2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.1.2 指數(shù)函數(shù)（一）學(xué)案 新人教B版必修1

3．1.2　指數(shù)函數(shù)(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對(duì)底數(shù)的限制條件的合理性.2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì).3.會(huì)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域． 知識(shí)點(diǎn)一　指數(shù)函數(shù) 思考　細(xì)胞分裂時(shí)，第一次由1個(gè)分裂成2個(gè)，第2次由2個(gè)分裂成4個(gè)，第3次由4個(gè)分裂成8個(gè)，如此下去，如果第x次分裂得到y(tǒng)個(gè)細(xì)胞，那么細(xì)胞個(gè)數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？這個(gè)函數(shù)式與y＝x2有什么不同？ 　 　 梳理　一般地，________________叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是____． 特別提醒：(1)規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①當(dāng)a≤0時(shí)，ax可能無(wú)意義；②當(dāng)a>0時(shí)，x可以取任何實(shí)數(shù)；③當(dāng)a＝1時(shí)，ax＝1 (x∈R)，無(wú)研究?jī)r(jià)值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1. (2)要注意指數(shù)函數(shù)的解析式：①底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)．②指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上．③ax的系數(shù)必須為1.④指數(shù)函數(shù)等號(hào)右邊不會(huì)是多項(xiàng)式，如y＝2x＋1不是指數(shù)函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)二　指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 思考　函數(shù)的性質(zhì)包括哪些？如何探索指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？ 　 　 　 梳理　指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì) a>1 0<a<1 圖象 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質(zhì) 過(guò)定點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)______，即x＝____時(shí)，y＝____ 函數(shù)值的變化 當(dāng)x>0時(shí)，______； 當(dāng)x<0時(shí)，______ 當(dāng)x>0時(shí)，______； 當(dāng)x<0時(shí)，______ 單調(diào)性 是R上的________ 是R上的________ 類(lèi)型一　求指數(shù)函數(shù)的解析式 例1　已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，π)，求函數(shù)f(x)的解析式． 　 　 　 　 　 反思與感悟　根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，a是一個(gè)常數(shù)，ax的系數(shù)為1，且a>0，a≠1.指數(shù)位置是x，其系數(shù)也為1，凡是不符合這些要求的都不是指數(shù)函數(shù)． 要求指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一個(gè)已知條件即可． 跟蹤訓(xùn)練1　已知指數(shù)函數(shù)y＝(2b－3)ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，求a，b的值． 　 　 類(lèi)型二　指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題 例2　求下列函數(shù)的定義域、值域． (1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1. 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解此類(lèi)題的要點(diǎn)是設(shè)ax＝t，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍．從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝f(t)的問(wèn)題． 跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的定義域與值域． (1)y＝ ； (2)y＝(a>0，且a≠1)． 　 　 　 　 　 　 例3　求函數(shù)y＝ 的定義域、值域． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　y＝af(x)的定義域即f(x)的定義域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的單調(diào)性結(jié)合t＝f(x)的范圍求y＝at的范圍． 跟蹤訓(xùn)練3　求下列函數(shù)的定義域、值域： (1)y＝0.3；(2)y＝3. 　 　 　 　 　 　 　 　 類(lèi)型三　指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 例4　在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與函數(shù)y＝x的圖象可能是(　　) 反思與感悟　函數(shù)y＝ax的圖象主要取決于0<a<1還是a>1.但前提是a>0且a≠1. 跟蹤訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝4＋ax＋1的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0) 例5　若直線(xiàn)y＝2a與函數(shù)y＝|2x－1|圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　指數(shù)函數(shù)是一種基本函數(shù)，與其他函數(shù)一道可以衍生出很多函數(shù)，本例就體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)圖象的“原料”作用． 跟蹤訓(xùn)練5　函數(shù)y＝a|x|(a>1)的圖象是(　　) 1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(　　) A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1 D．y＝()x 2．若函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)>0，且a≠1 B．a(chǎn)≥0，且a≠1 C．a(chǎn)>，且a≠1 D．a(chǎn)≥ 3．函數(shù)y＝3的值域是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0] C．(0,1] D．[－1,0) 4.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b均為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 5．函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?　　) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 1．判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結(jié)構(gòu)形式，即ax的系數(shù)是1，指數(shù)是x且系數(shù)為1. 2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的性質(zhì)分底數(shù)a＞1,0＜a＜1兩種情況，但不論哪種情況，指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)的． 3．求函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下： (1)換元，令t＝f(x)，并求出函數(shù)t＝f(x)的定義域； (2)求t＝f(x)的值域t∈M； (3)利用y＝at的單調(diào)性求y＝at在t∈M上的值域． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　y＝2x.它的底為常數(shù)，自變量為指數(shù)，而y＝x2恰好反過(guò)來(lái)． 梳理　 函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)　R 知識(shí)點(diǎn)二 思考　函數(shù)性質(zhì)通常包括定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最值、奇偶性．可以通過(guò)描點(diǎn)作圖，先研究具體的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，再推廣至一般． 梳理　 (0,1)　0　1　y>1　0<y<1　0<y<1　y>1　增函數(shù)　減函數(shù) 題型探究 例1　解　設(shè)f(x)＝ax，將點(diǎn)(3，π)代入，得到f(3)＝π， 即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝. 跟蹤訓(xùn)練1　a＝b＝2. 例2　解　(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽(∵對(duì)一切x∈R,3x≠－1)． ∵y＝＝1－， 又∵3x>0,1＋3x>1， ∴0<<1，∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴值域?yàn)?0,1)． (2)定義域?yàn)镽，y＝(2x)2－2x＋1 ＝(2x－)2＋， ∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1時(shí)，y取最小值，同時(shí)y可以取一切大于的實(shí)數(shù)， ∴值域?yàn)閇，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0， ∴原函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)． 令t＝1－x (x≥0)，則0≤t<1， ∴0≤ <1， ∴原函數(shù)的值域?yàn)閇0,1)． (2)原函數(shù)的定義域?yàn)镽. 由y＝(a>0，且a≠1)， 得ax＝－. ∵ax>0，∴－>0，∴－1<y<1. ∴原函數(shù)的值域是(－1,1)． 例3　解　要使函數(shù)有意義， 則x應(yīng)滿(mǎn)足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2. ∵y＝3x在R上是增函數(shù)， ∴2x－1≥－2，解得x≥－. 故所求函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)x∈時(shí)， 32x－1∈. ∴32x－1－∈[0，＋∞)． ∴原函數(shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由x－1≠0得x≠1， 所以函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠1}． 由≠0得y≠1， 所以函數(shù)值域?yàn)閧y|y>0且y≠1}． (2)由5x－1≥0得x≥， 所以函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≥}． 由≥0得y≥1，所以函數(shù)值域?yàn)閧y|y≥1}． 例4　A 跟蹤訓(xùn)練4　A 例5　解　y＝|2x－1|＝ 圖象如下： 由圖可知，要使直線(xiàn)y＝2a與函數(shù)y＝|2x－1|圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)， 需0<2a<1，即0<a<. 跟蹤訓(xùn)練5　B 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　2.C　3.C　4.D　5.A 10