2019版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式學案

第19講　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． 2016·全國卷Ⅲ，5 2016·四川卷，11 2015·陜西卷，6 　　利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導公式進行化簡求值以及恒等變換，解決三角形內(nèi)的相關(guān)問題． 分值：4～5分 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：__sin2α＋cos2α＝1__. (2)商數(shù)關(guān)系：?。。　an α＝　###. 2．三角函數(shù)的誘導公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝__cos_α__， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝__－sin_α__，cos(π＋α)＝__－cos_α__， tan(π＋α)＝__tan_α__. 公式三：sin(－α)＝__－sin_α__，cos(－α)＝__cos_α__， tan(－α)＝__－tan_α__. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__－cos_α__， tan(π－α)＝－tan α. 3．必會結(jié)論 (1)特殊角的三角函數(shù)值 α 0 π sin α 0 1 0 －1 cos α 1 0 －1 0 tan α 0 1 不存在 0 不存在 (2)誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限．“奇”與“偶”指的是誘導公式k·＋α中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k是偶數(shù)，則函數(shù)的名稱不變．“符號看象限”指的是k·＋α中，將α看成銳角時k·＋α所在的象限． 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)120°角的正弦值是，余弦值是－.(　×　) (2)同角三角函數(shù)關(guān)系式中的角α是任意角．(　×　) (3)誘導公式中的角α可以是任意角．(　×　) (4)誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”與α的大小無關(guān)．(　√　) 解析　(1)錯誤．sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝， cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. (2)錯誤．在tan α＝中α≠kπ＋，k∈Z. (3)錯誤．對于正、余弦的誘導公式角α可以為任意角，而對于正切的誘導公式α≠＋kπ，k∈Z. (4)正確．誘導公式的“符號看象限”中的符號是把任意角α都看成銳角時原函數(shù)值的符號，因而與α的大小無關(guān). 2．若cos α＝，a∈，則tan α＝(　C　) A．－　　　 B．　　　 C．－2　　　 D．2 解析　由已知得sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝－2. 3．若tan α＝2，則的值為(　C　) A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D． 解析?。剑剑? 4．(2016·四川卷)sin 750°＝?。?！　　###. 解析　sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝. 5．cos－sin＝?。?！　　###. 解析　cos－sin＝cos ＋sin ＝ cos＋sin＝cos ＋sin ＝＋＝. 一　同角三角函數(shù)關(guān)系及其應(yīng)用 同角三角函數(shù)關(guān)系在解題中的應(yīng)用 (1)利用轉(zhuǎn)化思想，對于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝進行轉(zhuǎn)化，可以“知一求二”． (2)利用方程思想，對于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三個關(guān)系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”． (3)sin α，cos α的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sin α，cos α的齊次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求解． 【例1】 (1)(2016·全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　A　) A．　　　 B． C．1　　　 D． (2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝?。?！　　###. 解析　(1)當tan α＝時，原式＝cos2α＋4sin αcos α＝＝＝＝，故選A． (2)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝. 【例2】 (1)已知tan α＝2，求值： ①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. (2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值． 解析　(1)①＝＝＝－1. ②4sin2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝＝ ＝＝1. (2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝－.∵θ∈(0，π)，θ∈， ∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0. 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，得sin θ－cos θ＝. 二　誘導公式及應(yīng)用 (1)學會誘導公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，將y＝sin中x的系數(shù)由負變正，且不改變“正弦”前面的符號． (2)學會觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍，如＋＝，－＝. 【例3】 (1)計算：2sin＋cos 12π＋tan ＝__1__. (2)已知cos＝，則sin＝！??！?。?##. (3)已知f(x)＝，則f＝__－1__.　 解析　(1)原式＝2sin＋cos 0＋tan ＝2sin π＋1－tan ＝2sin＋1－1＝2sin ＝1. (2)因為＋＝－， 所以sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. (3)因為f(x)＝ ＝＝＝－tan2x， 所以f＝－tan2＝－tan2 ＝－tan2＝－tan2＝－1. 1．若點(16，tan θ)在函數(shù)y＝log2x的圖象上，則＝(　D　) A．2　　　 B．4 C．6　　　 D．8 解析　由題意知tan θ＝log216＝4，所以＝＝2tan θ＝8，故選D． 2．給出下列各函數(shù)值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中是負數(shù)的是(　C　) A．①　　　 B．② C．③　　　 D．④ 解析　sin(－1 000°)＝sin 80°>0， cos(－2 200°)＝cos (－40°)＝cos 40°>0，tan (－10)＝－tan 10<0， ＝，∵sin >0，tan <0，∴>0. 3．若cos(π－α)＝且α∈，則sin(π＋α)＝(　B　) A．－　　　 B．－ C．－　　　 D．± 解析　cos (π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－. 又∵α∈，∴sin α＝＝＝， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－，故選B． 4．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩個根，則m的值為(　B　) A．1＋　　　 B．1－ C．1±　　　 D．－1－ 解析　由題意得sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝. 又∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，∴＝1＋，解得m＝1±.又∵Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，∴m＝1－，故選B． 易錯點　忽視隱含的平方關(guān)系 錯因分析：含有參數(shù)的同一個角的正余弦值，要受到“sin2θ＋cos2θ＝1”的限制． 【例1】 若sin θ＝，cos θ＝，<θ<π，則m的取值范圍是(　　) A．(3,9)　　　 B．{8}　　　　 C．(3，＋∞)　　　 D．(－∞，9) 解析　由已知得0<<1且－1<<0，解得3<m<9.∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴＝1，解得m1＝8，m2＝0(舍去)，故選B． 答案　B 【跟蹤訓練1】 求函數(shù)y＝(sin x＋a)(cos x＋a)(0<a≤)的最值． 解析　y＝sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＋a2，令t＝sin x＋cos x，則sin xcos x＝，∵t＝sin∈[－，]，∴y＝t2＋at－＋a2，t∈[－，]，其圖象的對稱軸為t＝＝－a∈[－，0)，∴t＝－a時，ymin＝；t＝時，ymax＝a2＋a＋. 課時達標　第19講 [解密考綱]本考點主要考查三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導公式，通常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，安排在比較靠前的位置． 一、選擇題 1．(2018·四川成都外國語學校月考)已知tan(α－π)＝，且α∈，則sin＝(　B　) A．　　　 B．－ C．　　　 D．－ 解析　tan(α－π)＝?tan α＝.又α∈，所以α為第三象限的角，所以sin＝cos α＝－，故選B． 2.＝(　D　) A．－　　　 B．－ C．　　　 D． 解析　原式＝ ＝ ＝＝. 3．已知sin α＋cos α＝，則tan α＋的值為(　D　) A．－1　　　 B．－2 C．　　　 D．2 解析　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， ∴sin αcos α＝，∴tan α＋＝＝2. 4．(2018·湖北黃岡調(diào)考)若A，B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角，則點P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　B　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限　　　 D．第四象限 解析　∵△ABC是銳角三角形，則A＋B>， ∴>A>－B>0，>B>－A>0， ∴sin A>sin＝cos B，sin B>sin＝cos A， ∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，∴點P在第二象限，故選B． 5．(2018·安徽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．當0≤x<π時，f(x)＝0，則f＝(　A　) A．　　　 B． C．0　　　 D．－ 解析　f＝f＋sin＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin＋sin＝sin π＋sinπ＋sinπ＝－＋＝. 6．已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sin α的值是(　C　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1， 解得tan α＝3，故sin α＝. 二、填空題 7．已知tan α＝－，<α<π，則sin α＝?。。　　?##. 解析　∵α為第二象限角，tan α＝－，∴設(shè)α終邊上一點P(x，y)，其中x＝－2，y＝1，則r＝，∴sin α＝. 8．(2018·浙江紹興模擬)若f(cos x)＝cos 2x，則f(sin 15°)＝　－　. 解析　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－. 9．函數(shù)y＝的最大值為?。。　　?##. 解析　設(shè)t＝cos x＋sin x，則t∈[－，－1)∪(－1，]． 于是y＝＝，當t＝時，y取最大值. 三、解答題 10．已知cos＝，α∈，求的值． 解析　＝＝(cos α－sin α)＝2sin. ∵α∈，∴－α∈，又cos＝， ∴sin＝，∴＝. 11．已知sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝，求tan α的值． 解析　由已知得＝， 所以＝，整理得，tan2α＋5tan α－14＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－7. 12．已知sin(3π＋α)＝lg，cos(π－α)>0. (1)求的值； (2)求sin2－cos2的值． 解析　(1)因為sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α， lg＝lg 10－＝－，所以－sin α＝－，即sin α＝. 又因為cos(π－α)＝－cos α>0，即cos α<0， 所以cos α＝－＝－.則＝＝3－2. (2)sin 2－cos 2＝cos 2α－sin 2α＝2－2＝. 11