2018高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式1 基本不等式的證明學(xué)案 蘇教版必修5

基本不等式的證明 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明 基本不等式的證明 1.掌握基本不等式 （a≥0，b≥0）； 2.能用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式（指只用一次基本不等式，即可解決的問(wèn)題） 選擇題 填空題 基本不等式的證明中要注意多次運(yùn)用公式等號(hào)能否同時(shí)取到，這一章節(jié)也是不等式的難點(diǎn)。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式證明不等式。 難點(diǎn)：理解基本不等式等號(hào)成立的條件。 考點(diǎn)一：基本不等式 如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”），我們把不等式稱(chēng)為基本不等式。 【要點(diǎn)詮釋】 ① 對(duì)于正數(shù)a，b，我們把稱(chēng)為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為a，b的幾何平均數(shù)， 基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 ② 對(duì)于“=”的理解應(yīng)為若，則且若，則，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，。 ③ 注意與成立的條件是不同的，前者是，后者是。 考點(diǎn)二：基本不等式的其他形式 基本不等式的四種形式 ① ；（）； ② （）； ③ （）； ④ （）。 【要點(diǎn)詮釋】 ①②兩種形式的前提是，③④兩種形式的前提是；四種形式等號(hào)成立的條件都是。 考點(diǎn)三：利用基本不等式證明不等式 （1）注意均值不等式的前提條件； （2）通過(guò)加減項(xiàng)的方法配湊成使用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的形式； （3）注意“1”的代換； （4）靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用。 如； （5）合理配組，反復(fù)應(yīng)用不等式。 基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)。 【隨堂練習(xí)】若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一個(gè)是________。 思路分析：（1）利用特殊值法判斷；（2）利用基本不等式判斷大小。 答案：方法一：取，則。顯然a＋b最大。 方法二：　因?yàn)?＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，所以a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，所以四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)應(yīng)從a＋b，a2＋b2中選擇．而a2＋b2－（a＋b）＝a（a－1）＋b（b－1），又因?yàn)?＜a＜1,0＜b＜1，所以a（a－1）＜0，b（b－1）＜0，所以a2＋b2－（a＋b）＜0，即a2＋b2＜a＋b，所以a＋b最大。 技巧點(diǎn)撥：特殊值法是解決客觀題的一種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法；基本不等式是比較大小的一種途徑。 例題1 （基本不等式的簡(jiǎn)單證明） 已知a＞b＞c，求證：。 思路分析：不等式左側(cè)分式含a，b，c三個(gè)字母，右側(cè)只有a，c，把a(bǔ)－c用a－b＋b－c表達(dá)，然后利用配湊法、基本不等式，把分式縮為整式。 答案：∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＝a－b＋b－c＞0， ∴所證不等式等價(jià)于 （a－c）≥4。 又 （a－c） 技巧點(diǎn)撥：在解題過(guò)程中，把數(shù)值或代數(shù)式拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或是恒等地配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)或式子是數(shù)學(xué)表達(dá)式變形過(guò)程中比較常用的方法，也是一種解題技巧。 例題2 （多次利用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式） 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：a＋b＋c＞＋＋。 思路分析：分析不等式結(jié)構(gòu)→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等號(hào)是否成立。 答案： ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2， b＋c≥2， c＋a≥2， ∴2（a＋b＋c）≥2（）， 即a＋b＋c≥， 由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立。 ∴a＋b＋c＞。 技巧點(diǎn)撥： 本題證明過(guò)程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所證的不等式，要注意基本不等式的使用條件，對(duì)“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)取等號(hào)”這句話要搞清楚。 例題3 （含條件的不等式的證明） 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：≥9。 思路分析：利用“1”的代換，把中的1用a＋b＋c代換，然后利用分?jǐn)?shù)性質(zhì)和基本不等式解決。 答案：∵a＋b＋c＝1， ≥3＋2＋2＋2＝9。 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，取等號(hào)。 技巧點(diǎn)撥：使用基本不等式證明問(wèn)題時(shí)，要注意條件是否滿(mǎn)足，同時(shí)注意等號(hào)能否取到，問(wèn)題中若出現(xiàn)“1”要注意“1”的整體代換，多次使用基本不等式，要注意等號(hào)能否同時(shí)成立。 【拓展訓(xùn)練】 一道綜合不等式的證明 【滿(mǎn)分訓(xùn)練】 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足y＋x2＝0，且0＜a＜1， 求證：loga（ax＋ay）＜＋loga2。 思路分析：通過(guò)代換減少變量，利用基本不等式和一元二次函數(shù)的最值解決。 答案：∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2，又∵0＜a＜1，∴l(xiāng)oga（ax＋ay）≤loga2＝logaax＋y＋loga2＝ （x＋y）＋loga2。 因?yàn)閥＋x2＝0， ∴l(xiāng)oga（ax＋ay）≤ （x－x2）＋loga2＝－ （x－）2＋＋loga2≤＋loga2， 又上式中等號(hào)不能同時(shí)取到，所以原不等式得證。 技巧點(diǎn)撥：注意：在利用基本不等式和一元二次不等式時(shí)，求最值中等號(hào)不能同時(shí)取到。 4