2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列模擬演練 理

2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列模擬演練 理 一、選擇題 1．(xx·濟(jì)南模擬)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝(　　) A．75 B．90 C．105 D．120 2．(xx·成都診斷檢測)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且滿足a4a6＝，a7＝，則S4的值為(　　) A．15 B．14 C．12 D．8 3．(xx·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，則的值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 4．(xx·效實(shí)中學(xué)二模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a9＝17，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝3n.若am＝b1＋b4，則正整數(shù)m的值為(　　) A．26 B．27 C．28 D．29 5．(xx·山西康杰中學(xué)、臨汾一中聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，則S6＝(　　) A．44 B．45 C.·(46－1) D.·(45－1) 6．(xx·西安質(zhì)檢)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn＝anan＋1，則a2k＝(　　) A. B. C. D. 二、填空題 7．(xx·鄭州質(zhì)檢)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋a2＝，a4＋a5＝6，則S6＝________． 8．(xx·濰坊調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 015，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 015的值為________． 9．(xx·臺(tái)州聯(lián)考)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1.當(dāng)a3取最小值時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 三、解答題 10．(xx·長沙調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和． 11．(xx·桐鄉(xiāng)高級中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn(n∈N*)，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝2，b3＝64b2. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝(an＋n＋1)·2an－2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 12．(xx·杭州七校大聯(lián)考)若{an}是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足a＝S2n－1，n∈N*.數(shù)列{bn}滿足bn＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． (1)求an和Tn； (2)是否存在正整數(shù)m、n(1<m<n)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由． 經(jīng)典模擬·演練卷 1．C　[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題設(shè)知d>0，則a3>a1， ∵a1＋a2＋a3＝15，則3a2＝15，a2＝5， 從而解之得a1＝2，a3＝8. 所以公差d＝＝3. 故a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d＝15＋90＝105.] 2．A　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0，an>0. 由于a4a6＝，a7＝， 則a3＝＝2，q4＝＝，所以q＝. 于是a1＝＝8. 故S4＝＝＝15.] 3．B　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由于a3＝a1q2＝2. ∴a4a6＝aq8＝(a1q2)2·q4＝4q4＝16.則q4＝4， 故＝＝q4＝4.] 4．D　[由等差數(shù)列的性質(zhì)，a9＝a3＋6d.∴17＝5＋6d，得d＝2， 因此am＝a3＋2(m－3)＝2m－1. 又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝3n， ∴b1＝S1＝3，b4＝S4－S3＝34－33＝54. 由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，則m＝29.] 5．B　[由a1＝1，a2＝3a1，得a2＝3， 又an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n≥2)， ∴an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)． 因此an＝ 故S6＝1＋＝45.] 6．B　[當(dāng)n＝1時(shí)，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，兩式相減得： 3an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}為一個(gè)以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，選B.] 7.　[∵a1＋a2＝，a4＋a5＝6， q3＝＝8，從而q＝2，可求a1＝. 故S6＝＝.] 8．－2 015　[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則＝a1＋d. 由－＝2，得－＝2. 所以d＝2， 因此S2 015＝2 015a1＋d＝－2 015.] 9．2n－1　[根據(jù)題意，由于各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中， 由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1， 所以q>1且a1＝， ∴a3＝a1q2＝＝ ＝q－1＋＋2≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)q＝2時(shí)取得等號(hào)， 因此an＝a1qn－1＝＝2n－1.] 10．解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. 由于n＝1時(shí)，a1＝1適合上式， 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n， 則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則 A＝2＋22＋23＋…＋22n＝＝22n＋1－2. B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n， 故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和Tn＝22n＋1＋n－2. 11．解　(1)由題設(shè)，得a1＋a2＋a3＝log2b3，① a1＋a2＝log2b2，② ①－②得，a3＝log2＝log264＝6. 又a1＝2，所以公差d＝2，因此an＝2＋2(n－1)＝2n. 又a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn. 所以＝log2bn，故bn＝2n(n＋1)． (2)由題意，得cn＝(3n＋1)4n－1， 則Tn＝4＋7·4＋10·42＋…＋(3n＋1)·4n－1，③ 4Tn＝4·4＋7·42＋…＋(3n－2)·4n－1＋(3n＋1)·4n，④ 由③－④，得－3Tn＝4＋3(4＋42＋…＋4n－1)－(3n＋1)4n ＝4＋3·－(3n＋1)4n＝－3n·4n， 所以Tn＝n·4n(n∈N*)． 12．解　(1)∵a＝S2n－1(n∈N*)，an≠0. 令n＝1，得a1＝1；令n＝2，得a2＝3， ∴等差數(shù)列{an}的公差d＝2. 從而an＝2n－1，bn＝， 于是Tn＝ ＝. (2)假設(shè)存在正整數(shù)m，n(1<m<n)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列． 則＝·，可得＝>0， ∴－2m2＋4m＋1>0，解得1－<m<1＋， 由于m∈N*，m>1，得m＝2，此時(shí)n＝12. 故存在正整數(shù)m，n，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2，n＝12時(shí)，滿足T1，Tm，Tn成等比數(shù)列．