2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.1.2 第2課時 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修1

3.1.2 第2課時　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系.2.能運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決一些問題. [知識鏈接] 1.函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)恒過點(0,1)，當(dāng)a＞1時，單調(diào)遞增，當(dāng)0＜a＜1時，單調(diào)遞減. 2.復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性：當(dāng)y＝f(x)與u＝g(x)有相同的單調(diào)性時，函數(shù)y＝f(g(x))單調(diào)遞增，當(dāng)y＝f(x)與u＝g(x)的單調(diào)性相反時，y＝f(g(x))單調(diào)遞減，簡稱為同增異減. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.函數(shù)y＝ax與y＝a－x(a＞0，且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱. 2.形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì) (1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域. (2)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反. 3.形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函數(shù)是一種指數(shù)型函數(shù)，這是一種非常有用的函數(shù)模型. 4.設(shè)原有量為N，每次的增長率為p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y＝N(1＋p)x(x∈N). 要點一　利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例1　比較下列各組數(shù)的大小： (1)1.9－π與1.9－3；(2)與0.70.3； (3)0.60.4與0.40.6. 解　(1)由于指數(shù)函數(shù)y＝1.9x在R上單調(diào)遞增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3. (2)因為函數(shù)y＝0.7x在R上單調(diào)遞減，而2－≈0.267 9＜0.3，所以＞0.70.3. (3)因為y＝0.6x在R上單調(diào)遞減，所以0.60.4＞0.60.6；又在y軸右側(cè)，函數(shù)y＝0.6x的圖象在y＝0.4x的圖象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6. 規(guī)律方法　1.對于底數(shù)相同但指數(shù)不同的兩個冪的大小的比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷. 2.比較冪值，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化為同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進第三個數(shù)(如0或1等)分別與之比較，借助中間值比較. 跟蹤演練1　已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案　D 解析　因為函數(shù)y＝0.8x在R上單調(diào)遞減，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因為1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c＞a＞b. 要點二　指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性 例2　判斷f(x)＝的單調(diào)性，并求其值域. 解　令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上遞減， ∴y＝在(－∞，1]上遞增，在[1，＋∞)上遞減. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函數(shù)的值域為(0,3]. 規(guī)律方法　1.關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a的大小；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成. 2.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f[φ(x)]的單調(diào)性. 跟蹤演練2　求函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間. 解　函數(shù)y＝的定義域是R.令u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，則y＝2u.當(dāng)x∈(－∞，1]時，函數(shù)u＝－x2＋2x為增函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝在(－∞，1]上是增函數(shù). 當(dāng)x∈[1，＋∞)時，函數(shù)u＝－x2＋2x為減函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝在[1，＋∞)上是減函數(shù). 綜上，函數(shù)y＝的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]，單調(diào)減區(qū)間是[1，＋∞). 要點三　指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3　已知函數(shù)f(x)＝. (1)證明f(x)為奇函數(shù). (2)判斷f(x)的單調(diào)性，并用定義加以證明. (3)求f(x)的值域. (1)證明　由題知f(x)的定義域為R， f(－x)＝＝ ＝＝－f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù). (2)解　f(x)在定義域上是增函數(shù).證明如下： 任取x1，x2∈R，且x1＜x2， f(x2)－f(x1)＝－ ＝(1－)－(1－) ＝. ∵x1＜x2，∴3－3＞0,3＋1＞0，3＋1＞0， ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)為R上的增函數(shù). (3)解　f(x)＝＝1－， ∵3x＞0?3x＋1＞1?0＜＜2?－2＜－＜0， ∴－1＜1－＜1， 即f(x)的值域為(－1,1). 規(guī)律方法　指數(shù)函數(shù)是一種具體的初等函數(shù)，常與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識點融合在一起進行考查，按照原有的單調(diào)性、奇偶性的解決辦法分析、解決問題即可. 跟蹤演練3　設(shè)a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函數(shù). (1)求a的值； (2)求證f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù). (1)解　依題意，對一切x∈R，有f(x)＝f(－x)， 即＋＝＋aex， ∴＝0對一切x∈R成立.由此得到a－＝0， 即a2＝1.又a＞0，∴a＝1. (2)證明　設(shè)0＜x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝ex1－e＋－＝(e－e)·＝(e－e). ∵0＜x1＜x2，∴e＞e，∴e－e＞0. 又1－e＜0，e＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0. 即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù). 1.函數(shù)y＝1－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1) 答案　A 解析　定義域為R. 設(shè)u＝1－x，y＝u. ∵u＝1－x在R上為減函數(shù). 又∵y＝u在(－∞，＋∞)為減函數(shù)， ∴y＝1－x在(－∞，＋∞)是增函數(shù)， ∴選A. 2.若2a＋1＜3－2a，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(1，＋∞) B. C.(－∞，1) D. 答案　B 解析　原式等價于2a＋1＞3－2a，解得a＞. 3.設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，則(　　) A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2 答案　D 解析　40.9＝21.8,80.48＝21.44，()－1.5＝21.5， 根據(jù)y＝2x在R上是增函數(shù)， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y1＞y3＞y2，故選D. 4.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20 min分裂一次，即由1個細菌分裂成2個細菌，經(jīng)過3 h，這種細菌由1個可繁殖成________個. 答案　512 解析　3 h＝9×20 min，即經(jīng)過9次分裂，可分裂為29＝512個. 5.已知函數(shù)f(x)＝a－，若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________. 答案　 解析　∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，定義域為R ∴f(0)＝a－＝0. ∴a＝. 1.比較兩個指數(shù)式值大小的主要方法 (1)比較形如am與an的大小，可運用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調(diào)性. (2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am＜c且c＜bn，則am＜bn；若am＞c且c＞bn，則am＞bn. 2.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)形如y＝af(x)的函數(shù)的單調(diào)性：令u＝f(x)，在f(x)的單調(diào)區(qū)間[m，n]上，如果兩個函數(shù)y＝au與u＝f(x)的單調(diào)性相同，則函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，則函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是減函數(shù). (2)形如ax＞ay的不等式，當(dāng)a＞1時，ax＞ay?x＞y；當(dāng)0＜a＜1時，ax＞ay?x＜y. 6