2022年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷 含解析(I)

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1、2022年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷 含解析(I) 　 一、選擇題（注釋） 1．兩條相交直線的平行投影是（　　） A．一條直線 B．一條折線 C．兩條相交直線 D．兩條相交直線或一條直線 2．一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是（　?。? A．線段 B．直線 C．圓 D．梯形 3．對于用“斜二側(cè)畫法”畫平面圖形的直觀圖，下列說法正確的是（　?。? A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形 B．梯形的直觀圖可能不是梯形 C．正方形的直觀圖為平行四邊形 D．正三角形的直觀圖一定是等腰三角形 4．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為

2、（　?。? A． B． C． D． 5．下列命題中正確的是（　　） A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．兩條相交直線的投影可能平行 D．一條線段中點的平行投影仍是這條線段投影的中點 6．如圖，一個封閉的長方體，它的六個表面各標出A、B、C、D、E、F這六個字母，現(xiàn)放成下面三種不同的位置，所看見的表面上的字母已表明，則字母A、B、C對面的字母依次分別為（　?。? A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F 7．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線

3、OE和FD1所成的角的余弦值等于（　?。? A． B． C． D． 8．如圖的三視圖所示的幾何體是（　?。? A．六棱臺 B．六棱柱 C．六棱錐 D．六邊形 9． =（　?。? A．﹣ B．﹣ C． D． 10．等腰三角形ABC的直觀圖是（　?。? A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 　 二、注釋（填空題） 11．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為　　　　　?。? 12．用斜二測畫法畫邊長為2的正三角形的直觀圖時，如果在已知圖形中取的x

4、軸和正三角形的一邊平行，則這個正三角形的直觀圖的面積是　　　　　?。? 13．如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體為　　　　　　． 14．如圖已知梯形ABCD的直觀圖A′B′C′D′的面積為10，則梯形ABCD的面積為　　　　　?。? 　 三、注釋（解答題） 15．畫出圖中兩個幾何體的三視圖． 16．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一條繩子從點A沿表面拉到點C1，求繩子的最短的長． 17．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為． （Ⅰ）求

5、f（x）的解析式； （Ⅱ）求函數(shù)g（x）=的值域． 18．已知a∈R，函數(shù)f（x）=4x3﹣2ax+a． （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：當0≤x≤1時，f（x）+|2﹣a|＞0． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（注釋） 1．兩條相交直線的平行投影是（　?。? A．一條直線 B．一條折線 C．兩條相交直線 D．兩條相交直線或一條直線 【考點】平行投影及平行投影作圖法． 【分析】由平行光線形成的投影是平行投影，直線的投影一般仍為直線，特殊情形就是當平行光與直線平行時投影為一點． 【解答】解：當兩條直線所在平面與投影面不垂直時，兩條相交直線的平行投影

6、是兩條相交直線；當垂直時，兩條相交直線的平行投影是一條直線； 故選：D． 　 2．一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是（　?。? A．線段 B．直線 C．圓 D．梯形 【考點】平行投影及平行投影作圖法． 【分析】本題考查投影的概念，由于圖形的投影是一個線段，根據(jù)平行投影與中心投影的規(guī)則對選項中幾何體的投影情況進行分析找出正確選項． 【解答】解：線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段．長方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點． 故選：B． 　 3．對于用“斜二側(cè)畫法”畫平面圖形的直觀圖，下列說法正確的是（　　） A．等腰三

7、角形的直觀圖仍是等腰三角形 B．梯形的直觀圖可能不是梯形 C．正方形的直觀圖為平行四邊形 D．正三角形的直觀圖一定是等腰三角形 【考點】斜二測法畫直觀圖． 【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法畫水平放置的平面圖形時的畫法原則，可得：等腰三角形的直觀圖不再是等腰三角形，梯形的直觀圖還是梯形，正方形的直觀圖是平行四邊形，正三角形的直觀圖是一個鈍角三角形，進而得到答案． 【解答】解：根據(jù)斜二側(cè)畫法畫水平放置的平面圖形時的畫法原則，可得： 等腰三角形的直觀圖不再是等腰三角形， 梯形的直觀圖還是梯形， 正方形的直觀圖是平行四邊形， 正三角形的直觀圖是一個鈍角三角形， 故選：C 　 4．已知△

8、ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為（　　） A． B． C． D． 【考點】平面圖形的直觀圖． 【分析】由原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，求出直觀圖三角形的面積，再求原圖的面積即可． 【解答】解：直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，故面積為， 而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系， 那么原△ABC的面積為： 故選C． 　 5．下列命題中正確的是（　　） A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．兩條相交直線的投影可能平行 D．一條線段中點的平行投影仍是這條線段投影的中點 【考點】平行投影及平行投影作圖法．

9、【分析】利用平行投影的定義，確定圖形平行投影的結(jié)論，即可得出結(jié)論． 【解答】解：矩形的平行投影可以是線段、矩形或平行四邊形，∴A錯． 梯形的平行投影是梯形或線段，∴B不對； 平行投影把平行直線投射成平行直線或一條直線，把相交直線投射成相交直線或一條直線，把線段中點投射成投影的中點，∴C錯，D對， 故選：D． 　 6．如圖，一個封閉的長方體，它的六個表面各標出A、B、C、D、E、F這六個字母，現(xiàn)放成下面三種不同的位置，所看見的表面上的字母已表明，則字母A、B、C對面的字母依次分別為（　　） A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F 【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征

10、． 【分析】本題可從圖形進行分析，結(jié)合正方體的基本性質(zhì)，得到各個面上的字母，即可求得結(jié)果． 【解答】解：第一個正方體已知A，B，C， 第二個正方體已知A，C，D， 第三個正方體已知B，C，E，且不同的面上寫的字母各不相同， 則可知A對面標的是E，B對面標的是D，C對面標的是F． 故選D． 　 7．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于（　　） A． B． C． D． 【考點】異面直線及其所成的角． 【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的

11、銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 【解答】解：取BC的中點G．連接GC1∥FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角． 在△OEH中，OE=，HE=，OH=． 由余弦定理，可得cos∠OEH=． 故選B． 　 8．如圖的三視圖所示的幾何體是（　　） A．六棱臺 B．六棱柱 C．六棱錐 D．六邊形 【考點】由三視圖還原實物圖． 【分析】由俯視圖結(jié)合其它兩個視圖可以看出，此幾何體是一個六棱錐． 【解答】解：由正視圖和側(cè)視圖知是一個錐體，再由俯視圖知，這個幾何體是六棱錐， 故選C． 　 9． =（　　

12、） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)． 【分析】將原式分子第一項中的度數(shù)47°=17°+30°，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，合并約分后，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值． 【解答】解： = = =sin30°=． 故選C 　 10．等腰三角形ABC的直觀圖是（　?。? A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【考點】平面圖形的直觀圖． 【分析】根據(jù)斜二測畫法，討論∠x′O′y′=45°和∠x′O′y′=135°時，得出等腰三角形的直觀圖即可． 【解答】解：由直觀圖畫法可知， 當∠x′O′y′=45°時，等腰三角形的直觀圖是④

13、； 當∠x′O′y′=135°時，等腰三角形的直觀圖是③， 綜上，等腰三角形ABC的直觀圖可能是③④． 故選：D． 　 二、注釋（填空題） 11．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為　　． 【考點】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題． 【分析】分類討論，若把面ABA1B1 和面B1C1BC展開在同一個平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度． 若把把面ABA1B1 和面A1B1C1展開在同一個平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得 EF 的

14、長度． 若把把面ACC1A1和面A1B1C1展開在同一個面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度． 以上求出的EF 的長度的最小值即為所求． 【解答】解：直三棱柱底面為等腰直角三角形，①若把面ABA1B1 和面B1C1CB展開在同一個平面內(nèi)， 線段EF就在直角三角形A1EF中，由勾股定理得 EF===． ②若把把面ABA1B1 和面A1B1C1展開在同一個平面內(nèi)，設(shè)BB1的中點為G，在直角三角形EFG中， 由勾股定理得 EF===． ③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展開在同一個面內(nèi)，過F作與CC1行的直線，過E作與AC平行的直線， 所作的兩線交與點H，則EF就在直

15、角三角形EFH中， 由勾股定理得 EF===， 綜上，從E到F兩點的最短路徑的長度為， 故答案為：． 　 12．用斜二測畫法畫邊長為2的正三角形的直觀圖時，如果在已知圖形中取的x軸和正三角形的一邊平行，則這個正三角形的直觀圖的面積是　　． 【考點】平面圖形的直觀圖． 【分析】根據(jù)斜二測畫法與平面直觀圖的關(guān)系進行求解即可． 【解答】解：如圖△A'B'C'是邊長為2的正三角形ABC的直觀圖，則A'B'=2，C'D'為正三角形ABC的高CD的一半，即C'D'==， 則高C'E=C'D'sin45°=， ∴三角形△A'B'C'的面積為． 故答案為：． 　 13．如圖是一個

16、空間幾何體的三視圖，則該幾何體為　六棱臺?。? 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】根據(jù)正視圖、側(cè)視圖得到幾何體為臺體，由俯視圖得到的圖形六棱臺． 【解答】解：正視圖、側(cè)視圖得到幾何體為臺體，由俯視圖得到的圖形六棱臺， 故答案為：六棱臺 　 14．如圖已知梯形ABCD的直觀圖A′B′C′D′的面積為10，則梯形ABCD的面積為　20?。? 【考點】平面圖形的直觀圖． 【分析】根據(jù)平面圖形與它的直觀圖的面積比為定值，列出方程即可求出結(jié)果． 【解答】解：設(shè)梯形ABCD的面積為S，直觀圖A′B′C′D′的面積為S′=10， 則=sin45°=， 解得S=2S′=20．

17、 答案：20． 　 三、注釋（解答題） 15．畫出圖中兩個幾何體的三視圖． 【考點】簡單空間圖形的三視圖． 【分析】利用三視圖的畫法，直接畫出幾何體的三視圖． 【解答】解：（1）如圖 （2）如圖 　 16．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一條繩子從點A沿表面拉到點C1，求繩子的最短的長． 【考點】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題． 【分析】根據(jù)題意，畫出三種展開的圖形，求出A、C1兩點間的距離，比較大小，從而找出最小值即為所求． 【解答】解：①沿平面A A1B1B、平面 A1B1C1D1鋪展成平面，此時 AC1==

18、3． ②沿平面 AA1D1D、平面 A1D1C1B1鋪展成平面，此時 AC1==2． ③沿平面 AA1B1B、平面 BB1C1C鋪展成平面，此時 AC1==2． 故繩子的最短的長為3． 　 17．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求函數(shù)g（x）=的值域． 【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 【分析】（Ⅰ）通過函數(shù)的周期求出ω，求出A，利用函數(shù)經(jīng)過的特殊點求出φ，推出f（x）的解析式；

19、（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函數(shù)g（x）=的表達式，通過cos2x∈[0，1]，且，求出g（x）的值域． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可知f（x）的周期為T=π，即=π，解得ω=2． 因此f（x）在x=處取得最大值2，所以A=2，從而sin（）=1， 所以，又﹣π＜φ≤π，得φ=， 故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）； （Ⅱ）函數(shù)g（x）= = = = = = = 因為cos2x∈[0，1]，且， 故g（x）的值域為． 　 18．已知a∈R，函數(shù)f（x）=4x3﹣2ax+a． （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：當0≤x≤1時，f（x）+|2﹣a|＞0

20、． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：a≤0時，f′（x）≥0恒成立；a＞0時，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+），由此可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）由于0≤x≤1，故當a≤2時，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2；當a＞2時，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，確定g（x）min=g（）=1﹣＞0，即可證得結(jié)論． 【解答】（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=12x2﹣2a

21、 a≤0時，f′（x）≥0恒成立，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞） a＞0時，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+） ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，）； （2）證明：由于0≤x≤1，故 當a≤2時，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2 當a＞2時，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2 設(shè)g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣）（x+） x 0 （0，） （，1） g′（x） ﹣ + g（x） 極小值 ∴函數(shù)g（x）在（0，）上單調(diào)減，在（，1）上單調(diào)增 ∴g（x）min=g（）=1﹣＞0 ∴當0≤x≤1時，2x3﹣2x+1＞0 ∴當0≤x≤1時，f（x）+|2﹣a|＞0． 　 xx8月3日