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1、高考數學真題分類匯編 3.1 導數的概念及運算 文
考點一 導數的概念及幾何意義
1.(xx陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數圖象的一部分,則該函數的解析式為( )
A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x
C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x
答案 A
2.(xx廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為 .?
答案 5x+y+2=0
3.(xx江西,11,5分)若曲線y=xln x上點P
2、處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標是 .?
答案 (e,e)
4.(xx安徽,15,5分)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:
(i)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在點P附近位于直線l的兩側,則稱直線l在點P處“切過”曲線C.
下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號).?
①直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3
②直線l:x=-1在點P(-1,0)處“切過”曲線C:y=(x+1)2
③直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=sin x
④直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=ta
3、n x
⑤直線l:y=x-1在點P(1,0)處“切過”曲線C:y=ln x
答案?、佗邰?
5.(xx山東,20,13分)設函數f(x)=aln x+,其中a為常數.
(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程;
(2)討論函數f(x)的單調性.
解析 (1)由題意知a=0時,f(x)=,x∈(0,+∞),
此時f '(x)=.
可得f '(1)=,又f(1)=0,
所以曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線方程為x-2y-1=0.
(2)函數f(x)的定義域為(0,+∞).
f '(x)=+=.
當a≥0時,f '(x)>0,函數f(x)
4、在(0,+∞)上單調遞增,
當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).
①當a=-時,Δ=0,
f '(x)=≤0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減.
②當a<-時,Δ<0,g(x)<0,
f '(x)<0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減.
③當-0,
設x1,x2(x10,
所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f '(x)<0,函數f(x)單調遞減,
x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f '(x)>0,函數f(x)
5、單調遞增,
x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f '(x)<0,函數f(x)單調遞減.
綜上可得:
當a≥0時,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
當a≤-時,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
當-
6、(1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.
令f '(x)=0,得x=-或x=.
因為f(-2)=-10, f=, f=-, f(1)=-1,
所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為f=.
(2)設過點P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0,y0),
則y0=2-3x0,且切線斜率為k=6-3,
所以切線方程為y-y0=(6-3)(x-x0),
因此t-y0=(6-3)(1-x0).
整理得4-6+t+3=0.
設g(x)=4x3-6x2+t+3,
則“過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”.
7、g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).
g(x)與g'(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值.
當g(0)=t+3≤0,即t≤-3時,此時g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.
當g(1)=t+1≥0,即t≥-1時,此時g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.
當g(0)>0且g(1)<0,即-30,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個零點.由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調,所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個零點.
綜上可知,當過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).
(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;
過點B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;
過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.
高考數學真題分類匯編 3.1 導數的概念及運算 文
