高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 文

高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 文 考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義 1.(xx陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為(　　) A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x 答案　A　 2.(xx廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為　　　　　　　.  答案　5x+y+2=0 3.(xx江西,11,5分)若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　.  答案　(e,e) 4.(xx安徽,15,5分)若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件: (i)直線l在點(diǎn)P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C. 下列命題正確的是　　　　(寫出所有正確命題的編號(hào)).  ①直線l:y=0在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C:y=x3 ②直線l:x=-1在點(diǎn)P(-1,0)處“切過(guò)”曲線C:y=(x+1)2 ③直線l:y=x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C:y=sin x ④直線l:y=x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C:y=tan x ⑤直線l:y=x-1在點(diǎn)P(1,0)處“切過(guò)”曲線C:y=ln x 答案?、佗邰? 5.(xx山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+,其中a為常數(shù). (1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線方程; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 解析　(1)由題意知a=0時(shí),f(x)=,x∈(0,+∞), 此時(shí)f '(x)=. 可得f '(1)=,又f(1)=0, 所以曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線方程為x-2y-1=0. (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). f '(x)=+=. 當(dāng)a≥0時(shí),f '(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). ①當(dāng)a=-時(shí),Δ=0, f '(x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ②當(dāng)a<-時(shí),Δ<0,g(x)<0, f '(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ③當(dāng)-<a<0時(shí),Δ>0, 設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn), 則x1=,x2=. 由于x1==>0, 所以x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f '(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 綜上可得: 當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a≤-時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-<a<0時(shí), f(x)在,上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. 6.(xx北京,20,13分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x. (1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值; (2)若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍; (3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論) 解析　(1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3. 令f '(x)=0,得x=-或x=. 因?yàn)閒(-2)=-10, f=, f=-, f(1)=-1, 所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為f=. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(x0,y0), 則y0=2-3x0,且切線斜率為k=6-3, 所以切線方程為y-y0=(6-3)(x-x0), 因此t-y0=(6-3)(1-x0). 整理得4-6+t+3=0. 設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3, 則“過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”. g'(x)=12x2-12x=12x(x-1). g(x)與g'(x)的變化情況如下表: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ 所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值. 當(dāng)g(0)=t+3≤0,即t≤-3時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)g(1)=t+1≥0,即t≥-1時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1時(shí),因?yàn)間(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個(gè)零點(diǎn).由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn). 綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(-3,-1). (3)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切; 過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切; 過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.