2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版 自主梳理 1. 正弦定理：____＝______＝___＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑. 由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝____ sin A∶sin B∶sin C _____； (2)a＝___)2Rsin A _____，b＝__2Rsin B _____，c＝__2Rsin C ___； (3)sin A＝_______，sin B＝______，sin C＝_______等形式，以解決不同的三角形問題. 2.余弦定理：a2＝__ b2＋c2－2bccos A ________，b2＝__　a2＋c2－2accos B　_____， c2＝____ a2＋b2－2abcos C　____. 余弦定理可以變形為：cos A＝___________，cos B＝_________， cos C＝_________. 3.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r. 4.在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分. 余弦定理可解決兩類問題： (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2)已知三邊問題. 解三角形時(shí)，三角形解的個(gè)數(shù)的判斷 在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 5．判斷三角形的形狀特征 必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手，充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一． ①等腰三角形：a＝b或A＝B. ②直角三角形： b2＋c2＝a2 或 A＝90° . ③鈍角三角形： a2＞b2＋c2 或 A＞90° . ④銳角三角形：若a為最大邊，且滿足 a2＜b2＋c2 或A為最大角，且 A＜90° . 6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞B?a＞b?sinA＞sinB. 基礎(chǔ)自測 1.在△ABC中，若A＝60°，a＝，則＝________. 2.(xx·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________. 3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cos B＝________. 4.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，則b的值為________. 5.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為 (　　) A.2 B.8 C. D. 1.2　2.1　3.　4.　5.C 6．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若a、b、c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，則b＝ . 【解析】∵S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，∴ac＝6. 又a、b、c成等差數(shù)列，故2b＝a＋c. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accos30°， ∴b2＝4b2－12－6，得b2＝4＋2，∴b＝1＋. 7．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解析】由a＝2bcosC得sinA＝2sinBcosC ∵A＋B＋C＝π ∴sinA＝sin(B＋C) ∴sin(B＋C)＝2sinBcosC 即sin(B－C)＝0 ∵0<B<π，0<C<π ∴B＝C，選C. 8．在△ABC中，設(shè)命題p：＝＝，命題q：△ABC是等邊三角形，則命題p是命題q的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】∵＝＝，由正弦定理知：＝＝. ∴sinB＝sinA＝sinC ∴A＝B＝C?a＝b＝c，∴p?q 又若a＝b＝c，則A＝B＝C＝60°?sinA＝sinB＝sinC. ∴＝＝，∴q?p. 題型一　利用正弦定理求解三角形及有關(guān)三角形中的三角函數(shù)的范圍(最值) 例1?、旁凇鰽BC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和邊c. (2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求邊b和c. 解　(1)由正弦定理得＝， ＝，∴sin A＝. ∵a>b，∴A＝60°或A＝120°. 當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝； 當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝. (2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理＝＝， 得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4. (2)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2bsinA. ①求角B的大小； ②求cosA＋sinC的取值范圍． 解析 ①由a＝2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA＝2sinBsinA， 所以sinB＝，由△ABC為銳角三角形得B＝. ②cosA＋sinC＝cosA＋sin(π－－A)＝cosA＋sin(＋A) ＝cosA＋cosA＋sinA＝sin(A＋)． 由△ABC為銳角三角形知，＞A＞－B，又－B＝－＝. ∴＜A＋＜，∴＜sin(A＋)＜. 由此有＜sin(A＋)＜×＝，所以cosA＋sinC的取值范圍為(，)． 點(diǎn)評 解決這類問題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成邊，要么把邊化成角，然后再進(jìn)行三角恒等變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B型函數(shù)，從而求解單調(diào)區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問題，注意限制條件A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π的應(yīng)用，如本題中由△ABC為銳角三角形得到A＋B＞，從而推到＜A＋＜. 探究提高　(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意. 變式訓(xùn)練1 (1) 已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則角A的大小為________. (2)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，則AB＝________； （3）在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，則B＝______ 解析　(2)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150°， ∴A為銳角，∴sin A＝.又∵BC＝1. ∴根據(jù)正弦定理得AB＝＝. (3)由b>a，得B>A，由＝， 得sin B＝＝×＝， ∵0°<B<180° ∴B＝60°或B＝120°. （4）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足csinA＝acosC. ①求角C的大??； ②求sinA－cos(B＋)的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大?。? 解析 ①由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC. 因?yàn)?＜A＜π，所以sinA＞0，從而sinC＝cosC， 又cosC≠0，所以tanC＝1，則C＝. ②由(1)知B＝－A. 于是sinA－cos(B＋)＝sinA－cos(π－A) ＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)． ∵0＜A＜，∴＜A＋＜， 從而當(dāng)A＋＝，即A＝時(shí)，2sin(A＋)取最大值2. 綜上所述，sinA－cos(B＋)的最大值為2， 此時(shí)A＝，B＝. （5）如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過△ABC的重心G.設(shè)∠MGA＝α(≤α≤)． ①試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為α的函數(shù)； ②求y＝＋的最大值與最小值． 解析①因?yàn)镚是邊長為1的正三角形ABC的重心， 所以AG＝×＝，∠MAG＝， 由正弦定理＝，得GM＝. 則S1＝GM·GA·sinα＝(或)． 又＝，得GN＝， 則S2＝GN·GA·sin(π－α) ＝(或)， ②y＝＋＝·[sin2(α＋)＋sin2(α－)]＝72(3＋cot2α)． 因?yàn)椤堞痢埽?，?dāng)α＝或α＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240； 當(dāng)α＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216. 題型二　利用余弦定理求解三角形 例2　在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且＝－. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積. 　解　(1)由余弦定理知： cos B＝，cos C＝. 將上式代入＝－得： ·＝－， 整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－. ∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝π. (2)將b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3. ∴S△ABC＝acsin B＝. 探究提高　(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. (2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用. 變式訓(xùn)練2　 1．已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大??； (2)若c＝3a，求tan A的值． 解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝＝. ∵0<B<π，∴B＝. (2)方法一　將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a. 由余弦定理，得cos A＝＝. ∵0<A<π，∴sin A＝＝，∴tan A＝＝. 方法二　將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a. 由正弦定理，得sin B＝sin A.由(1)知，B＝，∴sin A＝. 又b＝a>a，∴B>A，∴cos A＝＝. ∴tan A＝＝. 方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A. ∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sin A， ∴sincos A－cossin A＝3sin A，∴cos A＋sin A＝3sin A， ∴5sin A＝cos A，∴tan A＝＝. 2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos ＝， 　·＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值. 　解　(1)∵cos ＝，∴cos A＝2cos2－1＝， ∴sin A＝.又·＝3，∴bccos A＝3，∴bc＝5. ∴S△ABC＝bcsin A＝×5×＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 根據(jù)余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝36－10－10×＝20， ∴a＝2. ３．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4. (1)求b·c的最大值及θ的取值范圍； (2)求函數(shù)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的值． 【解析】(1)∵＝8，∠BAC＝θ，∴bccosθ＝8. 又a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42 即b2＋c2＝32. 又b2＋c2≥2bc ∴bc≤16，即bc的最大值為16. 而bc＝，∴≤16，∴cosθ≥ ∵0<θ<π，∴0<θ≤. (2)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－＝[1－cos(＋2θ)]＋1＋cos2θ－ ＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1 ∵0<θ≤， ∴<2θ＋≤ ∴≤sin(2θ＋)≤1. 當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，f(θ)min＝2×＋1＝2. 當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，f(θ)max＝2×1＋1＝3. 點(diǎn)評 有關(guān)三角形中的三角函數(shù)求值問題，既要注意內(nèi)角的范圍，又要靈活利用基本不等式． 題型三　正、余弦定理的綜合應(yīng)用 例3　(xx·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2. (1)當(dāng)p＝，b＝1時(shí)，求a，c的值； (2)若角B為銳角，求p的取值范圍. 解　(1)由題設(shè)并由正弦定理， 得　解得或 (2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝p2b2－b2－b2cos B，即p2＝＋cos B. 因?yàn)?<cos B<1，所以p2∈， 由題設(shè)知p>0，所以<p<. 探究提高　在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角.通常的思路是：將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角. 變式訓(xùn)練３ 1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c. (1)若c＝2，C＝，且△ABC的面積為，求a，b的值； (2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，試判斷△ABC的形狀. 解　(1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C 得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面積為，∴absin C＝，ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2. (2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，當(dāng)cos A＝0時(shí)，∵0<A<π， ∴A＝，△ABC為直角三角形； 當(dāng)sin A－sin B＝0時(shí)，得sin B＝sin A，由正弦定理得a＝b， 即△ABC為等腰三角形.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形. 2. ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A= a ⑴ ⑵若c2=b2+ a2求B. 解:　(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A ＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2. 可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°. 題型四　判斷三角形的形狀 一、判斷三角形的形狀 例1在△ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求角A的大??； (2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀． 解析 (1)由已知得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c. 即a2＝b2＋c2＋bc 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴cosA＝－ ∵A∈(0°，180°)，∴A＝120°. (2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC 又sinB＋sinC＝1得sinB＝sinC＝ ∵0°<B<60°，0°<C<60°. ∴B＝C. ∴△ABC是等腰的鈍角三角形． 點(diǎn)評　有關(guān)三角形形狀的判定，途徑一：探究內(nèi)角的大小或取值范圍確定形式；途徑二：計(jì)算邊的大小或轉(zhuǎn)化為僅關(guān)于邊的關(guān)系式確定形式． 例4　在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)， 試判斷△ABC的形狀. 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰或直角三角形. 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰或直角三角形. 變式訓(xùn)練4 1.已知在△ABC中，，則△ABC的形狀是 解析：∵cos2＝，∴＝. ∴cos A＝. 又∵＝，即b2＋c2－a2＝2b2. ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC為直角三角形． 探究提高　利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷. 2. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c， 且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sin A的值； (2)求的值． 解　(1)∵3b2＋3c2－3a2＝4bc，∴b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得，cos A＝＝， 又0<A<π，故sin A＝＝ (2)原式＝＝ ＝＝＝－. 所以＝－ 方法與技巧 1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍． 2.應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù). 3.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊， 練題一 一、選擇題 1．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝( ) A．－ 　　　B. 　　　　　 C．－1 　　　　　　 D．1 【解析】根據(jù)正弦定理，由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B. ∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1，故選D. 2.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcos C，則此三角形一定是 (　　) A.等腰直角三角形　　　B.直角三角形 C.等腰三角形　　　　　　D.等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則的值為(　　) A. B.　　　　　 C. D. 　　4.若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA＝4sinB＝3sinC，則cosB＝( ) A. B. C. D. 【解析】結(jié)合正弦定理得：6a＝4b＝3c 設(shè)3c＝12k(k>0) 則a＝2k，b＝3k，c＝4k. 由余弦定理得cosB＝＝＝，選D. 5.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4且C＝60°，則ab的值為( ) A. B．8－4 C．1 D. 【解析】由已知得： 兩式相減得：ab＝，選A. 二、填空題 6.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，則a＝________. 7.若△ABC的面積為，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長度等于____2____. 8.在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝________.4或5. 9．已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為 . 【解析】不妨設(shè)A＝120°，c<b 則a＝b＋4，c＝b－4 ∴cos120°＝＝－ 解得：b＝10. ∴S△ABC＝bcsin120°＝15. 三、解答題 10．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A是銳角，且b＝2a·sin B. (1)求A； (2)若a＝7，△ABC的面積為10，求b2＋c2的值. 解　(1)∵b＝2a·sin B，由正弦定理知 sin B＝2sin A·sin B. ∵B是三角形的內(nèi)角，∴sin B>0，從而有sin A＝， ∴A＝60°或120°，∵A是銳角，∴A＝60°. (2)∵10＝bcsin 60°，∴bc＝40， 又72＝b2＋c2－2bccos 60°，∴b2＋c2＝89. 11．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b. 解　方法一　∵sin B＝4cos Asin C， 由正弦定理，得＝4cos A，∴b＝4ccos A， 由余弦定理得b＝4c·， ∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4. 方法二　由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccos A， ∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2， ① 由正弦定理，得＝，又由已知得，＝4cos A， ∴b＝4ccos A. ② 解①②得b＝4. 12．在△ABC中，A，B為銳角，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cos2A＝，sinB＝. (1)求A＋B的值； (2)若a－b＝－1，求a，b，c的值． 【解析】(1)∵A，B為銳角，且sinB＝ ∴cosB＝＝ 又cos2A＝1－2sin2A＝ ∴sinA＝，cosA＝＝ ∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝×－×＝ 又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. (2)由(1)知C＝，∴sinC＝ 由正弦定理＝＝ 得a＝b＝c 即a＝b，c＝b. ∵a－b＝－1，即b－b＝－1，∴b＝1. ∴a＝，c＝. 13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝. (1)求的值； (2)若cosB＝，△ABC的周長為5，求b的長． 【解析】(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， 所以＝＝， 即sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB， 即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，即sinC＝2sinA， 所以＝2. (2)由(1)知＝2，所以有＝2，即c＝2a， 又因?yàn)橹荛L為5，所以b＝5－3a， 由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accosB， 即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×， 解得a＝1，所以b＝2. 練習(xí)2 一、選擇題 1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，則A的取值范圍是( ) A．(0，] B．[，π) C．(0，] D．[，π) 【解析】由已知得：a2≤b2＋c2－bc 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc ∴cosA≥ ∵A∈(0，π)，∴A∈(0，]，選C. 2.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)， 且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sin C的值 為 (　　) A. B. C. D. 3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，則 (　　) A.a>b B.a<b C.a＝b D.a與b的大小關(guān)系不能確定 二、填空題 4.在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，則∠A＝___60°_____，△ABC的形狀為__正三角形______. 5.在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若＋＝6cos C，則＋的值是___4_____. 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若其面積S＝(b2＋c2－a2)，則A＝___ _____ 7.在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則的值等于____，AC的取值范圍為 . 【解析】由正弦定理得：＝，即＝， ∴＝，則＝2. 又△ABC為銳角三角形，∴A＋B＝3A>90°，B＝2A<90° ∴30°<A<45°，<cosA< 由AC＝2cosA得AC的取值范圍是(，)． 三、解答題 8.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大??； (2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀. 解　(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc. ① 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，又∵0°<A<180°，∴A＝120°. (2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. ∴＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C， 又sin B＋sin C＝1， ② ∴sin Bsin C＝. ③ 解②③聯(lián)立的方程組，得sin B＝sin C＝. 因?yàn)?°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C. 所以△ABC是等腰的鈍角三角形. 9.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊， 4sin2－cos 2A＝. (1)求∠A的度數(shù)； (2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值. 解　(1)∵B＋C＝π－A，即＝－， 由4sin2－cos 2A＝，得4cos2－cos 2A＝， 即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝， 整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0. ∴cos A＝，又0°<A<180°，∴A＝60°. (2)由A＝60°，根據(jù)余弦定理cos A＝， 即＝，∴b2＋c2－bc＝3， ① 又b＋c＝3， ② ∴b2＋c2＋2bc＝9. ③ ① －③整理得：bc＝2. ④ 解②④聯(lián)立方程組得或 10．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中b＝，tanA＋tanC＋tan＝tanA·tanC·tan. (1)求角B的大??； (2)求a＋c的取值范圍． 解析 (1)tan(A＋C)＝ ＝＝－， ∴A＋C＝，∴B＝. (2)由正弦定理有2R＝＝＝＝1， ∵a＋c＝2R(sinA＋sinC)＝sinA＋sinC ＝sinA＋sin(π－A)＝sinA＋cosA＝sin(A＋) 又由0＜A＜π，有＜A＋＜π， ∴＜a＋c≤，即a＋c的取值范圍是(，]． 11．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，a＝2，tan＋tan＝4，sinB·sinC＝cos2，求A、B及b、c. 【解析】由tan＋tan＝4，得cot＋tan＝4，即＋＝4， 所以＝4，所以＝2， 所以sinC＝，又C∈(0，π)，所以C＝或， 由sinB·sinC＝cos2，得sinB·sinC＝[1－cos(B＋C)]， 即2sinB·sinC＝1－cosB·cosC＋sinB·sinC， 所以cosB·cosC＋sinB·sinC＝1，即cos(B－C)＝1， 所以B＝C＝， A＝π－(B＋C)＝， 由正弦定理＝＝得， b＝c＝a·＝2×＝2. 12．若tanC＝，c＝，試求ab的最大值． (2)∵tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ∴－＝ 即sin(A＋B)cosA＋sin(A＋B)cosB＋cos(A＋B)sinA＋cos(A＋B)sinB＝0 即sin(2A＋B)＋sin(A＋2B)＝0. ∴2A＋B＝－(A＋2B)＋2kπ(k∈Z) 或(2A＋B)－(A＋2B)＝π＋2kπ(k∈Z) ∵A，B為△ABC的內(nèi)角，∴A＋B＝，即C＝. 又c＝， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC 得：3＋ab＝a2＋b2≥2ab ∴ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)“＝”成立． 故ab的最大值為3. 13．在△ABC中，AC＝1，∠ABC＝，∠BAC＝x，記f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)的解析式及定義域； (2)設(shè)g(x)＝6m·f(x)＋1，x∈(0，)，是否存在正實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g(x)的值域?yàn)?1，]？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)由正弦定理＝＝＝， 得BC＝sinx，AB＝sin(－x)， ∴f(x)＝＝AB·BCcos(π－∠ABC) ＝sinx·sin(－x)· ＝(cosx－sinx)·sinx ＝sin(2x＋)－，其定義域?yàn)?0，)． (2)g(x)＝6mf(x)＋1＝2msin(2x＋)－m＋1(0＜x＜)， 假設(shè)存在正實(shí)數(shù)m滿足題設(shè)． ∵0＜x＜，∴＜2x＋＜，則sin(2x＋)∈(，1]． 又m＞0，則函數(shù)g(x)的值域?yàn)?1，m＋1]， 而g(x)的值域?yàn)?1，]，故m＋1＝，∴m＝. 故存在正實(shí)數(shù)m＝使函數(shù)g(x)的值域?yàn)?1，]． 14在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量p＝(c－2a，b)，q＝(cosB，cosC)，p⊥q. (1)求角B的大?。? (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． 解析 (1)由p⊥q得：(c－2a)cosB＋bcosC＝0 由正弦定理得，sinCcosB－2sinAcosB＋sinBcosC＝0 ∴sin(C＋B)＝2sinAcosB ∵B＋C＝π－A ∴sin(C＋B)＝sinA且sinA>0 ∴sinA＝2sinAcosB，cosB＝ 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB ＝a2＋c2－ac≥ac 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)“＝”成立． 又b＝2，∴ac≤12. ∴S△ABC＝acsinB≤×12×＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，S△ABC的最大值為3.