高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 9.3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理

高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 9.3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理 考點(diǎn)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1(xx江西,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為(　　) A.π B.π C.(6-2)π D.π 答案　A 2.(xx課標(biāo)Ⅱ,16,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是　　　　.  答案　[-1,1] 3.(xx江蘇,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng)為　　　　.  答案　 4.(xx湖北,12,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=　　　　.  答案　2 5.(xx重慶,13,5分)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=　　　　.  答案　4± 6.(xx江蘇,18,16分)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=. (1)求新橋BC的長(zhǎng); (2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大? 解析　解法一:(1)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 由條件知A(0,60),C(170,0), 直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-. 因?yàn)锳B⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=. 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b), 則kBC==-,kAB==. 解得a=80,b=120. 所以BC==150. 因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m(0≤d≤60). 由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170),即4x+3y-680=0. 由于圓M與直線BC相切,故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,即r==. 因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m, 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大. 所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大. 解法二:(1)如圖,延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F. 因?yàn)閠an∠FCO=, 所以sin∠FCO=,cos∠FCO=. 因?yàn)镺A=60,OC=170, 所以O(shè)F=OCtan∠FCO=,CF==,從而AF=OF-OA=. 因?yàn)镺A⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=. 又因?yàn)锳B⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,從而B(niǎo)C=CF-BF=150. 因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連結(jié)MD, 則MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因?yàn)镺A⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO====,所以r=. 因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m, 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大. 所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.