 判斂: lamda=eig(inv(D-L)*U) pubanjing=max(abs(lamda)) 輸出結(jié)果: pubanjing =0.396832340862002 四、〔20分〕炮彈射擊的目標(biāo)為一橢圓形區(qū)域，

10、在X方向半軸長(zhǎng)110m，Y方向半軸長(zhǎng)90m.當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)的中心發(fā)射炮彈時(shí)，在眾多隨機(jī)因素的影響下，彈著點(diǎn)服從以目標(biāo)中心為均值的二維正態(tài)分布，設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在X方向和Y方向分別為70m和50m。今測(cè)得一組彈著點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)如下： X -6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8 56.9 Y 28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 X 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56

11、.4 15.2 Y -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5 1) 根據(jù)這組數(shù)據(jù)對(duì)X方向和Y方向的均值和均方差進(jìn)展假設(shè)檢驗(yàn)〔設(shè)顯著性水平為0.05〕。 均值假設(shè)檢驗(yàn): H0:μ=0;H1:μ≠0； x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.

12、8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h1=ztest(x,0,70) h2=ztest(y,0,50) 輸出結(jié)果： h1 =0 h2 =0 方差假設(shè)檢驗(yàn): H0：σ2=σ02；H1：σ2≠σ02； x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17

13、.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; function [h]=ktest(x,s0,alpha,tail) n=length(x); k=(n-1)*var(x)/(s0^2) %χ2分布檢驗(yàn)方差 if tail==0 k1=chi2inv(alpha/2,n-1) k2=chi2inv(1-alpha/2,n-1) if k>=k1&k<=k2 h=0; else h=1; end end if

14、 tail==1 k0=chi2inv(1-alpha,n-1) if k<=k0 h=0; else h=1; end end if tail==-1 k0=chi2inv(alpha,n-1) if k>=k0 h=0; else h=1; end h1=ktest(x,70,0.05,0) h2=ktest(y,50,0.05,0) 輸出結(jié)果： h1 =0 h2 =0 2) 根據(jù)這組數(shù)據(jù)給出隨機(jī)變量X和Y相關(guān)系數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。 相關(guān)系數(shù)點(diǎn)估計(jì)： x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7

15、 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; r=corrcoef(x,y) 輸出結(jié)果： r=0.313412305102197 3) 用蒙特卡羅方法求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率〔取10000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；請(qǐng)附程序〕。 %炮彈命中橢圓形區(qū)域概率源程序： a=110;

16、 b=90; sx=70; sy=50; r=0.3134123; z=0; n=10000; x=unifrnd(-a,a,1,n); y=unifrnd(-b,b,1,n); for i=1:n if (x(i)^2)/(a^2)+y(i)^2/(b^2)<=1 u=exp(-0.5/(1-r^2)*(x(i)^2/sx^2-2*r*x(i)*y(i)/(sx*sy)+y(i)^2/sy^2)); z=z+u; end end P=4*a*b*z/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2)*n) 輸出結(jié)果： P =

17、 0.761272218724379 考試課程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 2005.6.15下午 班級(jí)學(xué)號(hào)某某得分 [說(shuō)明] 〔1〕第一、二、三題的答案直接填在試題紙上； 〔2〕第四題將數(shù)學(xué)模型、簡(jiǎn)要解題過(guò)程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，請(qǐng)寫在背面； 〔3〕除非特別說(shuō)明，所有計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保存4位數(shù)字。 〔4〕考試時(shí)間為120分鐘。 一、〔10分〕某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，1千克原料在甲類設(shè)備上用12小時(shí)可生產(chǎn)3件A，可獲凈利潤(rùn)64元；在乙類設(shè)備上用8小時(shí)可生產(chǎn)4件B，可獲凈利潤(rùn)56元。該廠每天可獲得55千克原料

18、，每天總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，且甲類設(shè)備每天至多能生產(chǎn)80件A。試為該廠制訂生產(chǎn)計(jì)劃使每天的凈利潤(rùn)最大。 1） 以生產(chǎn)A、B產(chǎn)品所用原料的數(shù)量x1、x2〔千克〕作為決策變量，建立的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是： 2） 每月的最大凈利潤(rùn)是_____________元。假如要求工人加班以增加勞動(dòng)時(shí)間，如此加班費(fèi)最多 為每小時(shí)__________元。假如A獲利增加到27元/件，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？_____________ 二、(10分) 常微分方程組初值問(wèn)題 試用數(shù)值方法求_______________________(保存小數(shù)點(diǎn)后5位數(shù)字)。你用的MATLAB命令是_______________

19、___________________________，其精度為_(kāi)____________。 三、(10分) 線性代數(shù)方程組Ax=b, 其中 , , , 假如方程組右端項(xiàng)有小擾動(dòng)，試根據(jù)誤差估計(jì)式估計(jì)_____________ 〔分別表示原問(wèn)題的解和右端項(xiàng)小擾動(dòng)后對(duì)應(yīng)的解的變化量〕；假如取初值，如此用高斯-賽德?tīng)柕ㄇ蠼釧x=b時(shí)，____________________________________________；對(duì)此題而言，此迭代方法是否收斂_________________，原因是__________________________________。 四、〔20分〕炮

20、彈射擊的目標(biāo)為一橢圓形區(qū)域，在X方向半軸長(zhǎng)100m，Y方向半軸長(zhǎng)80m.當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)的中心發(fā)射炮彈時(shí)，在眾多隨機(jī)因素的影響下，彈著點(diǎn)服從以目標(biāo)中心為均值的二維正態(tài)分布，設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在X方向和Y方向分別為70m和50m。今測(cè)得一組彈著點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)如下： X -6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -100.8 56.9 Y 28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 X 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 8

21、0.6 -42.6 56.4 15.2 Y -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5 1） 根據(jù)這組數(shù)據(jù)對(duì)X方向和Y方向的均值和均方差進(jìn)展假設(shè)檢驗(yàn)〔設(shè)顯著性水平為0.05〕。 2） 根據(jù)這組數(shù)據(jù)給出隨機(jī)變量X和Y相關(guān)系數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。 3） 用蒙特卡羅方法求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率〔取10000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；請(qǐng)附程序〕。 考試課程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2005.6.15 A卷〔班級(jí)-某某-學(xué)號(hào)-得分〕 一、1〕〔如果進(jìn)

22、一步要求3x1和4x2為非負(fù)整數(shù)，不扣分〕 2〕3070元，2.5元；不變 二、1.73203(或1.73205), ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) 〔不寫3級(jí)(或5級(jí)〕不扣分；個(gè)別同學(xué)可能用其他命令，如此結(jié)果相應(yīng)略有變化) 三、0.0743, [1.7160, 0.3926,-0.1306, 0.1381]’, 收斂,譜半徑為0.3968<1 〔不寫出譜半徑的具體數(shù)值不扣分，但寫錯(cuò)要扣分〕 四、1〕對(duì)均值做的假設(shè)為 (X,Y方向一樣) X,Y方向均承受H0 對(duì)X方向的方差做的假設(shè)為 H0: =4900, H0: 4900〔如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分

23、〕承受H0 對(duì)Y方向的方差做的假設(shè)為 H0: =2500, H0: 2500〔如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分〕承受H0 2)相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)為0.313〔用r=corrcoef(x,y)命令〕 3)大約0.76，結(jié)果具有隨機(jī)性 [附]主要程序示例： %1)~2) x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8(%B-100.8) 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; h1=ztest(x,0,70), %x方向均值檢驗(yàn) y=[28.9 1.6 61

24、.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h2=ztest(y,0,50), %Y方向均值檢驗(yàn) r=corrcoef(x,y) %相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì) pause n=20; alpha=0.05; sx2=var(x),sx0=70; chi2=(n-1)*sx2/(sx0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end sy2=var(y),

25、sy0=50; chi2=(n-1)*sy2/(sy0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end %3) a=0.7;b=0.5;m=0;z=0; p=0.313;c=1.1;d=0.9;%A % p=0.311;c=1; d=0.8; %B n=10000; for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(-0.5/(1-p*p)*(c^2*x(1)^2/a^

26、2+d^2*x(2)^2/b^2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b)); z=z+y; m=m+1; end end P=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,m B卷〔班級(jí)-學(xué)號(hào)-某某〕 一、1〕 2〕3160元； 2元；不變 二、1.53077 (或1.53073), 龍格-庫(kù)塔方法ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) 三、0.0826, [2.3416,0.5359,-0.2961,-0.0095]’, 收斂, 譜半徑為0.3968<1 四、1)同A卷。2)0.311; 3) 大

27、約0.69，結(jié)果具有隨機(jī)性 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 一、1)5分(每個(gè)式子一分)，2)前兩空每空2分，最后一空1分。 二、第一空6分，后兩空每空2分。 三、第一空3分，中間一空5分，最后兩空每空1分。 四、1)8分〔4個(gè)檢驗(yàn)每個(gè)2分〕；2〕2分； 3〕10分〔看程序與結(jié)果分析：積分表達(dá)式2分，程序5分，結(jié)果3分〕 考試課程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2005.6.15 A卷〔班級(jí)-某某-學(xué)號(hào)-得分〕 一、1〕〔如果進(jìn)一步要求3x1和4x2為非負(fù)整數(shù)，不扣分〕 2〕3070元，2.5元；不變 二、1.73203(或1.73205), ode23(或ode45)

28、，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) 〔不寫3級(jí)(或5級(jí)〕不扣分；個(gè)別同學(xué)可能用其他命令，如此結(jié)果相應(yīng)略有變化) 三、0.0743, [1.7160, 0.3926,-0.1306, 0.1381]’, 收斂,譜半徑為0.3968<1 〔不寫出譜半徑的具體數(shù)值不扣分，但寫錯(cuò)要扣分〕 四、1〕對(duì)均值做的假設(shè)為 (X,Y方向一樣) X,Y方向均承受H0 對(duì)X方向的方差做的假設(shè)為 H0: =4900, H0: 4900〔如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分〕承受H0 對(duì)Y方向的方差做的假設(shè)為 H0: =2500, H0: 2500〔如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分〕承受H0 2)相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)為0.313

29、〔用r=corrcoef(x,y)命令〕 3)大約0.76，結(jié)果具有隨機(jī)性 [附]主要程序示例： %1)~2) x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8(%B-100.8) 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; h1=ztest(x,0,70), %x方向均值檢驗(yàn) y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -

30、32 -9.5]; h2=ztest(y,0,50), %Y方向均值檢驗(yàn) r=corrcoef(x,y) %相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì) pause n=20; alpha=0.05; sx2=var(x),sx0=70; chi2=(n-1)*sx2/(sx0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end sy2=var(y),sy0=50; chi2=(n-1)*sy2/(sy0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=ch

31、i2alpha H0=0 else H0=1 end %3) a=0.7;b=0.5;m=0;z=0; p=0.313;c=1.1;d=0.9;%A % p=0.311;c=1; d=0.8; %B n=10000; for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(-0.5/(1-p*p)*(c^2*x(1)^2/a^2+d^2*x(2)^2/b^2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b)); z=z+y; m=m+1; en

32、d end P=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,m B卷〔班級(jí)-學(xué)號(hào)-某某〕 一、1〕 2〕3160元； 2元；不變 二、1.53077 (或1.53073), 龍格-庫(kù)塔方法ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) 三、0.0826, [2.3416,0.5359,-0.2961,-0.0095]’, 收斂, 譜半徑為0.3968<1 四、1)同A卷。2)0.311; 3) 大約0.69，結(jié)果具有隨機(jī)性 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 一、1)5分(每個(gè)式子一分)，2)前兩空每空2分，最后一空1分。 二、第一空6分，后兩空每空2分。 三、第一空3分，中間一空5分，最后兩空每空1分。 四、1)8分〔4個(gè)檢驗(yàn)每個(gè)2分〕；2〕2分； 3〕10分〔看程序與結(jié)果分析：積分表達(dá)式2分，程序5分，結(jié)果3分〕 10 / 10