2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí) 一、選擇題 1.(xx·肇慶三模)在函數(shù)y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　y＝xcos x為奇函數(shù)，y＝ex＋x2為非奇非偶函數(shù)，y＝lg與y＝xsin x為偶函數(shù). 答案　B 2.(xx·湖南卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是(　　) A.奇函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是增函數(shù) B.奇函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是減函數(shù) C.偶函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是增函數(shù) D.偶函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是減函數(shù) 解析　易知f(x)的定義域?yàn)?－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，則y＝f(x)為奇函數(shù)， 又y＝ln(1＋x)與y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函數(shù)， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函數(shù). 答案　A 3.已知函數(shù)f(x)＝x，若f(x1)<f(x2)，則(　　) A.x1>x2 B.x1＋x2＝0 C.x1<x2 D.x<x 解析　∵f(－x)＝－x＝f(x). ∴f(x)在R上為偶函數(shù)， f′(x)＝ex－＋x， ∴x>0時(shí)，f′(x)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)， 由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)， ∴|x1|<|x2|，∴x<x. 答案　D 4.已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，則有解得g(1)＝3. 答案　B 5.(xx·杭州一模)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為(　　) A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析　∵f(x＋1)為偶函數(shù)， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，則f(－x)＝f(x＋2)， 又y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0. 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期為4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 答案　A 二、填空題 6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________. 解析　由于f(－x)＝f(x)， ∴l(xiāng)n(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax， 化簡(jiǎn)得2ax＋3x＝0(x∈R)，則2a＋3＝0， ∴a＝－. 答案　－ 7.(xx·湖州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. 解析　由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝. 答案　 8.(xx·舟山調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________，f(g(－2))＝________. 解析　由題意，a＝f(0)＝0.設(shè)x<0，則－x>0，f(－x)＝x2－2x＋1＝－f(x)，∴g(2x)＝－x2＋2x－1，∴g(－2)＝－4，∴f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－(16＋8＋1)＝－25. 答案　0　－25 三、解答題 9.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達(dá)式. 解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x). 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x). 又f(x)的定義域?yàn)镽， ∴f(x)是偶函數(shù). (2)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，－x∈[－1，0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 進(jìn)而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 10.已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x). 于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象知所以1<a≤3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3]. (建議用時(shí)：25分鐘) 11.(xx·麗水一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A.(－1，4) B.(－2，0) C.(－1，0) D.(－1，2) 解析　∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， ∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0， 解得－1<a<4. 答案　A 12.對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，且f(0)＝2，則f(2 015)＋f(2 016)＝(　　) A.0 B.2 C.3 D.4 解析　y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， 令x＝－1，則f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， ∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0， 則f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0， 即f(x＋2)＝f(x)， 則函數(shù)的周期是2，又f(0)＝2， 則f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2. 答案　B 13.(xx·東北四市聯(lián)考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析　因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0， 則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0， ∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè). 答案　7 14.設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積. 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x). 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱. 又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如下圖所示. 當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4. 15.(xx·衢州模擬)設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f(x)＝(a－x)|x|. (1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]對(duì)所有的x∈[－2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(1－x)|x|＝ 當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(1－x)x＝－＋，所以f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝(x－1)x＝－，所以f(x)在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù). 綜上可知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)，. (2)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，解得a＝0，∴f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|. ∴mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|， 即m>對(duì)所有的x∈[－2，2]恒成立，又x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]， 所以≤＝＝x2＋1＋－2≤. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.