2022年高三數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第二周規(guī)范練 理

2022年高三數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第二周規(guī)范練 理 [題目8]　已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)． (1)求p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＝(3＋p)anbn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. xx年____月____日(周一) [題目9]　已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π處取最小值． (1)求φ的值； (2)在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C. xx年____月____日(周二) [題目10]　已知函數(shù)f(x)＝x2＋4|x－a|(x∈R)． (1)存在實(shí)數(shù)x1、x2∈[－1，1]，使得f(x1)＝f(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)對(duì)任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤k成立，求實(shí)數(shù)k的最小值． xx年____月____日(周三) [題目11]　如圖，已知四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，AA1＝6，且AA1⊥底面ABCD，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BC上． (1)若P是DD1的中點(diǎn)， 證明：AB1⊥PQ； (2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角P－QD－A的余弦值為，求四面體ADPQ的體積． xx年____月____日(周四) [題目12]　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，且離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P(0，m)，求m的取值范圍． xx年____月____日(周五) [題目13]　設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－bx. (1)當(dāng)a＝b＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0<x≤3)，其圖象上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)當(dāng)a＝0，b＝－1時(shí)，方程f(x)＝mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． xx年____月____日(周六) [題目14]　隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率； (2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開(kāi)始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率． xx年____月____日(周日) [題目8]　解　(1)由于Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋2p－(2n＋2p)＝2n. 又a1＝S1＝4＋2p， 由于數(shù)列{an}為等比數(shù)列， ∴a＝a1a3，即(4＋2p)·23＝24， 解之得p＝－1，因此an＝a1·qn－1＝2n. (2)由(1)知，an＝2n，an＋1＝2n＋1， 又＝(3＋p)anbn＝2anbn，則2nbn＝n， 所以bn＝. ∴Tn＝＋＋…＋，① Tn＝＋＋…＋，② 由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－－， ∴Tn＝2－－. [題目9]　解　(1)f(x)＝sin x(1＋cos φ)＋cos xsin φ－sin x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)． 因?yàn)閒(x)在x＝π處取得最小值． ∴sin(π＋φ)＝－1，則sin φ＝1， 又0<φ<π，所以φ＝. (2)由(1)知，f(x)＝sin＝cos x. 因?yàn)閒(A)＝cos A＝，且A∈(0，π)， 所以A＝，又a＝1，b＝， 由正弦定理，＝， 則sin B＝＝sin＝，因?yàn)閎>a， 因此B＝或B＝， 當(dāng)B＝時(shí)，C＝π－(A＋B)＝π. 當(dāng)B＝π時(shí)，C＝π－(A＋B)＝. 綜上可知，角C＝或C＝. [題目10]　解　(1)函數(shù)f(x)＝x2＋4|x－a|＝ 由題意可得函數(shù)f(x)在[－1，1]上不單調(diào)， 當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，不滿足條件． 當(dāng)a≤－1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，不滿足條件， ∴－1<a<1，此時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1，a]上單調(diào)遞減，在(a，1]上單調(diào)遞增．故a的范圍為(－1，1)． (2)∵對(duì)任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤k成立， 設(shè)函數(shù)f(x)在[－1，1]上的最大值為M(a)，最小值為m(a)， 當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，M(a)＝f(－1)＝4a＋5，m(a)＝f(1)＝4a－3. 當(dāng)a≤－1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，M(a)＝f(1)＝5－4a，m(a)＝f(－1)＝－4a－3. ∴－1<a<1，函數(shù)f(x)在[－1，a]上單調(diào)遞減，在(a，1]上單調(diào)遞增，m(a)＝f(a)＝a2，M(a)＝max{f(1)，f(－1)}＝max{5－4a，5＋4a}． 即當(dāng)0<a<1時(shí)，M(a)＝5＋4a，當(dāng)－1<a<0時(shí)，M(a)＝5－4a. 綜上可得， M(a)－m(a)＝ 由對(duì)任意的x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤k恒成立， 可得k≥M(a)－m(a)， 故當(dāng)a≥1或a≤－1時(shí)，k≥8， 當(dāng)0≤a<1時(shí)，k≥－a2＋4a＋5＝9－(a－2)2，由9－(a－2)2∈[5，8)，可得k≥8； 當(dāng)－1<a≤0時(shí)，k≥－a2－4a＋5＝9－(a＋2)2，由9－(a＋2)2∈[5，8)，可得k≥8. 綜上可得，k≥8. [題目11]　解　由題設(shè)知，AA1，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6. (1)證明：若P是DD1的中點(diǎn)， 則P，＝， 又AB＝(3，0，6)，于是AB·＝18－18＝0， 所以AB⊥，即AB1⊥PQ. (2)由題設(shè)知，＝(6，m－6，0)，DD＝(0，－3，6)是平面PQD內(nèi)的兩個(gè)不共線向量． 設(shè)n1＝(x，y，z)是平面PQD的一個(gè)法向量， 則　即 取y＝6，得n1＝(6－m，6，3)． 又平面AQD的一個(gè)法向量是n2＝(0，0，1)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝ ＝. 而二面角P－QD－A的余弦值為，因此＝，解得m＝4，m＝8(舍去)，此時(shí)Q(6，4，0)． 設(shè)＝λDD (0＜λ≤1)，而DD＝(0，－3，6)， 由此得點(diǎn)P(0，6－3λ，6λ)， 所以＝(6，3λ－2，－6λ)． 因?yàn)镻Q∥平面ABB1A1， 且平面ABB1A1的法向量是n3＝(0，1，0)， 所以·n3＝0，即3λ－2＝0， 亦即λ＝，從而P(0，4，4)． 于是，將四面體ADPQ視為以△ADQ為底面的三棱錐P－ADQ，則其高h(yuǎn)＝4. 故四面體ADPQ的體積V＝S△ADQ·h＝××6×6×4＝24. [題目12]　解　(1)設(shè)橢圓的半焦距是c，由于e＝， ∴a＝c，則b2＝a2－c2＝c2. 所以橢圓C的方程為＋＝1. 又橢圓C過(guò)點(diǎn)(2，)．所以＋＝1，解得c2＝4. 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)(ⅰ)當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，顯然m＝0. (ⅱ)當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線MN的斜率為k，顯然k≠0， 則直線MN的方程為y＝k(x＋2)， 由得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0. 設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，線段MN中點(diǎn)Q(x0，y0)，則x1＋x2＝－， 所以x0＝－，y0＝k＝. 線段MN的垂直平分線方程為y－＝－. 在上述方程中令x＝0，得y＝.即m＝＝－. 當(dāng)k>0時(shí)，2k＋≥2，則0>m≥－； 當(dāng)k<0時(shí)，2k＋≤－2，則0<m≤. 所以－≤m<0或0<m≤. 綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. [題目13]　解　(1)依題意，知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， 當(dāng)a＝b＝時(shí)，f(x)＝ln x－x2－x， f′(x)＝－x－＝. 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)． 當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0， 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)減區(qū)間為(1，＋∞)． (2)F(x)＝ln x＋，x∈[0，3]． 由k＝F′(x0)＝≤在(0，3]上恒成立． 知a≥. 當(dāng)x0＝1時(shí)，－x＋x0取最大值， 所以a的取值范圍是. (3)當(dāng)a＝0，b＝－1時(shí)，f(x)＝ln x＋x， 由f(x)＝mx，得ln x＋x＝mx，又x>0，所以m＝1＋， 要使方程f(x)＝mx在區(qū)間[1，e2]上有唯一實(shí)數(shù)解， 只需m＝1＋有唯一實(shí)數(shù)解， 令g(x)＝1＋(x>0)，∴g′(x)＝， 由g′(x)>0得0<x<e；g′(x)<0，得x>e. ∴g(x)在[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e2]上是減函數(shù)， 又g(1)＝1，g(e2)＝1＋，g(e)＝1＋， 故m的取值范圍是∪. [題目14]　解　(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為P＝＝. (2)稱(chēng)相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為， 以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為.