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1、高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 9.3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理
考點(diǎn) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1(xx江西,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為( )
A.π B.π C.(6-2)π D.π
答案 A
2.(xx課標(biāo)Ⅱ,16,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是 .?
答案 [-1,1]
3.(xx江蘇,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2
2、)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng)為 .?
答案
4.(xx湖北,12,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2= .?
答案 2
5.(xx重慶,13,5分)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a= .?
答案 4±
6.(xx江蘇,18,16分)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓
3、上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?
解析 解法一:(1)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.
由條件知A(0,60),C(170,0),
直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.
因?yàn)锳B⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=.
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),
則kBC==-,kAB==.
解得a=80,b=120.
所以BC==150.
因此新橋BC的長(zhǎng)是150
4、m.
(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m(0≤d≤60).
由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170),即4x+3y-680=0.
由于圓M與直線BC相切,故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,即r==.
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,
所以即
解得10≤d≤35.
故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大.
所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.
解法二:(1)如圖,延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F.
因?yàn)閠an∠FCO=,
所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.
因?yàn)镺A=60,OC=170,
所以O(shè)F=OCtan∠FC
5、O=,CF==,從而AF=OF-OA=.
因?yàn)镺A⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.
又因?yàn)锳B⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,從而BC=CF-BF=150.
因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.
(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連結(jié)MD,
則MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因?yàn)镺A⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,
所以即
解得10≤d≤35.
故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大.
所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.
高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 9.3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理
