九年級(jí)數(shù)學(xué) 第14講 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探究-坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教案

九年級(jí)數(shù)學(xué) 第14講 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探究-坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教案 教學(xué)過(guò)程 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探究——坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn) 圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的翻折、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像 教學(xué)目標(biāo) 會(huì)列出函數(shù)或方程等解決圖形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 教學(xué)重點(diǎn) 會(huì)解決圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等問(wèn)題 教學(xué)難點(diǎn) 會(huì)利用函數(shù)及方程解決圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程 平移不改變圖形的形狀和大小。圖形經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等。 2. 軸對(duì)稱圖形，是指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸。 3. 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變。 三、知識(shí)講解 考點(diǎn)1 單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)及雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 關(guān)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一般根據(jù)圖形變化，探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，作出符合條件的草圖。 解這類題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的量，用含未知數(shù)的代數(shù)式去表示所需的線段，根據(jù)題意中隱含的條件借助相似等方式構(gòu)造方程或函數(shù)表達(dá)式。 考點(diǎn)2 圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 圖形的運(yùn)動(dòng)包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等，圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角不變，以三角形、四邊形的運(yùn)動(dòng)是常見(jiàn)的一種題型。 這里需注意：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折都改變了圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小。 對(duì)于此類題目，關(guān)鍵在于抓住運(yùn)動(dòng)圖形的特殊位置、臨界位置及特殊性質(zhì)，其基本方法是把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，以不變應(yīng)萬(wàn)變，解答過(guò)程中常需借用函數(shù)或方程來(lái)解答?？键c(diǎn)3 線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 解決此類題的關(guān)鍵是根據(jù)線運(yùn)動(dòng)的變化，研究圖形的變化． 由圖形變化前后的關(guān)系及圖形的性質(zhì)綜合解決問(wèn)題，如本題利用平移性質(zhì)及三角形面積建立方程解決問(wèn)題. 四、例題精析 考點(diǎn)一 單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AD邊的中點(diǎn)處有一動(dòng)點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)P沿P→D→C→B→A→P運(yùn)動(dòng)一周，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與點(diǎn)P走過(guò)的路程s之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（　?。? A． B． C． D. 考點(diǎn)二 雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C. （1） 求拋物線的解析式； （2） 點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最多面積是多少？ （3） 當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使，求K點(diǎn)坐標(biāo). 考點(diǎn)三 圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例3如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），C（2，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)1350，得到矩形EFGH（點(diǎn)E與O重合）. （1）若GH交y軸于點(diǎn)M，則∠FOM＝ ，OM= ； （2）矩形EFGH沿y軸向上平移t個(gè)單位。 ①直線GH與x軸交于點(diǎn)D，若AD∥BO，求t的值； ②若矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為S個(gè)平方單位，試求當(dāng)0<t≤時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。 考點(diǎn)四 線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射線OC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平行移動(dòng)，當(dāng)射線OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平行移動(dòng)x秒后，射線OC掃過(guò)Rt△ABO的面積為y． （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)x=3秒時(shí)，射線OC平行移動(dòng)到O′C′，與OA相交于G，如圖2，求經(jīng)過(guò)G，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式； （3）現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P在（2）中的拋物線上，試問(wèn)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在三角形POB的面積S=8的情況？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 課程小結(jié) 本節(jié)課主要研究了坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，中考中，對(duì)運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題的考查是常考的內(nèi)容之一，考查的熱點(diǎn)是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)、翻折、對(duì)稱變換），解答動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，點(diǎn)不同位置考慮的不全面是容易導(dǎo)致出錯(cuò)的原因之一。復(fù)習(xí)運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題時(shí)，要注意動(dòng)中覓靜，動(dòng)靜互化，以靜制動(dòng)，注意問(wèn)題中的不變量、不變關(guān)系，在運(yùn)動(dòng)變化中探索問(wèn)題的不變性。 考點(diǎn)一 單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例1 【規(guī)范解答】動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中： ①當(dāng)0≤s≤時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在線段PD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y=2保持不變； ②當(dāng)＜s≤時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在線段DC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y由2到1逐漸減少； ③當(dāng)＜s≤時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y=1保持不變； ④當(dāng)＜s≤時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y由1到2逐漸增大； ⑤當(dāng)＜s≤4時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AP上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y=2保持不變． 結(jié)合函數(shù)圖象，只有D選項(xiàng)符合要求． 故選D． 【總結(jié)與反思】將動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分為PD、DC、CB、BA、AP共5個(gè)階段，分別進(jìn)行分析，最后得出結(jié)論． 考點(diǎn)二 雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例2 【規(guī)范解答】解：1）將A（，0）、B（4，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入， 即，解得： 拋物線的解析式為： （2） 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意可知： ，過(guò)點(diǎn)作，垂直為D， 易證～△DQB, ∴ OC=3，OB=4，BC=5，， , 對(duì)稱軸 當(dāng)運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，△PBQ面積最大，，最大為. （3）如圖， 設(shè),連接CK、BK，作交BC與L， 由（2）知：，, 設(shè)直線BC的解析式為, ,，解得：, 直線BC的解析式為 , S 即：,解得： 坐標(biāo)為或 【總結(jié)與反思】 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （2考查動(dòng)點(diǎn)與二次函數(shù)最值問(wèn)題：先寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，再確定函數(shù)最值； （3） 存在所求的K點(diǎn)，由（2）可求出的面積，再把分成兩個(gè)三角形進(jìn)行面積運(yùn)算. 考點(diǎn)三 圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例3 【規(guī)范解答】（1）45°；。 （2） ①如圖1，設(shè)直線HG與y軸交于點(diǎn)I。 ∵四邊形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。 ∵C（2，0），∴AB=OC=2。又∵AD∥BO， ∴四邊形ABOD是平行四邊形?！郉O=AB=2。 由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2?！鄑=IM=OM－OI=－2。 ②如圖2，過(guò)點(diǎn)F，G分別作x軸，y軸的垂線，垂足為R，T，連接OC。則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，OF=OA=4，∠FOR＝450，∴OR=RF=，F(xiàn)（，－）。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，得OG=，設(shè)TG=MT=x，則OT=OM＋MT=。在Rt△OTG中，由勾股定理，得，解得x=。∴G（，－）。 ∴用待定系數(shù)法求得直線FG的解析式為。當(dāng)x=2時(shí)，。∴當(dāng)t=時(shí)，就是GF平移到過(guò)點(diǎn)C時(shí)的位置（如圖5）。 ∴當(dāng)0<t≤時(shí)，幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)如圖3，4，5所示： 如圖3 ，t=OE=OC=2，此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過(guò)程中邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；如圖4，t=OE=OM=，此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過(guò)程中邊HG經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；如圖5，t=OE=，此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過(guò)程中邊FG經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。 ∴（I）當(dāng)0<t≤2時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為△OCS的面積（如圖6）。此時(shí)，OE=OS= t， ∴。（II）當(dāng)2<t≤時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為直角梯形OEPC的面積（如圖7）。此時(shí)OE= t，，OC=2。由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系數(shù)法求得直線EP的解析式為。 當(dāng)x=2時(shí)，?！郈P=?！?。 （III）當(dāng)<t≤時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為五邊形EQCUV的面積（如圖8），它等于直角梯形EQCO的面積減去直角三角形VOU的的面積。 此時(shí)，OE= t，，OC=2，CQ= ，OU=OV= t－。 ∴。 綜上所述，當(dāng)0<t≤時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為 。 【總結(jié)與反思】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠AOF＝1350，∴∠FOM＝450。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠OHM＝450，OH=OC=2，∴OM=。 （2）①由矩形的性質(zhì)和已知AD∥BO，可得四邊形ABOD是平行四邊形，從而DO=AB=2。又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2。從而由平移的性質(zhì)可求得t=IM=OM－OI=－2。 ②首先確定當(dāng)0<t≤－2時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過(guò)程中關(guān)鍵點(diǎn)的位置，分0<t≤2，2<t≤，<t≤－2三種情況求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。 考點(diǎn)四 線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 例4 【規(guī)范解答】（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°， ∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，∴AO⊥CO， ∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角形， ∵射線OC的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴OO′=2x，∴y=×（2x）2=2x2； （2）當(dāng)x=3秒時(shí)，OO′=2×3=6，∵×6=3，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，3）， 設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，則，解得， ∴拋物線的解析式為y=x2+x； （3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，則S△POB=×8h=8，解得h=2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，x2+x=2， 整理得，x2﹣8x+10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣，2）或（4+，2）； 當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，x2+x =﹣2，整理得，x2﹣8x﹣10=0，解得x1=4﹣，x2=4+， 此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）， 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）時(shí)，△POB的面積S=8． 【總結(jié)與反思】 （1）判斷出△ABO是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得AO⊥C′O′，從而判斷出△OO′G是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式整理即可得解； （2）求出OO′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，再把點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答； （3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，利用三角形的面積公式求出h，再分點(diǎn)P在x軸上方和下方兩種情況，利用拋物線解析式求解即可．