2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充 間接證明易錯點

2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充 間接證明易錯點 主標(biāo)題：間接證明易錯點 副標(biāo)題：從考點分析間接證明在高考中的易錯點，為學(xué)生備考提供簡潔有效的備考策略。 關(guān)鍵詞：間接證明，易錯點 難度：3 重要程度：3 內(nèi)容：  一、沒有應(yīng)用假設(shè)進(jìn)行推理而致錯         【例1】已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，用反證法證明：關(guān)于x的方程無實根.         錯解：假設(shè)方程有實根， 由已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0， 解得， 方程的判別式， ∵，∴，∴△＜0. 即關(guān)于x的方程無實根。         剖析：利用反證法證明時，首先要對所要證明的結(jié)論進(jìn)行否定性的假設(shè)，并以此為條件進(jìn)行推理，得到矛盾，從而證明原命題成立.         正解：假設(shè)方程有實根， 則該方程的判別式≥0，解得p≥2或p≤－2， 而由已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0， 解得， 二者矛盾，所以假設(shè)錯誤，從而原方程無實根。         二、利用假設(shè)進(jìn)行推理時不嚴(yán)密而致錯         【例2】設(shè)a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：(1－a)b，(1－b)a，（1－c）a三個數(shù)不可能同時大于。         錯解：假設(shè)三個數(shù)都大于， 即， 三個式子相乘，得。 又因為，，， ∴， 這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)不成立。 ∴(1－a)b，(1－b)a，（1－c）a三個數(shù)不可能同時大于。         剖析：在利用基本不等式時忘記了等號，少了取等號的條件，所以證明過程不嚴(yán)密。         正確：假設(shè)三個數(shù)都大于， 即， 三個式子相乘，得。 又因為，，， ∴， 這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)不成立。 ∴(1－a)b，(1－b)a，（1－c）a三個數(shù)不可能同時大于。         三、考慮不全面而致錯         【例3】若a∥b，若直線a與平面相交，求證：直線b與平面相交。         錯解：假設(shè)b不與平面相交，則直線b∥平面， 則平面內(nèi)存在直線b′，使得b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因為平面，所以a∥平面，這與已知相矛盾， 所以假設(shè)錯誤，b與平面相交。          剖析：直線與平面不相交，包含直線與平面平行和直線在平面內(nèi)兩種情況，少了直線在平面內(nèi)的情況.         正解：假設(shè)b不與平面相交，則直線b∥平面或直線b平面。 (1)若直線b∥平面，則平面內(nèi)存在直線b′，使得b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因為平面，所以a∥平面，這與已知相矛盾。 (2)若直線b平面，則由a∥b，平面，所以a∥平面，這與已知相矛盾。 綜上所述，b與平面相交。