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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列模擬演練 理
一、選擇題
1．(xx·濟(jì)南模擬)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝( )
A．75 B．90 C．105 D．120
2．(xx·成都診斷檢測(cè))設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且滿足a4a6＝，a7＝，則S4的值為( )
A．15 B．14 C．12 D．8
3．(xx·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，則的值為( )
A．2 B．4 C．8
2、 D．16
4．(xx·效實(shí)中學(xué)二模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a9＝17，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝3n.若am＝b1＋b4，則正整數(shù)m的值為( )
A．26 B．27 C．28 D．29
5．(xx·山西康杰中學(xué)、臨汾一中聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，則S6＝( )
A．44 B．45
C.·(46－1) D.·(45－1)
6．(xx·西安質(zhì)檢)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn＝anan＋1，則a2k＝( )
A. B.
C. D.
二、填空
3、題
7．(xx·鄭州質(zhì)檢)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋a2＝，a4＋a5＝6，則S6＝________．
8．(xx·濰坊調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 015，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 015的值為_(kāi)_______．
9．(xx·臺(tái)州聯(lián)考)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1.當(dāng)a3取最小值時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
三、解答題
10．(xx·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．
4、
11．(xx·桐鄉(xiāng)高級(jí)中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn(n∈N*)，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝2，b3＝64b2.
(1)求an與bn；
(2)設(shè)cn＝(an＋n＋1)·2an－2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
12．(xx·杭州七校大聯(lián)考)若{an}是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足a＝S2n－1，n∈N*.數(shù)列{bn}滿足bn＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
(1)求an和Tn；
(2)是否存在正整數(shù)m、n(1
5、有m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
經(jīng)典模擬·演練卷
1．C [設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題設(shè)知d>0，則a3>a1，
∵a1＋a2＋a3＝15，則3a2＝15，a2＝5，
從而解之得a1＝2，a3＝8.
所以公差d＝＝3.
故a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d＝15＋90＝105.]
2．A [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0，an>0.
由于a4a6＝，a7＝，
則a3＝＝2，q4＝＝，所以q＝.
于是a1＝＝8.
故S4＝＝＝15.]
3．B [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由于a3＝a1q2＝2.
∴a4a6＝a
6、q8＝(a1q2)2·q4＝4q4＝16.則q4＝4，
故＝＝q4＝4.]
4．D [由等差數(shù)列的性質(zhì)，a9＝a3＋6d.∴17＝5＋6d，得d＝2，
因此am＝a3＋2(m－3)＝2m－1.
又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝3n，
∴b1＝S1＝3，b4＝S4－S3＝34－33＝54.
由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，則m＝29.]
5．B [由a1＝1，a2＝3a1，得a2＝3，
又an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n≥2)，
∴an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)．
因此an＝
故S6＝1＋＝45.]
6．B [當(dāng)n
7、＝1時(shí)，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，
當(dāng)n≥2時(shí)，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，兩式相減得：
3an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}為一個(gè)以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，選B.]
7. [∵a1＋a2＝，a4＋a5＝6，
q3＝＝8，從而q＝2，可求a1＝.
故S6＝＝.]
8．－2 015 [設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則＝a1＋d.
由－＝2，得－＝2.
所以d＝2，
因此S2 015＝2 015a1＋d＝－2 015.]
9
8、．2n－1 [根據(jù)題意，由于各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，
由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，
所以q>1且a1＝，
∴a3＝a1q2＝＝
＝q－1＋＋2≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)q＝2時(shí)取得等號(hào)，
因此an＝a1qn－1＝＝2n－1.]
10．解 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
由于n＝1時(shí)，a1＝1適合上式，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，
則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21
9、＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則
A＝2＋22＋23＋…＋22n＝＝22n＋1－2.
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和Tn＝22n＋1＋n－2.
11．解 (1)由題設(shè)，得a1＋a2＋a3＝log2b3，①
a1＋a2＝log2b2，②
①－②得，a3＝log2＝log264＝6.
又a1＝2，所以公差d＝2，因此an＝2＋2(n－1)＝2n.
又a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn.
所以＝log2bn，故bn＝2n(n＋1)．
(2)由題意，得cn＝(3n＋1)4n－1，
則Tn＝
10、4＋7·4＋10·42＋…＋(3n＋1)·4n－1，③
4Tn＝4·4＋7·42＋…＋(3n－2)·4n－1＋(3n＋1)·4n，④
由③－④，得－3Tn＝4＋3(4＋42＋…＋4n－1)－(3n＋1)4n
＝4＋3·－(3n＋1)4n＝－3n·4n，
所以Tn＝n·4n(n∈N*)．
12．解 (1)∵a＝S2n－1(n∈N*)，an≠0.
令n＝1，得a1＝1；令n＝2，得a2＝3，
∴等差數(shù)列{an}的公差d＝2.
從而an＝2n－1，bn＝，
于是Tn＝
＝.
(2)假設(shè)存在正整數(shù)m，n(10，
∴－2m2＋4m＋1>0，解得1－1，得m＝2，此時(shí)n＝12.
故存在正整數(shù)m，n，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2，n＝12時(shí)，滿足T1，Tm，Tn成等比數(shù)列．
2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列模擬演練 理
