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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練25 解答題專項訓練 數(shù)列 文
1.已知各項都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項和為60,且a6為a1和a21的等比中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求數(shù)列的前n項和Tn.
2.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
(1)求a2,a3;
(2)設bn=a2n-2,n∈N*,求證:{bn}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{an}前100
2、項中的所有偶數(shù)項的和S.
3.各項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足=4Sn-2an-1(n∈N*),其中Sn為{an}的前n項和.
(1)求a1,a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)是否存在正整數(shù)m,n,使得向量a=(2an+2,m)與向量b=(-an+5,3+an)垂直?說明理由.
4.(xx四川“聯(lián)測促改”(一))學校餐廳每天供應500名學生用餐,每星
3、期一有A,B兩種菜可供選擇.調(diào)查表明,凡是在這個星期一選A菜的,下個星期一會有改選B菜;而選B菜的,下個星期一會有改選A菜.用an,bn分別表示第n個星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù).
(1)試用an-1(n∈N*,n≥2)表示an,判斷數(shù)列{an-300}是否成等比數(shù)列并說明理由;
(2)若第一個星期一選A菜的有200人,那么第十個星期一選A菜的大約有多少人?
5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+n2-1,數(shù)列{bn}滿足3
4、n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.
(1)求an,bn;
(2)設Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Tn,并求滿足Tn<7時n的最大值.
6.
已知數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)a1,a2,a4,a7,…構成等差數(shù)列{bn},Sn是{bn}的前n項和,且b1=a1=1,S5=15.
(1)若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知a9=16,求a50的值;
(2)設Tn=+…+,求Tn.
5、
7.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=2S2+4,a5=36.
(1)求an,Sn;
(2)設bn=Sn-1(n∈N*),Tn=+…+,求Tn.
8.已知數(shù)列{an}是首項為a1=,公比q=的等比數(shù)列,設bn+2=3loan(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=an·bn.
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤m2+m-
6、1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
答案與解析
專題能力訓練25 解答題專項訓練(數(shù)列)
1.解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
則
解得∴an=2n+3.
(2)由bn+1-bn=an,
∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)·+3=n(n+2).
∴bn=n(n+2)(n∈N*).
∴,
Tn=
=.
2.解:(1)a2=,a3=-.
(2)
7、=.
又∵b1=a2-2=-,
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且bn==-.
(3)由(2)得a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,…,50),
S=a2+a4+…+a100=2×50-
=100-1+=99+.
3.解:(1)當n=1時,=4S1-2a1-1,
即(a1-1)2=0,解得a1=1,
當n=2時,=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2,
解得a2=3或a2=-1(舍去).
(2)由已知=4Sn-2an-1,①
=4Sn+1-2an+1-1,②
②-①得=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an),
即(an+1-an)(an+1+
8、an)=2(an+1+an).
∵數(shù)列{an}各項均為正數(shù),
∴an+1+an>0,∴an+1-an=2.
∴數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,
∴an=2n-1.
(3)∵an=2n-1,
∴a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)≠0,
b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1))≠0.
又a⊥b?a·b=0?m(n+1)-(2n+3)(2n+9)=0?m=4(n+1)+16+.
∵m,n∈N*,∴n+1=7,m=4×7+16+1,即n=6,m=45.
∴當且僅當n=6,m=45時,a⊥b.
4.解:(1)由題意知,對n∈N*有bn=
9、500-an,
所以當n∈N*,且n≥2時,
an=an-1+(500-an-1)?an=an-1+150?an-300=(an-1-300).
故當a1=300時,{an-300}不是等比數(shù)列;
當a1≠300時,{an-300}是以a1-300為首項,為公比的等比數(shù)列.
(2)當a1=200時,an-300=(a1-300)?an=300-?a10=300-≈300,故第十個星期一選A菜的大約有300人.
5.解:(1)當n≥2時,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,
兩式相減,得an=an-an-1+2n-1,
∴an-1=2n-1(n≥2).∴a
10、n=2n+1(n≥2).
∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,
∴bn+1=.
當n≥2時,bn=.
又∵b1=3適合上式,∴bn=.
(2)由(1)知bn=,
∴Tn=+…+,①
Tn=+…+,②
①-②,得Tn=3++…+=3+4×=5-.
∴Tn=.
Tn-Tn+1==-<0,
∴Tn7,
∴當Tn<7時,n的最大值為3.
6.解:(1)∵{bn}為等差數(shù)列,設公差為d,b1=1,S5=15,∴S5=5+10d=15,d=1.
∴bn=1+(n-1)×1=n.
設從第
11、3行起,每行的公比都是q,且q>0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+…+9=45,故a50是數(shù)陣中第10行第5個數(shù),
而a50=b10q4=10×24=160.
(2)∵Sn=1+2+…+n=,
∴Tn=+…++…+=2+…+=2.
7.解:(1)因為S3=2S2+4,
所以a1-d=-4.
又因為a5=36,所以a1+4d=36,
解得d=8,a1=4,an=4+8(n-1)=8n-4,
Sn==4n2.
(2)bn=4n2-1=(2n-1)(2n+1),
所以,
Tn=+…+
=
=.
8.(1)證明:由題意知an=(n∈N*),
∵bn=3
12、loan-2,b1=3loa1-2=1,
∴bn+1-bn=3loan+1-3loan=3lo=3loq=3,
∴數(shù)列{bn}是首項b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.
(2)解:由(1)知,an=,bn=3n-2(n∈N*),
則cn=(3n-2)×(n∈N*),Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,于是Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,兩式相減得Sn=+3-(3n-2)×-(3n+2)×.
∴Sn=(n∈N*).
(3)解:∵cn+1-cn=(3n+1)·-(3n-2)·=9(1-n)·(n∈N*),
∴當n=1時,c2=c1=,當n≥2時,cn+1
2022年高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練25 解答題專項訓練 數(shù)列 文
