2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修3

3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過具體問題感受幾何概型的概念，體會(huì)幾何概型的意義.2.會(huì)求一些簡單的幾何概型的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法估計(jì)事件的概率.4.應(yīng)用概率解決實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一　幾何概型的概念 思考　往一個(gè)方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上．這個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，還是無限個(gè)？若沒有人為因素，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？ 　 　 梳理 1．幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，如圖，A的概 率只與子區(qū)域A的__________(長度、面積或體積)成________，而與A的__________和________無關(guān)．滿足以上條件的試驗(yàn)稱為__________． 2．幾何概型的特點(diǎn) (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有________． (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性________． 知識(shí)點(diǎn)二　幾何概型的概率公式 思考　既然幾何概型的基本事件有無限多個(gè)，難以像古典概型那樣計(jì)算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？ 　 梳理 幾何概型的概率計(jì)算公式 在幾何概型中，事件A的概率定義為：______________，其中，μΩ表示________________，μA表示__________________________． 知識(shí)點(diǎn)三　均勻隨機(jī)數(shù) 1．隨機(jī)數(shù) 隨機(jī)數(shù)就是在________________，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的________________________． 2．計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法 建立一個(gè)概率模型，它與某些我們____________有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來______________．按照以上思路建立起來的方法稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法． 類型一　幾何概型的識(shí)別 例1　下列關(guān)于幾何概型的說法錯(cuò)誤的是(　　) A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都要具有等可能性 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的形狀或位置無關(guān) C．幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè) D．幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性 反思與感悟　幾何概型特點(diǎn)的理解 (1)無限性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果有無窮多個(gè)，即基本事件有無限多個(gè)； (2)等可能性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的． 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型． (1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率； (2)如圖所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲、乙玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率． 　 　 類型二　幾何概型的計(jì)算 命題角度1　與長度有關(guān)的幾何概型 例2　某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站?？?分鐘，求乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘的概率． 引申探究 1．本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求候車時(shí)間不超過10分鐘的概率． 2．本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求乘客到達(dá)車站立即上車的概率．　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　若一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果和某個(gè)事件A包含的結(jié)果(基本事件)都對(duì)應(yīng)一個(gè)長度，如線段長、時(shí)間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應(yīng)的長度，然后運(yùn)用幾何概型的概率計(jì)算公式求出事件A發(fā)生的概率． 跟蹤訓(xùn)練2　平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(r＜a)的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率． 　 　 命題角度2　與面積有關(guān)的幾何概型 例3　設(shè)點(diǎn)M(x，y)在區(qū)域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均勻分布出現(xiàn)，求： (1)x＋y≥0的概率； (2)x＋y＜1的概率； (3)x2＋y2≥1的概率． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　如果每個(gè)基本事件可以理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，某個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個(gè)指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型，并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解． 跟蹤訓(xùn)練3　歐陽修《賣油翁》中寫到，(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌瀝之，自錢孔入而錢不濕．若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有一個(gè)邊長為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計(jì))，則油滴正好落入孔中的概率是(　　) A. B. C. D. 命題角度3　與體積有關(guān)的幾何概型 例4　已知正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD內(nèi)部的點(diǎn)． (1)設(shè)“VP－ABC≥V”的事件為X，求概率P(X)； (2)設(shè)“VP－ABC≥V且VP－BCD≥V”的事件為Y，求概率P(Y)． 　 　 反思與感悟　如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為 P(A)＝. 解決此類問題的關(guān)鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆． 跟蹤訓(xùn)練4　在一個(gè)球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B.π C. D. 類型三　均勻隨機(jī)數(shù)及隨機(jī)模擬方法 例5　在如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計(jì)圓周率的值. 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍．用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大． 用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)． 跟蹤訓(xùn)練5　取一根長度為5 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用均勻隨機(jī)模擬方法估計(jì)剪得兩段的長都不小于2 m的概率有多大？ 　 　 　 　 　 1．下列概率模型是幾何概型的為(　　) A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實(shí)根的概率 B．已知a，b滿足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實(shí)根的概率 C．從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率 D．求張三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天計(jì)算) 2．面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 3．如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 4．在200 mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出20 mL水樣利用顯微鏡觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是________． 5．在區(qū)間[0,1]上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率． 　 　 1．幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型． 2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的問題． 3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 4．理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為 P(A)＝. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　出現(xiàn)的結(jié)果是無限個(gè)；每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的． 梳理 1．幾何度量　正比　位置　形狀　幾何概型 2．(1)無限多個(gè)　(2)相等 知識(shí)點(diǎn)二 思考　可以用事件A所占有的幾何量與總的基本事件所占有的幾何量之比來表示． 梳理　P(A)＝　區(qū)域Ω的幾何度量　子區(qū)域A的幾何度量 知識(shí)點(diǎn)三 1．一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)　每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣 2．感興趣的量　確定這些量 題型探究 類型一 例1　A　[幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，幾何概型中的基本事件有無限多個(gè)，古典概型中的基本事件有有限個(gè)．] 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果有6×6＝36(種)，且它們的發(fā)生都是等可能的，因此屬于古典概型． (2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，且它們的發(fā)生都是等可能的，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型． 類型二 命題角度1 例2　解　如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時(shí)刻為T1，T2，T1T2＝15. 設(shè)T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘”為事件A. 則當(dāng)乘客到站時(shí)刻t落到T1T上時(shí)，事件A發(fā)生． 因?yàn)門1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15， 所以P(A)＝＝. 引申探究　 1．解　由原題解析圖可知，當(dāng)t落在TT2上時(shí)，候車時(shí)間不超過10分鐘，故所求概率P＝＝. 2．解　由原題解析圖可知，當(dāng)t落在T0T2上時(shí)，乘客立即上車，故所求概率P＝＝＝. 跟蹤訓(xùn)練2　解　記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A，如圖，由圖可知：硬幣圓心在線段AB上的任意一點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的．圓心在線段CD(不含點(diǎn)C、D)上出現(xiàn)時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以P(A)＝＝＝. 命題角度2 例3　解　如圖，滿足|x|≤1，|y|≤1的點(diǎn)(x，y)組成一個(gè)邊長為2的正方形(ABCD)區(qū)域(含邊界)，S正方形ABCD＝4. (1)x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點(diǎn)在AC的右上方(含AC)，即在△ACD內(nèi)(含邊界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝＝. (2)設(shè)E(0,1)，F(xiàn)(1,0)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線，滿足x＋y＜1的點(diǎn)在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝， 所以P(x＋y＜1)＝＝＝. (3)滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓O，S⊙O＝π， 所以P(x2＋y2≥1)＝＝. 跟蹤訓(xùn)練3　A　[∵S正方形＝1 cm2，S圓＝π·2＝(cm2)， ∴P＝＝，故選A.] 命題解度3 例4　解　(1)如圖，分別取DA、DB、DC上的點(diǎn)E、F、G，并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，連接EF、FG、GE，則平面EFG∥平面ABC. 當(dāng)P在正四面體DEFG內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足VP－ABC≥V，故P(X)＝＝3＝3＝. (2)在AB上取點(diǎn)H，使AH＝3HB，在AC上取點(diǎn)I，使AI＝3IC，在AD上取點(diǎn)J，使AJ＝3JD，連接JH、JI，分別交EF、EG于點(diǎn)M、N，連接MN、HI，則P在正四面體AHIJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足VP－BCD≥V. 結(jié)合(1)可知，當(dāng)P在正四面體DEFG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，即P在正四面體EMNJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)， 滿足VP－ABC≥V且VP－BCD≥V， 于是P(Y)＝＝3＝3＝. 跟蹤訓(xùn)練4　D　[由題意可知這是一個(gè)幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長，故球的半徑R＝，球的體積V2＝π×3＝π，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P＝＝.] 類型三 例5　解　隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比， 即≈. 設(shè)正方形的邊長為2，則圓的半徑為1，則＝＝，由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來的， 所以π≈×4.所以就得到了π的近似值． 跟蹤訓(xùn)練5　解　設(shè)剪得兩段的長都不小于2 m為事件A. (1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)0～5之間的均勻隨機(jī)數(shù)， x＝rand()*5. (2)作伸縮變換：y＝x*(5－0)，轉(zhuǎn)化為[0,5]上的均勻隨機(jī)數(shù)． (3)統(tǒng)計(jì)出[2,3]內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)m. (4)則概率P(A)的近似值為. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．B　[對(duì)于選項(xiàng)B，a，b滿足的條件為坐標(biāo)平面內(nèi)某一區(qū)域，涉及面積問題，為幾何概型，其他三個(gè)選項(xiàng)均為古典概型．] 2．B　[向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝.] 3．0.18 解析　設(shè)陰影部分的面積為S，則＝， ∴S＝0.18. 4．0.1 解析　記“從200 mL水中隨機(jī)取出20 mL水樣利用顯微鏡觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲”為事件A，則由幾何概型的概率計(jì)算公式可得P(A)＝＝0.1. 5．解　∵a，b，c∈[0,1]， ∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閱挝徽襟w(其中原點(diǎn)O為正方體的一個(gè)頂點(diǎn))． 設(shè)“|m|≥1”為事件A，則表示“|m|＜1”，即a2＋b2＋c2＜1，這樣的點(diǎn)(a，b，c)位于單位正方體內(nèi)，且在以原點(diǎn)為球心，1為半徑的球內(nèi)，V′＝×π×13＝.又V正方體＝1， ∴P()＝＝，因此P(|m|≥1)＝P(A)＝1－P()＝1－. 11