2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練24 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練 三角函數(shù)與解三角形 文

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練24 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練 三角函數(shù)與解三角形 文 1.已知函數(shù)f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若0<α<,0<β<,且f,f,求sin(α-β)的值. 2.(xx陜西高考,文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比數(shù)列,且c=2a,求cos B的值. 3.已知f(x)=m·n,其中m=(sinωx+cosωx,cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0),若f(x)圖象中相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離不小于π. (1)求ω的取值范圍; (2)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,a=,S△ABC=.當(dāng)ω取最大值時(shí),f(A)=1,求b,c的值. 4.已知函數(shù)f(x)=4cosωxsin+1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. 5.已知向量a=,b=(2cosωx,0)(ω>0),函數(shù)f(x)=a·b的圖象與直線y=-2+的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值. 6.已知m=(2cos x+2sin x,1),n=(cos x,-y),滿足m·n=0. (1)將y表示為x的函數(shù)f(x),并求f(x)的最小正周期; (2)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),f(x)(x∈R)的最大值是f,且a=2,求b+c的取值范圍. 7.如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,D,E,F分別在三邊AB,BC和CA上,且D為AB的中點(diǎn),∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°). (1)當(dāng)tan∠DEF=時(shí),求θ的大小; (2)求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時(shí)θ的值. 8.某港灣的平面示意圖如圖所示,O,A,B分別是海岸線l1,l2上的三個(gè)集鎮(zhèn),A位于O的正南方向6km處,B位于O的北偏東60°方向10km處. (1)求集鎮(zhèn)A,B間的距離; (2)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力,擬在海岸線l1,l2上分別修建碼頭M,N,開(kāi)辟水上航線.勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn):以O(shè)為圓心,3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū),不適宜船只航行.請(qǐng)確定碼頭M,N的位置,使得M,N之間的直線航線最短. 答案與解析 專題能力訓(xùn)練24　解答題專項(xiàng)訓(xùn)練 (三角函數(shù)與解三角形) 1.解:(1)∵f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x)=cos2x-sin2x=cos2x, ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)==π. (2)由(1)得f(x)=cos2x. ∵f,f, ∴cosα=,cosβ=. ∵0<α<,0<β<, ∴sinα=,sinβ=. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =. 2.(1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列, ∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)解:由題設(shè)有b2=ac,c=2a,∴b=a.由余弦定理得cos B=. 3.解:(1)f(x)=m·n=cos2ωx+sin2ωx =2sin. ∵f(x)圖象中相鄰的對(duì)稱軸間的距離不小于π, ∴≥π.∴≥π.∴0<ω≤. (2)當(dāng)ω=時(shí),f(x)=2sin, ∴f(A)=2sin=1. ∴sin. ∵0<A<π,∴<A+,A=. 由S△ABC=bcsin A=,得bc=2.① 又a2=b2+c2-2bccos A, ∴b2+c2+bc=7.② 由①②,得b=1,c=2;或b=2,c=1. 4.解:(1)f(x)=4cosωxsin+1 =2sinωxcosωx-2cos2ωx+1 =sin2ωx-cos2ωx=2sin, 最小正周期是=π, 所以ω=1,從而f(x)=2sin. 令-+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z), 解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)當(dāng)x∈時(shí),2x-, f(x)=2sin, 所以f(x)在上的最大值和最小值分別為2,. 5.解:(1)由已知得,f(x)=a·b=4sincosωx =4cosωx =2cos2ωx-2sinωxcosωx =(1+cos2ωx)-sin2ωx=2cos, 由題意,得T=π,所以=π, 則ω=1,故f(x)=2cos, 令2kπ-π≤2x+≤2kπ, 解得kπ-≤x≤kπ-, 故單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,得到y(tǒng)=2cos2x+的圖象,所以g(x)=2cos2x+. 令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z). 所以在每個(gè)周期上恰好有兩個(gè)零點(diǎn). 若y=g(x)在[0,b]上至少有10個(gè)零點(diǎn),則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可,即b的最小值為4π+. 6.解:(1)由m·n=0, 得2cos2x+2sin xcos x-y=0, 即y=2cos2x+2sin xcos x=cos2x+sin2x+1=2sin+1, ∴f(x)=2sin+1,其最小正周期為π. (2)由題意得f=3, ∴A+=2kπ+(k∈Z). ∵0<A<π,∴A=. 由正弦定理得b=sin B,c=sin C, b+c=sin B+sin C =sin B+sin =4sin, ∵B∈,∴sin, ∴b+c∈(2,4],∴b+c的取值范圍為(2,4]. 7.解:(1)在△BDE中,由正弦定理得DE=, 在△ADF中,由正弦定理得DF=. 由tan∠DEF=,得,整理得tanθ=,所以θ=60°. (2)S=DE·DF= = = =. 當(dāng)θ=45°時(shí),S取最小值. 8.解:(1)在△ABO中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°, 根據(jù)余弦定理得,AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos120°=62+102-2×6×10×=196, 所以AB=14. 故A,B兩集鎮(zhèn)間的距離為14km. (2)依題意得,直線MN必與圓O相切. 如圖,設(shè)切點(diǎn)為C,連接OC,則OC⊥MN. 設(shè)OM=x,ON=y,MN=c, 在△OMN中,由MN·OC=OM·ON·sin120°, 得×3c=xysin120°,即xy=2c. 由余弦定理得,c2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy≥3xy, 所以c2≥6c,解得c≥6, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=6時(shí),c取得最小值6. 所以碼頭M,N與集鎮(zhèn)O的距離均為6km時(shí),M,N之間的直線航線最短,最短距離為6km.