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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí) 第六章 第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 文
近三年廣東高考中對(duì)本章考點(diǎn)考查的情況
年份
題號(hào)
賦分
所考查的知識(shí)點(diǎn)
xx
4
5
求函數(shù)定義域
5
5
求一元二次不等式的解集
18
14
證明四點(diǎn)共面,證明線面垂直
6
5
線性規(guī)劃的最大值問題
20(2)
8
以數(shù)列為背景的不等式證明
(續(xù)上表)
xx
5
5
線性規(guī)劃的最小值問題
11
5
求函數(shù)定義域
18(1)
6
線面垂直的證明
21(1)
6
一元二次不等式的解集
xx
2
5
求函數(shù)的定義域
2、13
5
線性規(guī)劃、目標(biāo)函數(shù)的最大值
19(3)
6
以數(shù)列為背景的不等式證明
20(3)
6
求二次函數(shù)的最值
21(3)
6
三次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值
本章內(nèi)容主要包括兩個(gè)內(nèi)容:不等式、推理與證明.
不等式主要包括:不等式的基本性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題、不等式簡(jiǎn)單應(yīng)用.
推理與證明主要包括:合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明,其中合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí),代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì),選擇題、填空題、解答題都可能涉及,該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面
3、,在新的高考中都會(huì)涉及和滲透,但單獨(dú)出題的可能性較?。?
廣東高考在這一章的命題上呈現(xiàn)以下特點(diǎn):
1.考查題型以選擇題、填空題為主,偶以解答題形式出現(xiàn),但多數(shù)是解答題中的一部分,如與數(shù)列、函數(shù)、解析幾何等結(jié)合考查,分值約占10%左右,既有中、低檔題,也會(huì)有高檔題出現(xiàn).
2.重點(diǎn)考查不等式解法、不等式應(yīng)用、線性規(guī)劃以及不等式與其他知識(shí)的結(jié)合,另在推理與證明中將會(huì)重點(diǎn)考查.
3.對(duì)合情推理與演繹推理及證明方法的考查,主要放在解答題中,注重知識(shí)交匯處的命題.
預(yù)計(jì)高考中對(duì)本章內(nèi)容的考查仍將以不等式的解法、基本不等式應(yīng)用、線性規(guī)劃為重點(diǎn),將推理與證明和其他知識(shí)相融合,更加注重應(yīng)用與能力的考查.
4、
本章內(nèi)容理論性強(qiáng),知識(shí)覆蓋面廣,因此在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意:
1.復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí),要克服“想當(dāng)然”和“顯然成立”的思維定勢(shì),要以比較準(zhǔn)則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則為依據(jù).
2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外,還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法,這些方法可作適當(dāng)了解,但要控制量和度.
3.解(證)某些不等式時(shí),要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來.
4.注意重要不等式和常用思想方法在解題、證題中的作用.
在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí),加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí).解不等式的過程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式(組),以快速、準(zhǔn)確求解.
加強(qiáng)分類討論思
5、想的復(fù)習(xí).在解不等式或證不等式的過程中,如含參數(shù)等問題,一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.復(fù)習(xí)時(shí),學(xué)生要學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因,合理地分類,做到不重不漏.
加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練.不等式、函數(shù)、方程三者密不可分,相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題,函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.
在不等式的證明中,加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí),證不等式的過程是一個(gè)已知條件向要證結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程,既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),又可考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,正因?yàn)樽C不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起我們的足夠重視.
5.強(qiáng)化不等式的應(yīng)用.
高考中除單獨(dú)考查不等式的試
6、題外,常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識(shí),加強(qiáng)不等式應(yīng)用能力,是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,提高應(yīng)用意識(shí),總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律,才能提高解決問題的能力.
如在實(shí)際問題應(yīng)用中,主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法,求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件,避免不必要的錯(cuò)誤.
6.利用平均值定理解決問題時(shí),要注意滿足定理成立的三個(gè)條件:“一正、二定、三相等”.
7.要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用意識(shí),同時(shí)要注意到不等式與函數(shù)、方程的區(qū)別與聯(lián)系.
對(duì)于類比型問題可以說是創(chuàng)新要求的體現(xiàn),最常見的是二維問題與三維問題的類比,同結(jié)構(gòu)問題的
7、類比(比如圓錐曲線內(nèi)的類比問題、數(shù)列內(nèi)的類比問題等),較少對(duì)照不同結(jié)構(gòu)的類比問題.關(guān)于歸納、猜想、證明是考得比較多、比較成熟的題型了,在復(fù)習(xí)備考中要把握考試的特點(diǎn),注重落實(shí).
歸納、演繹和類比推理在數(shù)學(xué)思維中所占的分量非常重,事實(shí)上,在高考中歸納、猜想、證明以及類比、證明這一類題目是常考常新的.
推理與證明問題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),需要采用多種數(shù)學(xué)方法才能解決問題,如:函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想等,對(duì)學(xué)生的知識(shí)與能力要求較高,是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和邏輯推理能力、表述能力的全面考查,可以彌補(bǔ)選擇題與填空題等客觀題的不足,是提高區(qū)分度、增強(qiáng)選拔功能的
8、重要題型,因此在最近幾年的高考試題中,推理與證明問題正在成為一個(gè)熱點(diǎn)題型,并且經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn).
第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式
了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景.
知識(shí)梳理
一、不等式的概念
在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“<”,“>”,“≤”,“≥”,“≠”連接兩個(gè)數(shù)式或代數(shù)式以表示它們之間的不等的關(guān)系的式子,叫做不等式.
二、實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序關(guān)系
1.a(chǎn)>b?a-b>0.2.a=b?a-b=0.3.a
9、的基本性質(zhì)
雙向性:
1.定理1(對(duì)稱性):a>b?bb,b>c?a>c.
3.定理3(同加性):a>b,c為整式或?qū)崝?shù)?a+c>b+c.
4.定理3推論(疊加性):?a+c>b+d.
5.定理4(可乘性):?ac>bc;?acbd.
7.定理4推論2(可乘方性):a>b>0?an>bn(n∈N*且n>1).
8.定理5(可開方性):a>b>0?>(n∈N*且n>1).
四、不等式性質(zhì)成立的條件
例如,重要結(jié)論:a>b,ab>0?<,不能弱化條件得a>b?<.
五、正確處理帶等
10、號(hào)的情況
如由a>b,b≥c或a≥b,b>c均可得出a>c;而由a≥b,b≥c可能有a>c,也可能有a≥c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b且b=c時(shí),才會(huì)有a=c.
注意:不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類:一類是“?”型;另一類是“?”型.要注意二者的區(qū)別.
基礎(chǔ)自測(cè)
1.已知a<0,b<-1,則下列不等式成立的是( )
A.a(chǎn)>>
B.>>a
C.>>a
D.>a>
解析:特殊值法,取a=-1,b=-2,驗(yàn)證知>>a成立.也可用作差比較法.
答案:C
2.(xx·廣東兩校聯(lián)考)若0
11、log2a+log2b+1
D.log2(a3+a2b+ab2+b3)
解析:特殊值法.取a=,b=,則log2b=log2=1-log23>1-log24=-1;
log2b-(log2a+log2b+1)=-1-log2=-1+log23>0;
計(jì)算可知,b>a3+a2b+ab2+b3,
∴l(xiāng)og2b>log2(a3+a2b+ab2+b3).故選B.
答案:B
3.已知a,b∈R且a>b,則下列不等式中一定成立的是________.
①>1?、赼2>b2?、踠g(a-b)>0 ④a<b
解析:令a=2,b=-1,則a>b,=-2,故>1不成立;令a=1,b=-
12、2,則a2=1,b2=4,故a2>b2不成立;當(dāng)a-b在區(qū)間(0,1)內(nèi)時(shí),lg(a-b)<0;f(x)=x在R上是減函數(shù),∵a>b,∴f(a)<f(b),即a<b.故④正確.
答案:④
4.a(chǎn)>b>0,m>0,n>0,則,,,由大到小的順序是____________.
解析:取特殊值.如a=2,b=1,m=n=1,則=,=2,=,=.∴>>>.
答案:>>>
1.(xx·北京卷)設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則( )
A.a(chǎn)c>bc B.<
C.a(chǎn)2>b2 D.a(chǎn)3>b3
解析:當(dāng)a>b時(shí),a3>b3成立.A項(xiàng)中對(duì)c=0不成立
13、.B項(xiàng)取a=1,b=-1,則<不成立;C項(xiàng)取a=1,b=-2,則a2>b2不成立.
答案:D
2.(xx·大綱全國(guó)卷)已知x=ln π,y=log52,z=e-,則( )
A.xln e=1,y=log52=,<1.綜上可得,y<z<x.故選D.
答案:D
1.(xx·江門一模)若x>0,y>0,則x+y>1是x2+y2>1的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條
14、件
解析:先看充分性,
可取x=y(tǒng)=,使x+y>1成立,而x2+y2>1不能成立,故充分性不能成立;
若x2+y2>1,因?yàn)閤>0,y>0,
所以(x+y)2=x2+y2+2xy>x2+y2>1,
∴x+y>1成立,故必要性成立.
綜上所述,x+y>1是x2+y2>1的必要不充分條件.
答案:B
2.(xx·北京西城區(qū)期末)已知a>b>0,給出下列四個(gè)不等式:
①a2>b2?、?a>2b-1?、?-
④a3+b3>2a2b.
其中一定成立的不等式為________.
解析:由a>b>0可得a2>b2,①成立;
由a>b>0可得a>b-1,而函數(shù)f(x)=2x在R上是增函數(shù);∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;
∵a>b>0,∴>,
∴()2-(-)2=2-2b=2(-)>0,
∴>-,③成立;
若a=3,b=2,則a3+b3=35,2a2b=36,a3+b3<2a2b,④不成立.
答案:①②③