2022-2023學年高中數學 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關系 1.1.1 四種命題講義（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學年高中數學 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關系 1.1.1 四種命題講義（含解析）蘇教版選修2-1 命題的概念 (1)這幅畫真漂亮！ (2)求證是無理數； (3)菱形是平行四邊形嗎？ (4)等腰三角形的兩底角相等； (5)x>2 012； (6)若x2＝2 0122，則x＝2 012. 問題：在這些語句中哪些能判斷出真假，哪些不能判斷出真假． 提示：(1)(2)(3)(5)不能判斷真假；(4)(6)能判斷真假． 1．能夠判斷真假的語句叫做命題． 2．命題 四種命題及其關系 觀察下列四個命題： (1)若兩個

2、三角形全等，則這兩個三角形相似； (2)若兩個三角形相似，則這兩個三角形全等； (3)若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不相似； (4)若兩個三角形不相似，則這兩個三角形不全等． 問題：命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件和結論之間分別有什么關系？ 提示：命題(1)的條件是命題(2)的結論，且命題(1)的結論是命題(2)的條件． 對于命題(1)和(3)．其中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定； 對于命題(1)和(4)．其中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定． 1．四種命題的概念 (1)如果一個命題的條件和結論是另

3、一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題． (2)如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題． (3)如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題． 2．命題的四種形式 原命題：若p，則q；逆命題：若q，則p； 否命題：若非p，則非q；逆否命題：若非q，則非p. 3．四種命題之間的關系 四種命題真假之間的關系 觀察下列命題，回答后面的問題： (1)如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等； (2)如果兩個三角形的面積相等，那么它們全等； (3)如

4、果兩個三角形不全等，那么它們的面積不相等； (4)如果兩個三角形面積不相等，那么它們不全等． 問題1：若把命題(1)看作原命題，這四個命題之間有什么關系？ 提示：(1)與(2)、(3)與(4)為互逆關系；(1)與(3)、(2)與(4)為互否關系；(1)與(4)、(2)與(3)為互為逆否關系． 問題2：判斷四個命題的真假． 提示：命題(1)(4)是真命題；命題(2)(3)是假命題． 1．四種命題的真假性 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 2．四種命題的真假性之間的關系

5、 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性． (2)兩個命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關系． 1．原命題是相對其他三種命題而言的．事實上，可以把任意一個命題看成原命題，來研究它的其他形式的命題． 2．當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，大前提仍作大前提． 3．若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性，即它們同真同假．所以，當一個命題的真假不易判斷時，可以通過對其逆否命題的真假的判斷來判斷原命題的真假． 命題的概念及其判斷 [例1]　判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假： (1)是無限循環(huán)小數； (2)x2－3

6、x＋2＝0； (3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？ (4)一個等比數列的公比大于1時，該數列為遞增數列； (5)當x＝4時，2x＋1>0； (6)把門關上． [思路點撥]　首先判斷是不是命題，如果是，然后再判斷它是真命題還是假命題． [精解詳析]　(1)能判斷真假，是命題，是假命題． (2)不是命題，因為語句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，無法判斷語句的真假(這種語句叫“開語句”)． (3)不能判斷真假，不是命題． (4)是命題，當等比數列的首項a1<0，公比q>1時，該數列是遞減數列，因此是一個假命題． (5)能判斷真假，是命題，是真命題． (6)因為沒有作出判

7、斷，所以不是命題． [一點通]　 1．判斷一個語句是不是命題，關鍵是看能不能判斷真假． 2．判定一個命題是真命題時，一般需要經過嚴格的推理論證，論證要有推理依據，有時應綜合各種情況作出正確的判斷；而判定一個命題為假命題時，只需舉出一個反例即可． 1．下列語句： (1)2＋2 是有理數； (2)1＋1>2； (3)2100是個大數； (4)968能被11整除； (5)非典型性肺炎是怎樣傳播的？ 其中是命題的是________． 解析：(1)能判斷真假，是命題，是假命題； (2)能判斷真假，是命題，是假命題； (3)不能判斷真假，不是命題； (4)是命題，是真命題；

8、 (5)不能判斷真假，不是命題． 答案：(1)、(2)、(4) 2．判斷下列命題的真假： (1)函數y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π； (2)斜率相等的兩條直線平行； (3)不等式|3x－2|>4的解集是(－∞，－)∪(2，＋∞)； (4)平行于同一平面的兩條直線平行． 解：(1)y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，顯然其最小正周期為π，故(1)為真命題． (2)斜率相等的兩條直線有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命題． (3)由|3x－2|>4得，3x－2>4或3x－2<－4， ∴x>2或x<－， ∴|3x－2|>4的解集

9、是(－∞，－)∪(2，＋∞)． 故(3)為真命題． (4)平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故(4)為假命題. 四種命題及其真假判斷 [例2]　分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假： (1)若實數a，b，c成等比數列，則b2＝ac； (2)函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數時，loga2<0. [思路點撥]　先分清所給命題的條件和結論，再按要求寫出逆命題、否命題和逆否命題，并做出真假判斷． [精解詳析]　 (1)原命題可以寫成：若實數a，b，c成等比數列，則b2＝ac，為真命題． 逆命題：若實數a

10、，b，c滿足b2＝ac，則a，b，c成等比數列，為假命題． 否命題：若實數a，b，c不成等比數列，則b2≠ac，為假命題． 逆否命題：若實數a，b，c，滿足b2≠ac，則a，b，c不成等比數列，為真命題． (2)原命題可以寫成：若函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數，則loga2<0，為真命題． 逆命題：若loga2<0，則函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數，為真命題． 否命題：若函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是減函數，則loga2≥0，為真命題． 逆否命題：若loga2≥0，則函數y＝logax(a>0且a

11、≠1)在(0，＋∞)上不是減函數，為真命題． [一點通]　 1．四種命題進行轉化時應首先找出原命題的條件和結論，然后利用四種命題的概念直接轉化即可． 2．對于命題的真假判斷，當直接判斷有難度時，可以通過判斷它的逆否命題的真假來判斷． 3．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假： (1)等腰三角形的兩個底角相等； (2)當x＝2或x＝4時，x2－6x＋8＝0； (3)已知x、y為正整數，當y＝x＋1時，y＝3，x＝2. 解：(1)原命題可改寫成：若一個三角形是等腰三角形，則兩個底角相等，真命題． (2)原命題可改寫成：若x＝2或x＝4，則x2－6x＋8＝0，

12、真命題． (3)原命題可改寫成：已知x、y為正整數，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2.假命題． 4．寫出下列原命題的其他三種命題，并分別判斷其真假： (1)在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B； (2)正偶數不是質數； (3)若x∈A則x∈(A∪B)． 解：(1)原命題：在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B，真命題； 逆命題：在△ABC中，若∠A>∠B，則a>b，真命題； 否命題：在△ABC中，若a≤b，則∠A≤∠B，真命題； 逆否命題：在△ABC中，若∠A≤∠B，則a≤b，真命題． (2)原命題：若一個數是正偶數，則它一定不是質數，假命題，例如2； 逆命題：若一個數不是質

13、數，則它一定是正偶數，假命題，例如9； 否命題：若一個數不是正偶數，則它一定是質數，假命題，例如9； 逆否命題：若一個數是質數，則它一定不是正偶數，假命題，例如2. (3)原命題：若x∈A，則x∈(A∪B)，真命題； 逆命題：若x∈(A∪B)，則x∈A，假命題； 否命題：若x?A，則x?(A∪B)，假命題； 逆否命題：若x?(A∪B)，則x?A，真命題. 四種命題的綜合應用 　　 [例3]　證明：已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. [思路點撥]　根據原命題與逆否命題的等價性，先證逆否命

14、題即可． [精解詳析]　法一：原命題的逆否命題為“已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)

15、＋f(－b)． 這與已知條件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假設不成立，故a＋b≥0. [一點通] 由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題． 5．已知c>0，設p：函數y＝cx在R上單調遞減，q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R，如果p和q有且僅有一個正確，求c的取值范圍． 解：函數y＝cx在R上單調遞減?01的解集為R?函數y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. ∵x＋|x－2c|

16、＝ ∴函數y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c. ∴不等式x＋|x－2c|>1的解集為R?2c>1?c>. 記Q＝. 如果p正確，且q不正確， 借助數軸得0

17、“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題． 由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結論正確． 1．寫四種命題時，可以按下列步驟進行： (1)找出原命題的條件p和結論q； (2)寫出條件p的否定非p和結論q的否定非q； (3)按照四種命題的概念寫出所有命題． 2．判斷命題的真假時，可以根據互為逆否的命題的真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎． [對應課時跟蹤訓練(一)]　 1．給出下列語句：①空集是任何集合的真子集；②三角函數是周期函數嗎？③一個數不是正數就是負數；④老師寫的粉筆字真漂亮?、萑魓∈R，則x2＋4x＋5>0.其中為命題的序

18、號是________，為真命題的序號是________． 解析：①是命題，且是假命題，因為空集是任何非空集合的真子集；②該語句是疑問句，不是命題；③是命題，且是假命題，因為數0既不是正數，也不是負數；④該語句是感嘆句，不是命題；⑤是命題，因為x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命題． 答案：①③⑤?、? 2．設a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是________________________． 答案：若|a|＝|b|，則a＝－b 3．命題“對于正數a，若a>1，則lg a>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四個命題中真命題的個數為________

19、． 解析：逆命題：對于正數a，若lg a>0，則a>1. 否命題：對于正數a，若a≤1，則lg a≤0. 逆否命題：對于正數a，若lg a≤0，則a≤1. 根據對數的性質可知都是真命題． 答案：4 4．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是________． 解析：將條件與結論分別否定，再交換即可． 答案：若tan α≠1，則α≠ 5．給出下列命題：①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題；②“若{an}既是等差數列，又是等比數列，則an＝an＋1(n∈N*)”的逆命題；③“若m>1，則不等式x2＋2x＋m>0的解集為R”的逆否命題． 其中所有真命題的序號是_

20、_______． 解析：①的否命題為“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”是真命題；②的逆命題為“數列{an}中，若an＝an＋1(n∈N*)，則數列{an}既是等差數列，又是等比數列”是假命題，如0,0,0……；對于③當m>1時，Δ＝4－4m<0恒成立，x2＋2x＋m>0的解集為R是真命題．因此逆否命題是真命題． 答案：①③ 6．把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假． (1)奇函數的圖像關于原點對稱； (2)當x2－2x－3＝0時，x＝－3或x＝1； (3)a<0時，函數y＝ax＋b的值隨x值的增大而增大． 解：(1)若一個函數是奇函數，則它的圖像關于原點對稱，是真命題

21、． (2)若x2－2x－3＝0，則x＝－3或x＝1，是假命題． (3)若a<0，則函數y＝ax＋b的值隨著x值的增大而增大，是假命題． 7．證明：若m2＋n2＝2，則m＋n≤2. 證明：將“若m2＋n2＝2，則m＋n≤2”視為原命題，則它的逆否命題為“若m＋n>2，則m2＋n2≠2”． 由于m＋n>2，則m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2， 所以m2＋n2≠2. 故原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題． 8．判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內接四邊形； (2)若在二次函數y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該函數圖像與x軸有交點． 解：(1)該命題為真． 逆命題：若四邊形是圓的內接四邊形，則四邊形的對角互補，為真． 否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內接四邊形，為真． 逆否命題：若四邊形不是圓的內接四邊形，則四邊形的對角不互補，為真． (2)該命題為假． 逆命題：若二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有交點，則b2－4ac<0，為假． 否命題：若二次函數y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，則函數圖像與x軸無交點，為假． 逆否命題：若二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸無交點，則b2－4ac≥0，為假．