2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 理（含解析） 1. （xx福建，5分）在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 解析：由題意知，A選項(xiàng)中e1＝0，C，D選項(xiàng)中兩向量均共線，都不符合基底條件，故選B(事實(shí)上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)． 答案：B 2. （xx四川，5分）平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：　法一：由已知得c＝(m＋4,2m＋2)，因?yàn)閏os〈c，a〉＝，cos〈c，b〉＝，所以＝，又由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2. 法二：易知c是以ma，b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量，因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角，所以該平行四邊形為菱形，又由已知得|b|＝2|a|，故m＝2. 答案：D 3. （xx北京，5分）已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________. 解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)， ∵ λa＋b＝0. ∴即 由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝. 答案： 4. （xx江西，5分）已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. 解析：因?yàn)閍2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝. 答案： 5. （xx陜西，12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上． (1)若＋＋＝0，求| |； (2)設(shè)＝m＋n (m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 解：(1)法一：∵＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)， ∴解得x＝2，y＝2， 即＝(2,2)，故||＝2. 法二：∵＋＋＝0， 則(－)＋(－)＋(－)＝0， ∴＝(＋＋)＝(2,2)， ∴||＝2. (2)由題意得＝(1,2)，＝(2,1)，∵＝m＋n， ∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)， ∴ 兩式相減得，m－n＝y(tǒng)－x， 令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t取得最大值1，故m－n的最大值為1. 6．（xx浙江，5分）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有·≥·，則(　　) A．∠ABC＝90°　　　　　　　　　　 B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC 解析：選D　本題主要考查平面向量的運(yùn)算，向量的模、數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義等，意在考查利用向量解決簡單的平面幾何問題的能力．設(shè)AB＝4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，則A(－2,0)，B(2,0)，則P0(1,0)，設(shè)C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)． 則·≥·?(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立， 即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立． ∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0. 即點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，∴AC＝BC. 7．（xx遼寧，5分）已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　本題主要考查向量的坐標(biāo)表示．由已知， 得＝(3，－4)，所以||＝5，因此與同方向的單位向量是＝. 8．（xx福建，5分）在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析：選C　本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、模、四邊形面積等基礎(chǔ)知識，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況．依題意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四邊形ABCD的面積為||·||＝××＝5. 9．（xx陜西，5分）已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 則實(shí)數(shù)m等于(　　) A．－ B. C．－或 D．0 解析：選C　本題主要考查向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示．a(chǎn)∥b的充要條件的坐標(biāo)表示為1×2－m2＝0，∴m＝±. 10．（xx山東，4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，則實(shí)數(shù)t的值為________． 解析：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．＝－＝(3,2－t)，由題意知·＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5. 答案：5 11．（xx北京，5分）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 解析：本題考查平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識，意在考查方程思想和考生的運(yùn)算求解能力．設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根據(jù)平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4. 答案：4 12．（xx安徽，5分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(　　) A．(－7，－)　　　　　　　　　 B．(－7，) C．(－4，－2) D．(－4，2) 解析：畫出草圖，可知點(diǎn)Q落在第三象限，則可排除B、D；代入A，cos∠QOP＝＝＝，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠，故答案為A. 答案：A 13．（xx新課標(biāo)全國，5分）a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：由題可知，設(shè)b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，由cos〈a，b〉＝＝. 答案：C 14．（2011北京，5分）已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b與c共線，則k＝____. 解析：因?yàn)閍－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c得×－3k＝0，解得k＝1. 答案：1