2022年高考數(shù)學二模試卷（理科） 含解析(I)

2022年高考數(shù)學二模試卷（理科） 含解析(I) 　 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分． 1．已知復數(shù)z=，則復數(shù)z的虛部是（　?。? A． B． i C．﹣ D．﹣i 2．設實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+y的最小值是（　?。? A． B．1 C．2 D．7 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=6，則輸出的S=（　　） A． B． C． D． 4．下列說法正確的是（　?。? A．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題 B．命題“已知A、B為一個三角形的兩內(nèi)角，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為真命題 C．“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a＜b，則2a＜2b﹣1” D．“a=1”是“直線x﹣ay+1=0與直線x+ay﹣2=0互相垂直”的充要條件． 5．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左頂點與拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（﹣1，﹣1），則雙曲線的標準方程為（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=1 6．函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導，若f（x）=f（2﹣x），且當x≠1時，有（x﹣1）?f′（x）＜0，設a=f（tanπ），b=f（log32），c=f（0.2﹣3），則（　　） A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 7．已知AB，DE為圓O的直徑，CD⊥AB于N，N為OB的中點，EB與CD相交于點M，切線EF與DC的延長線交于點F．若圓O的半徑為1，則EF的長為（　?。? A． B． C． D． 8．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E、F分別在邊BC、CD上， =λ， =μ．若λ+μ=，則?的最小值（　　） A． B． C． D． 　 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡中的相應橫線上. 9．某學院的A，B，C三個專業(yè)共有1500名學生，為了調(diào)查這些學生勤工儉學的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本．已知該學院的A專業(yè)有420名學生，B專業(yè)有580名學生，則在該學院的C專業(yè)應抽取________名學生． 10．設區(qū)域Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，區(qū)域A={（x，y）|y≤，（x，y）∈Ω}，在區(qū)域Ω中隨機取一個點，則該點在A中的概率________． 11．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是________ 12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，a=，tanB=，則b的值為________． 13．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cosθ．設直線l與曲線C交于A，B兩點，弦長|AB|=________． 14．若函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+|﹣|x﹣|的圖象恰有五個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________． 　 三、解答題：本大題6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟． 15．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）若f（x0﹣）=，x0∈[，]，求cos2x0的值． 16．國家旅游局確定xx以“絲綢之路旅游年”為xx旅游宣傳主題，甘肅武威為配合國家旅游局，在每張門票后印有不同的“絲綢之路徽章”．某人利用五一假期，在該地游覽了文廟，白塔寺，沙漠公園，森林公園，天梯山石窟五處景點，并收集文廟紀念徽章3枚，白塔紀念徽章2枚，其余三處各1枚．，現(xiàn)從中任取4枚． （Ⅰ）求抽取的4枚中恰有3個景點的概率； （Ⅱ）抽取的4枚徽章中恰有文廟紀念徽章的個數(shù)為ξ枚，求ξ的分布列和數(shù)學期望． 17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60°，AP=AC=AD=2，E為CD的中點，M在AB上，且=2． （I）求證：EM∥平面PAD； （Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值； （Ⅲ） 點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線EF與AC所成角45°，求AF的長． 18．己知橢圓C1： +=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=r2（r＞0），已知圓C2的直徑是橢圓C1焦距長的倍，且圓C2的面積為4π，橢圓C1的離心率為，過橢圓C1的上頂點A作一條斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C1的另一個交點是B，與圓C2相交于點E，F(xiàn)． （1）求橢圓C1的方程； （2）當|AB|?|EF|=3時，求直線l的方程，并求△F2AB的面積（其中F2為橢圓C1的右焦點） 19．已知數(shù)列{an}滿足an+2=，．且n∈N*，a1=1，a2=2． （1）求{an}的通項公式； （2）設bn=anan+1，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n； （3）設cn=a2n﹣1a2n+（﹣1）n，證明： +++…+＜． 20．已知直線y=是函數(shù)f（x）=的切線（其中e=2.71828…）． （I）求實數(shù)a的值； （Ⅱ）若對任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求實數(shù)m的取值范圍； （Ⅲ）若函數(shù)g（x）=lnf（x）﹣b的兩個零點為x1，x2，證明：g′（x1）+g′（x2）＞． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分． 1．已知復數(shù)z=，則復數(shù)z的虛部是（　?。? A． B． i C．﹣ D．﹣i 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案． 【解答】解：∵z==， ∴復數(shù)z的虛部是﹣． 故選：C． 　 2．設實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+y的最小值是（　?。? A． B．1 C．2 D．7 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由題意作平面區(qū)域，由解得A（，），從而求最小值． 【解答】解：由題意作平面區(qū)域如下， ， 由解得，A（，）， 故z=x+y的最小值是+=， 故選：A． 　 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=6，則輸出的S=（　　） A． B． C． D． 【考點】程序框圖． 【分析】由已知中的程序框圖可得，該程序的功能是計算并輸出S的值，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當i=8時，不滿足條件i≤6，退出循環(huán)，輸出S的值為． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得 n=6，S=0，i=2 滿足條件i≤6，執(zhí)行循環(huán)體，S==，i=4 滿足條件i≤6，執(zhí)行循環(huán)體，S=+=，i=6 滿足條件i≤6，執(zhí)行循環(huán)體，S=+=，i=8 不滿足條件i≤6，退出循環(huán)，輸出S的值為． 故選：C． 　 4．下列說法正確的是（　　） A．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題 B．命題“已知A、B為一個三角形的兩內(nèi)角，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為真命題 C．“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a＜b，則2a＜2b﹣1” D．“a=1”是“直線x﹣ay+1=0與直線x+ay﹣2=0互相垂直”的充要條件． 【考點】命題的真假判斷與應用． 【分析】A．根據(jù)復合命題的真假關系進行判斷． B．根據(jù)逆命題的定義進行判斷． C．根據(jù)否命題的定義進行判斷． D．根據(jù)直線垂直的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷． 【解答】解：A．若“p或q”為真命題，則p，q至少有一個為真命題，故A正確， B．命題“已知A、B為一個三角形的兩內(nèi)角，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為若sinA＞sinB，則A＞B， 由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，則逆命題為真命題，故B正確， C．“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”，故C錯誤， D．若直線x﹣ay+1=0與直線x+ay﹣2=0互相垂直，則1×1﹣a2=0，得a=±1， 即“a=1”是“直線x﹣ay+1=0與直線x+ay﹣2=0互相垂直”的充分不必要條件，故D錯誤， 故選：B 　 5．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左頂點與拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（﹣1，﹣1），則雙曲線的標準方程為（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=1 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】設出雙曲線的左頂點和拋物線的焦點，雙曲線的漸近線方程和拋物線的準線方程，求得p=a=b=2，即可得到所求雙曲線的方程． 【解答】解：設雙曲線的左頂點為（﹣a，0）， 拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為（，0）， 由題意可得a+=3， 雙曲線的漸近線方程為y=x， 拋物線的準線方程為x=﹣， 由題意可得﹣=﹣1，﹣?=﹣1， 解得p=2，a=2，b=2， 則雙曲線的方程為﹣=1． 故選：B． 　 6．函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導，若f（x）=f（2﹣x），且當x≠1時，有（x﹣1）?f′（x）＜0，設a=f（tanπ），b=f（log32），c=f（0.2﹣3），則（　?。? A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】由函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導，f（x）=f（2﹣x），知函數(shù)f（x）的圖象關于x=1對稱．再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，比較a=f（tanπ），b=f（log32），c=f（0.2﹣3）的大?。? 【解答】解：∵函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導，f（x）=f（2﹣x）， 令x=x+1，則f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1）， ∴函數(shù)f（x）的圖象關于x=1對稱； 當x≠1時，有（x﹣1）?f′（x）＜0， ∴x＞1時，f′（x）＜0，x＜1時，f′（x）＞0， ∴f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減， ∵0＜＜tan=1＜0.2﹣3， ∴f（tanπ）＞f（log32）＞f（0.2﹣3）， ∴c＜b＜a． 故選：D． 　 7．已知AB，DE為圓O的直徑，CD⊥AB于N，N為OB的中點，EB與CD相交于點M，切線EF與DC的延長線交于點F．若圓O的半徑為1，則EF的長為（　　） A． B． C． D． 【考點】與圓有關的比例線段． 【分析】若圓O的半徑為1，利用射影定理求EF的長． 【解答】解：連接EC， ∵DE為圓O的直徑， ∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=EC， ∵圓O的半徑為1，N為OB的中點， ∴EC=1，CD=， Rt△DEF中，EC2=FC?CD，∴FC= ∴EF2=FC?FD=，∴EF=． 故選：A． 　 8．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E、F分別在邊BC、CD上， =λ， =μ．若λ+μ=，則?的最小值（　?。? A． B． C． D． 【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】由題意畫出圖形，把?用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有λ，μ的代數(shù)式，再結(jié)合λ+μ=及基本不等式求得?的最小值． 【解答】解：如圖， ∵=λ， =μ，且λ+μ=， ∴?=（）?（）， == = ==． 由題意可得，λ，μ＞0， ∵λ+μ=， ∴λμ，則﹣2（1+λμ）≥， ∴（當且僅當時等號成立）， ∴?的最小值為． 故選：A． 　 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡中的相應橫線上. 9．某學院的A，B，C三個專業(yè)共有1500名學生，為了調(diào)查這些學生勤工儉學的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本．已知該學院的A專業(yè)有420名學生，B專業(yè)有580名學生，則在該學院的C專業(yè)應抽取50名學生． 【考點】分層抽樣方法． 【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結(jié)論． 【解答】解：有分層抽樣的標準在C學院抽取=50， 故答案為：50． 　 10．設區(qū)域Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，區(qū)域A={（x，y）|y≤，（x，y）∈Ω}，在區(qū)域Ω中隨機取一個點，則該點在A中的概率． 【考點】幾何概型． 【分析】首先利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積，然后利用定積分求幾何概型概率． 【解答】解：如圖，區(qū)域Ω對應的部分是邊長為1的正方形，區(qū)域A對應部分為圖中陰影部分，面積為， 由幾何概型公式得到在區(qū)域Ω中隨機取一個點，則該點在A中的概率為=； 故答案為：． 　 11．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個圓錐、下面是半個圓柱，并求出底面圓的半徑以及幾何體的高，由椎體、柱體的體積公式求出此幾何體的體積． 【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個圓錐、下面是半個圓柱， 且圓錐的底面圓的半徑r=2、高是2，圓柱的底面圓的半徑r=2、高是1， 所以此幾何體的體積V==， 故答案為：． 　 12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，a=，tanB=，則b的值為． 【考點】余弦定理；正弦定理． 【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理可得cosA=，從而可求A，又由tanB=，B為三角形內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosB，sinB的值，由正弦定理即可解得b的值． 【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc， ∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc， ∴由余弦定理可得：cosA===， ∴A=． 又∵tanB=，B為三角形內(nèi)角， ∴cosB==，sinB==， ∴由正弦定理可得： =，解得：b=． 故答案為：． 　 13．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cosθ．設直線l與曲線C交于A，B兩點，弦長|AB|=． 【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ即可化為直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），化為標準方程：，代入曲線C的直角坐標方程可得：3m2﹣16m﹣64=0，利用|AB|=|m1﹣m2|=即可得出． 【解答】解：曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化為直角坐標方程：y2=8x． 直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），化為標準方程：，代入曲線C的直角坐標方程可得：3m2﹣16m﹣64=0， ∴m1+m2=，m1m2=﹣． ∴|AB|=|m1﹣m2|===． 故答案為：． 　 14．若函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+|﹣|x﹣|的圖象恰有五個交點，則實數(shù)k的取值范圍是． 【考點】函數(shù)的圖象． 【分析】作出函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+|﹣|x﹣|的圖象，x＞1時，kx+1=，即kx2+x﹣2=0有兩個不等的實數(shù)根，可得k的范圍，利用對稱性，即可求出實數(shù)k的取值范圍． 【解答】解：0＜x＜1時，y=2x；x＞1時，y=， 函數(shù)y=|x+|﹣|x﹣|為偶函數(shù)，圖象如圖所示． ∵函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+|﹣|x﹣|的圖象恰有五個交點， ∴x＞1時，kx+1=，即kx2+x﹣2=0有兩個不等的實數(shù)根， ∴△=1+8k＞0且k＜0， ∴﹣＜k＜0， 根據(jù)對稱性，可得實數(shù)k的取值范圍是． 故答案為： 　 三、解答題：本大題6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟． 15．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）若f（x0﹣）=，x0∈[，]，求cos2x0的值． 【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法． 【分析】（1）利用二倍角和兩角和的正弦公式f（x）=2sin（2x+），求得周期為π， （2）f（x0﹣）=，代入求得sin（2x0+）=，寫出2x0+∈[，]，求得，cos（2x0+）=，cos2x0=cos[（2x0+）﹣]，利用兩角差的余弦公式求cos2x0的值． 【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣， =sin2x+cos2x， =2sin（2x+）， f（x）的最小正周期為π， （2）f（x0﹣）=， 2sin[2（x0﹣）+]=， sin（2x0+）=， x0∈[，]，2x0+∈[，]， ∴cos（2x0+）=， cos2x0=cos[（2x0+）﹣]， =cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin， =， cos2x0=． 　 16．國家旅游局確定xx以“絲綢之路旅游年”為xx旅游宣傳主題，甘肅武威為配合國家旅游局，在每張門票后印有不同的“絲綢之路徽章”．某人利用五一假期，在該地游覽了文廟，白塔寺，沙漠公園，森林公園，天梯山石窟五處景點，并收集文廟紀念徽章3枚，白塔紀念徽章2枚，其余三處各1枚．，現(xiàn)從中任取4枚． （Ⅰ）求抽取的4枚中恰有3個景點的概率； （Ⅱ）抽取的4枚徽章中恰有文廟紀念徽章的個數(shù)為ξ枚，求ξ的分布列和數(shù)學期望． 【考點】離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）記“抽取的4枚徽章中恰有3個景點”為事件A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出抽取的4枚中恰有3個景點的概率． （Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望． 【解答】解：（Ⅰ）記“抽取的4枚徽章中恰有3個景點”為事件A，… ．… （Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，… ， ， ， ，… 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P … =．… 　 17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60°，AP=AC=AD=2，E為CD的中點，M在AB上，且=2． （I）求證：EM∥平面PAD； （Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值； （Ⅲ） 點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線EF與AC所成角45°，求AF的長． 【考點】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角；直線與平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）以A為原點，AD為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立如圖的空間直角坐標系，利用向量法能證明EM∥平面PAD． （Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值． （Ⅲ）令，，求出，由此利用向量法能求出AF的長． 【解答】證明：（Ⅰ）以A為原點，AD為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立如圖的空間直角坐標系， A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），，P（0，0，2），… 設M（x，y，z）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，… ∴，平面PAD的法向量… ∴， ∴， 又∵EM?平面PAD， ∴EM∥平面PAD，… 解：（Ⅱ）設平面PBC的法向量， ∵， ，即，令x=﹣1， ∴ ∴，… 平面PAD的法向量， 設二面角所成的銳二面角為θ， ∴， 平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．… （Ⅲ）令，， ∴F（2λ，0，2﹣2λ）… ， ∴… ∴4λ2﹣6λ+2=0， ∴或λ=1（舍） ∴F（1，0，1）， ∴．… 　 18．己知橢圓C1： +=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=r2（r＞0），已知圓C2的直徑是橢圓C1焦距長的倍，且圓C2的面積為4π，橢圓C1的離心率為，過橢圓C1的上頂點A作一條斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C1的另一個交點是B，與圓C2相交于點E，F(xiàn)． （1）求橢圓C1的方程； （2）當|AB|?|EF|=3時，求直線l的方程，并求△F2AB的面積（其中F2為橢圓C1的右焦點） 【考點】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】（1）由圓的面積公式得πr2=4π，得r=2，從而求出c=，由橢圓C1的離心率為，求出a，b，由此能求出橢圓方程． （2）設直線l：y=kx+1，求出圓心O到直線l的距離和|EF|，聯(lián)立，得（3k2+1）x2+6kx=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式能求出結(jié)果． 【解答】解：（1）∵橢圓C1： +=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=r2（r＞0）， 圓C2的直徑是橢圓C1焦距長的倍，且圓C2的面積為4π， ∴πr2=4π，r＞0，解得r=2， ∴2r=，∴r=，∴c=， 又∵橢圓C1的離心率為，a2+b2=c2，∴a=，b=1， ∴橢圓方程為． （2）由（1）知圓C2的圓心O（0，0），r=，A（0，1），設直線l：y=kx+1， 圓心O到直線l的距離d=， |EF|=2=2， 聯(lián)立，得（3k2+1）x2+6kx=0， 設B（x1，y1），則x1=， ∴|AB|===， ∵|AB|?|EF|=3， ∴|AB|?|EF|=?==3， ∴k4+6k2﹣7=0，∴（k2+7）（k2﹣1）=0， ∴k2=1，∵k＞0，∴k=1， ∴直線l：y=x+1．|AB|=， 點F2到直線l的距離d1=， ∴==． 　 19．已知數(shù)列{an}滿足an+2=，．且n∈N*，a1=1，a2=2． （1）求{an}的通項公式； （2）設bn=anan+1，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n； （3）設cn=a2n﹣1a2n+（﹣1）n，證明： +++…+＜． 【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】（1）由數(shù)列{an}滿足an+2=，a1=1，a2=2．當n為奇數(shù)時，an+2﹣an=2，此時數(shù)列{a2k﹣1}（k∈N*）成等差數(shù)列．當n為偶數(shù)時，an+2=2an，此時數(shù)列{a2k}（k∈N*）成等比數(shù)列，即可得出． （2）bn=anan+1，n∈N*，可得：b2k﹣1+b2k=a2k﹣1a2k+a2ka2k+1=4k?2k．利用“錯位相減法”與分組求和即可得出． （3）cn=a2n﹣1a2n+（﹣1）n=（2n﹣1）?2n+（﹣1）n．可得==＜，（n≥5）. = =＜（n≥4），即可證明． 【解答】（1）解：數(shù)列{an}滿足an+2=，a1=1，a2=2． ∴當n為奇數(shù)時，an+2﹣an=2，此時數(shù)列{a2k﹣1}（k∈N*）成等差數(shù)列，公差為2，首項為1，an=a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1=n． 當n為偶數(shù)時，an+2=2an，此時數(shù)列{a2k}（k∈N*）成等比數(shù)列，公比為2，首項為2，an=a2k=2k=． ∴an=． （2）解：∵bn=anan+1，n∈N*， ∴b2k﹣1+b2k=a2k﹣1a2k+a2ka2k+1=（2k+1+2k﹣1）2k=4k?2k． ∴數(shù)列{bn}的前2n項和S2n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1+b2k）=4（2+2×22+3×23+…+k?2k）， 令Ak=2+2×22+3×23+…+k?2k， 2Ak=22+2×23+…+（k﹣1）?2k+k?2k+1， ∴﹣Ak=2+22+…+2k﹣k?2k+1=﹣k?2k+1=（1﹣k）?2k+1﹣2， ∴Ak=（k﹣1）?2k+1+2． （3）證明：cn=a2n﹣1a2n+（﹣1）n=（2n﹣1）?2n+（﹣1）n． ∴==＜，（n≥5）． ==＜（n≥4）． +++…+＜1+++++…＜1+++＜． 　 20．已知直線y=是函數(shù)f（x）=的切線（其中e=2.71828…）． （I）求實數(shù)a的值； （Ⅱ）若對任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求實數(shù)m的取值范圍； （Ⅲ）若函數(shù)g（x）=lnf（x）﹣b的兩個零點為x1，x2，證明：g′（x1）+g′（x2）＞． 【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切點坐標，從而求出a的值即可； （Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈（0，2）都成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍即可； （Ⅲ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到，令，則x2=tx1，則tx1﹣x1=lnt，問題轉(zhuǎn)化為證明即證令φ（t）=t﹣﹣﹣lnt，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 【解答】解：（Ⅰ）由題意得，設切點（） 所以f'（x0）=0，得x0=1．則，∴a=1… （Ⅱ）由（1）知對任意x∈（0，2）都成立， ∵2x﹣x2＞0，即對任意x∈（0，2）都成立，… 令，…， ∴x∈（0，1），h'（x）＞0；∴x∈（1，2），h'（x）＜0， ∴h（x）在（0，1）上單增，（1，2）上單減，… ∴，∴，…∴… （Ⅲ）證明：由題意知函數(shù)g（x）=lnx﹣x﹣b，所以， 因為x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個零點， 所以，相減得，… 不妨令，則x2=tx1，則tx1﹣x1=lnt， 所以，，… 要證g'（x1）+g'（x2） 只要證 只要證… 即證 令， 令m（t）=t4+t3﹣4t2+t+1，m'（t）=4t3+3t2﹣8t+1， m''（t）=12t2+6t﹣8＞0對t＞1恒成立， ∴m'（t）在（1，+∞）上單增，∴m'（t）＞m'（1）=0， ∴m（t）在（1，+∞）上單增，∴m（t）＞m（1）=0， 即φ'（t）＞0∴φ（t）在（1，+∞）上單增， ∴φ（t）＞φ（1）=0，即原不等式成立．… 　 xx9月7日