2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第二節(jié)　空間圖形的基本關(guān)系與公理 [考綱傳真]　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題． 1．空間圖形的公理 (1)公理1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)． (2)公理2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))． (3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． (4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行． 2．空間中兩直線的位置關(guān)系 (1)空間中兩直線的位置關(guān)系 (2)異面直線所成的角 ①定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角． ②范圍：. (3)定理(等角定理) 空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補． 3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 (1)空間中直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點 直線a在平面α內(nèi) aα 有無數(shù)個公共點 直線在平面外 直線a與平面α平行 a∥α 沒有公共點 直線a與平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一個公共點 直線a與平面α垂直 a⊥α (2)空間中兩個平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點 兩平面平行 α∥β 沒有公共點 兩平面相交 斜交 α∩β＝l 有一條公共直線 垂直 α⊥β且 α∩β＝a 1．公理2的三個推論 推論1　經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面． 推論2　經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3　經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． 2．異面直線的判定定理 經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線． 3．等角定理的引申 (1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等． (2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這兩個角互補． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線． (　　) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面． (　　) (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合． (　　) (4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(　　) A．30°　　　　 B．45° C．60° D．90° C　[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°.] 3．(教材改編)下列命題正確的是(　　) A．經(jīng)過三點確定一個平面 B．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面 C．四邊形確定一個平面 D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面 D　[根據(jù)確定平面的公理和推論知選項D正確．] 4．已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形 一定是(　　) A．空間四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 B　[四邊形的相鄰兩邊分別平行于空間四邊形的兩角對角線，故選B．] 5．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由題意知aα，bβ，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A．] 空間圖形的公理及其應(yīng)用 【例1】　(1)以下命題中，正確命題的個數(shù)是(　　) ①不共面的四點中，其中任意三點不共線； ②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面； ③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點共線，則四個點必共面，與不共面的四點矛盾；②中若點A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故②錯誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時，四條線段不共面，故④錯誤．] (2)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證： ①E，C，D1，F(xiàn)四點共面； ②CE，D1F，DA三線共點． [解]?、偃鐖D，連接EF，CD1，A1B． ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點， ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面． ②∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P， 則由P∈直線CE，CE平面ABCD， 得P∈平面ABCD． 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點． [規(guī)律方法]　共點、共線、共面問題的證明方法 (1)證明點共線問題：①公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)基本公理3證明這些點都在交線上；②同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上． (2)證明線共點問題：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點． (3)證明點、直線共面問題：①納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合． (1)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是 (　　) A　　　　　B　　　　C　　　　D D　[根據(jù)異面直線的判定定理，選項D中PS與QR是異面直線，則四點P，Q，R，S不共面．故選D．] (2)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線． [證明]　如圖，連接BD，B1D1， 則BD∩AC＝O， 因為BB1DD1， 所以四邊形BB1D1D為平行四邊形， 又H∈B1D， B1D平面BB1D1D， 則H∈平面BB1D1D， 因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1， 所以H∈OD1. 即D1，H，O三點共線． 空間兩條直線的位置關(guān)系 【例2】　(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，給出下列命題： ①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交； ②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直； ③若a∥b，則必有a∥c. 其中真命題有________．(填序號) (2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)． ①　　?、凇　　、邸　　　、? (1)①③　(2)②④　[(1)對于①，若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，從而a∥b，這與a與b是異面直線矛盾，故①正確． 對于②，a與b可能異面垂直，故②錯誤． 對于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，從而a∥c，故③正確． (2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．] [規(guī)律方法]　異面直線的判定方法 (1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　) A．一定是異面直線　　 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 (2)如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論為________．(把你認為正確的結(jié)論的序號都填上) (1)C　(2)③④　[(1)c與b可能相交，也可能異面，但可不能平行，故選C． (2)根據(jù)兩條異面直線的判定定理知，③④正確．] 異面直線所成的角 【例3】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． (2)如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中點，則異面直線BC1與PD所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (1)C　(2)C　[(1)如圖，連接BE， 因為AB∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB．不妨設(shè)正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.故選C． (2)取CD的中點Q， 連接BQ，C1Q ∵P是AB的中點， ∴BQ∥PD ∴∠C1BQ是異面直線BC1與PD所成的角． 在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝， ∴∠C1BQ＝60°， 即異面直線BC1與PD所成的角等于60°，故選C．] [規(guī)律方法]　用平移法求異面直線所成的角的步驟 (1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角． (1)已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB、PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4，則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________． (1)A　(2)　[(1)取AC的中點O，連接OM，ON，則 OMBC，ONPA． ∴∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角． 在△OMN中，MN＝4，OM＝2，ON＝2，∴cos∠ONM＝ ＝＝， ∴∠ONM＝30° 即異面直線PA與MN所成角的大小為30°，故選A． (2)取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD， 因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC， 所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD． 因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.] 1．(2017·全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[將直三棱柱ABC­A1B1C1補形為直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD． 由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°. 在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝. 又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ， 所以cos θ＝＝＝. 故選C．] 2．(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． A　[根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角． 設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] - 11 -