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1、高考數(shù)學真題分類匯編 8.5 直線、平面垂直的判定和性質(zhì) 文
考點 直線、平面垂直的判定和性質(zhì)
1.(xx浙江,6,5分)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.( )
A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,則m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α
答案 C
2.(xx課標Ⅰ,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)證明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1
2、C1的高.
解析
(1)連結(jié)BC1,則O為B1C與BC1的交點.因為側(cè)面BB1C1C為菱形,所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO,故B1C⊥平面ABO.
由于AB?平面ABO,故B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC,垂足為D,連結(jié)AD.作OH⊥AD,垂足為H.
由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以O(shè)H⊥BC.
又OH⊥AD,所以O(shè)H⊥平面ABC.
因為∠CBB1=60°,所以△CBB1為等邊三角形,又BC=1,可得OD=.
由于AC⊥AB1,所以O(shè)A=B1C=.
由OH·AD=OD·OA,且AD==,
得OH=.
又O
3、為B1C的中點,所以點B1到平面ABC的距離為.
故三棱柱ABC-A1B1C1的高為.
3.(xx遼寧,19,12分)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分別為AC,DC,AD的中點.
(1)求證:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱錐D-BCG的體積.
附:錐體的體積公式V=Sh,其中S為底面面積,h為高.
解析 (1)證明:由已知得△ABC≌△DBC.
因此AC=DC.
又G為AD的中點,所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面
4、ABC內(nèi),作AO⊥CB,交CB延長線于O,
由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.
又G為AD中點,因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半.
在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,所以VD-BCG=VG-BCD=·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.
4.(xx重慶,20,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面是以O(shè)為中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M為BC上一點,且BM=.
(1)證明:BC⊥平面POM;
(2)若MP⊥AP,求四棱錐P-ABMO的體積.
解析 (1)證明:如圖,連結(jié)OB,因為ABCD為菱形,O為菱形
5、的中心,所以AO⊥OB.
因為∠BAD=,所以O(shè)B=AB·sin∠OAB=2sin=1,
又因為BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.
所以O(shè)B2=OM2+BM2,故OM⊥BM.
又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.
從而BC與平面POM內(nèi)兩條相交直線OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.
(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.
設(shè)PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA為直角三角形,
故PA2=PO2+OA2=a2+3.
又△POM也是直角三角形,故PM2=
6、PO2+OM2=a2+.
連結(jié)AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.
由于MP⊥AP,故△APM為直角三角形,則PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.
此時S四邊形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.
所以VP-ABMO=·S四邊形ABMO·PO=××=.
5.(xx湖北,20,13分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證:
(1)直線BC1
7、∥平面EFPQ;
(2)直線AC1⊥平面PQMN.
證明 (1)連結(jié)AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1∥BC1,
因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FP∥AD1.
從而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,
故直線BC1∥平面EFPQ.
(2)如圖,連結(jié)AC,BD,則AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.
而AC1?平面ACC1,所以BD⊥AC1.
因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點,所以MN∥BD,從而MN⊥AC1.
同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直線AC1⊥平面PQMN.
高考數(shù)學真題分類匯編 8.5 直線、平面垂直的判定和性質(zhì) 文
