（通用版）2020高考數學一輪復習 2.7 對數與對數函數講義 理

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1、第七節(jié)對數與對數函數 1．對數 概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數，logaN叫做對數式．其中常用對數：log10N?lg N；自然對數：logeN?ln N 性質 對數式與指數式的互化：ax＝N?x＝logaN? loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N 運算 loga(M·N)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 換底公式 換底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞

2、0，且c≠1，b＞0) 2．對數函數的圖象與性質 函數 y＝logax(a＞0，且a≠1) a＞1 0＜a＜1 圖象特征 在y軸右側，過定點(1,0) 當x逐漸增大時，圖象是上升的 當x逐漸增大時，圖象是下降的 性質 定義域 (0，＋∞) 值域 R 單調性 在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數 函數值變 化規(guī)律 當x＝1時，y＝0 當x＞1時，y＞0； 當0＜x＜1時，y＜0 當x＞1時，y＜0； 當0＜x＜1時，y＞0 謹記運算法則有關口訣 積的對數變加法；商的對數變減法；冪的乘方取對數，要把指數提到前.

3、 ①對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，，函數圖象只在第一、四象限． ②在直線x＝1的右側，當a＞1時，底數越大，圖象越靠近x軸；當0＜a＜1時，底數越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”． ③函數y＝logax與y＝logx的圖象關于x軸對稱. [熟記常用結論] 1．換底公式的兩個重要結論 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R. 2．對數函數的圖象與底數大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們

4、可得到以下規(guī)律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大． [小題查驗基礎] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)函數y＝log2(x＋1)是對數函數．(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)當x＞1時，logax＞0.(　　) (4)若MN＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (5)對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 二、選填題 1．函數y＝lg|x|(　　) A．是偶函數，在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增 B．是偶函數，在區(qū)間

5、(－∞，0)上單調遞減 C．是奇函數，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減 D．是奇函數，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增 解析：選B　y＝lg|x|是偶函數，由圖象知在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增． 2．已知a＞0，a≠1，函數y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是(　　) 解析：選B　函數y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關于y軸對稱，符合條件的只有B. 3．函數y＝的定義域為______． 解析：要使函數有意義，須滿足 解得＜x≤1. 答案： 4．函數y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過的定點是________． 解

6、析：當x＝2時，函數y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值為2，所以圖象恒過定點(2,2)． 答案：(2,2) 5．計算：log23·log34＋()log34＝________. 解析：log23·log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4. 答案：4 [題組練透] 1．設loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為________． 解析：由已知得a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12. 答案：12 2．已知log189＝a,18b＝5，則log3645＝________(用關于a，b的

7、式子表示)． 解析：因為18b＝5，所以log185＝b，又log189＝a，于是log3645＝＝＝＝. 答案： 3．計算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)； (3)(log32＋log92)·(log43＋log83)． 解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝ ＝＝－. (3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83

8、＝·＋·＋·＋· ＝＋＋＋＝. [名師微點] 對數運算的一般思路 (1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡； (2)將同底對數的和、差、倍合并； (3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用； (4)利用常用對數中的lg 2＋lg 5＝1. [典例精析] [例1]　(2019·合肥質檢)函數y＝ln(2－|x|)的大致圖象為(　　) [解析]　令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數f(x)的定義域為{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函數f(x)為偶函數，排除選

9、項C、D.由對數函數的單調性及函數y＝2－|x|的單調性知A正確． [答案]　A [例2]　當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　　　B. C．(1，) D．(，2) [解析]　易知0＜a＜1，函數y＝4x與y＝logax的大致圖象如圖，則由題意可知只需滿足loga＞4， 解得a＞，∴＜a＜1，故選B. [答案]　B 　　 1．(變條件)將例2中“4x＜logax”變?yōu)椤?x＝logax有解”，a的取值范圍為__________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，則函數y＝4x與函數y＝logax的圖象在上有交點． 由圖象可知

10、解得0＜a≤，即a的取值范圍為. 答案： 2．(變條件)若例2變?yōu)椋阂阎坏仁絰2－logax＜0對x∈恒成立，則實數a的取值范圍為__________． 解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，設f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可． 當a＞1時，顯然不成立； 當0＜a＜1時，如圖所示， 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1. 即實數a的取值范圍是. 答案： 3．(變條件)若例2變?yōu)椋寒?

11、＜x≤時，＜logax，則實數a的取值范圍為________． 解析：若＜logax在x∈上恒成立，則0＜a＜1，且y＝的圖象在y＝logax圖象的下方，如圖所示， 由圖象知 ＜loga， 所以解得＜a＜1. 即實數a的取值范圍是. 答案： [解題技法] (1)識別對數函數圖象時，要注意底數a以1為分界：當a＞1時，是增函數；當0＜a＜1時，是減函數．注意對數函數圖象恒過定點(1,0)，且以y軸為漸近線． (2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解． [過關訓練] 1．若函數y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函

12、數y＝loga|x|的圖象大致是(　　) 解析：選B　若函數y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則a＞1，故函數y＝loga|x|的圖象大致如圖所示．故選B. 2．設方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 解析：選D　作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖象，如圖． 顯然x1＜0，x2＜0. 不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0， 所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)， 此時10x1＜10x2， 即lg(－x1)

13、＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0， 所以0＜x1x2＜1，故選D. [考法全析] 考法(一)　比較對數值的大小 [例1]　設a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a [解析]　因為a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c. [答案]　A 考法(二)　解簡單的對數不等式 [例2]　設函數f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實數a的取值范圍是(　　)

14、 A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [解析]　由題意得 或 解得a＞1或－1＜a＜0.故選C. [答案]　C 考法(三)　對數函數的綜合應用 [例3]　若函數f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內單調遞增，則實數m的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5. 二次函數y＝－x2＋4x＋5的對稱軸為x＝2.由復合函數單調性可得函數f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的單調遞增區(qū)間為(2

15、,5)．要使函數f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內單調遞增，只需 解得≤m＜2. [答案]　C [規(guī)律探求] 看個性 考法(一)是利用對數函數的單調性比較對數值的大?。Ｓ幸韵骂}型及求法： 考法(二)是直接考查對數函數的單調性，解決此類問題時應注意兩點：(1)真數大于0；(2)底數a的值． 考法(三)考查與對數函數有關的復合函數的單調性，解決此類問題有以下三個步驟： (1)求出函數的定義域； (2)判斷對數函數的底數與1的大小關系，當底數是含字母的代數式(包含單獨一個字母)時，若涉及其單調性，就必須對底數進行分類討論； (3)判斷內層

16、函數和外層函數的單調性，運用復合函數“同增異減”原則判斷函數的單調性 找共性 無論題型如何變化，都是圍繞對數函數的單調性，變換不同的角度來應用．考法(一)與考法(二)是對數函數單調性的直接應用，利用單調性來比較大小、解不等式；考法(三)是對數函數單調性的遷移應用，根據單調性來求參數的范圍，所以弄清對數函數的單調性是解題的關鍵，并注意有時需對底數字母參數進行討論 [過關訓練] 1．設a，b，c均為正數，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：選A　∵a＞0，∴2a

17、＞1，∴l(xiāng)oga＞1，∴0＜a＜. ∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1. ∵c＞0，∴c＞0，∴l(xiāng)og2c＞0，∴c＞1. ∴0＜a＜＜b＜1＜c，故選A. 2．(2018·全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0 C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b 解析：選B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝

18、0， ∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0. 3．若函數f(x)＝loga(x2－2x＋a)(a＞0，且a≠1)有最小值，則實數a的值等于________． 解析：令g(x)＝x2－2x＋a，則f(x)＝loga[g(x)]． ①若a＞1，由于函數f(x)有最小值， 則g(x)應有最小值 ， 而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6， 當x＝時，取最小值a－6， 因此有解得a＝9. ②若0＜a＜1，由于函數f(x)有最小值， 則g(x)應有最大值， 而g(x)不存在最大值，不符合題意．綜上，實數a＝9. 答案：9 4．(2019·西安模擬)已知函數f(x)＝loga(

19、8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數a的取值范圍為________． 解析：當a＞1時，f(x)＞1等價于8－ax＞a在[1,2]上恒成立． 即a＜min＝，∴1＜a＜. 當0＜a＜1時，f(x)＞1等價于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min. 解得a＞4且a＜4，故不存在． 綜上可知，a的取值范圍為. 答案： 一、題點全面練 1．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反

20、函數，且f(2)＝1，則f(x)＝(　　) A．log2x　　　　　　　　　 B. C．logx D．2x－2 解析：選A　由題意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)， ∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 2．如果logx＜logy＜0，那么(　　) A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 解析：選D　∵logx＜logy＜log1，∴x＞y＞1. 3．(2019·新鄉(xiāng)一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＞b＞c

21、 B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解析：選D　由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，故c＝24＝16.∴b＞c＞a.故選D. 4．(2019·鄭州模擬)設a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，則a，b，c的大小關系是(　　) A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c 解析：選B　a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0

22、.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故選B. 5．(2019·長春模擬)已知對數函數f(x)＝logax是增函數，則函數f(|x|＋1)的圖象大致是(　　) 解析：選B　由函數f(x)＝logax是增函數知，a＞1.f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝由對數函數圖象知選B. 6．(2018·肇慶二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則(　　) A．f(x)是奇函數，且在(0,10)上是增函數 B．f(x)是偶函數，且在(0,10)上是增函數 C．f(x)

23、是奇函數，且在(0,10)上是減函數 D．f(x)是偶函數，且在(0,10)上是減函數 解析：選D　由得x∈(－10,10)，故函數f(x)的定義域為(－10,10)，關于原點對稱．由于f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函數f(x)為偶函數．而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上遞減，y＝lg x在(0,10)上遞增，故函數f(x)在(0,10)上遞減． 7．(2018·鄭州月考)已知2x＝72y＝A，且＋＝2，則A的值是________． 解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A

24、，則＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98. 又A＞0，故A＝＝7. 答案：7 8．已知函數f(x)＝|log 3x|，實數m，n滿足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則＝________. 解析：因為f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得則所以0＜m2＜m＜1，則f(x)在[m2,1)上單調遞減，在(1，n]上單調遞增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，則f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，則

25、n＝3，所以＝9. 答案：9 9．已知f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)． (1)求函數f(x)的解析式； (2)若－1＜f(1)＜1，求實數a的取值范圍． 解：(1)當x＜0時，－x＞0， 由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定義在R上的偶函數，∴f(－x)＝f(x)． ∴當x＜0時，f(x)＝loga(－x＋1)， ∴函數f(x)的解析式為f(x)＝ (2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1， ∴l(xiāng)oga＜loga2＜logaa. ①當a＞1時，原不等式等價于解得a＞2； ②當

26、0＜a＜1時，原不等式等價于 解得0＜a＜. 綜上，實數a的取值范圍為∪(2，＋∞)． 10．已知函數f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)． (1)當x∈[0,2]時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由． 解：(1)∵a＞0且a≠1，設t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數，當x∈[0,2]時，t(x)的最小值為3－2a， ∵當x∈[0,2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時，3－ax＞0恒成立． ∴3－2

27、a＞0，∴a＜. 又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜， ∴實數a的取值范圍為(0,1)∪. (2)由(1)知函數t(x)＝3－ax為減函數． ∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數， ∴y＝logat在[1,2]上為增函數，∴a＞1， 當x∈[1,2]時，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴即 故不存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數，并且最大值為1. 二、專項培優(yōu)練 (一)易錯專練——不丟怨枉分 1．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍為(　　) A

28、．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：選A　令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，其圖象的對稱軸為x＝a，要使函數f(x)在(－∞，1]上單調遞減，則即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)，故選A. 2．(2019·湛江模擬)已知loga＜1，那么a的取值范圍是________． 解析：∵loga＜1＝logaa，故當0＜a＜1時，y＝logax為減函數，0＜a＜；當a＞1時，y＝logax為增函數，a＞，∴a＞1.綜上所述，a的取值范圍是∪(1，＋∞)． 答案：∪(1，＋∞) 3．函數f(x)＝log (x2－4)的單

29、調遞增區(qū)間為________． 解析：設t＝x2－4，因為y＝logt在定義域上是減函數，所以求原函數的單調遞增區(qū)間，即求函數t＝x2－4的單調遞減區(qū)間，結合函數的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2) (二)交匯專練——融會巧遷移 4．[與指數函數、冪函數的交匯]已知x1＝log2，x2＝2，x3滿足x3＝log3x3，則x1，x2，x3的大小關系是(　　) A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2 解析：選A　由題意可知x3是函數y＝x與y＝log3x的圖象交點的橫坐標，在同一直角坐標系中畫出

30、函數y＝x與y＝log3x的圖象，如圖所示，由圖象可知x3＞1，而x1＝log2＜0,0＜x2＝2＜1，所以x3＞x2＞x1.故選A. 5．[與數列的交匯]已知數列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________. 解析：∵log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)， ∴l(xiāng)og2an＋1－log2an＝1，即log2＝1，∴＝2. ∴數列{an}是公比q＝2的等比數列， 則a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋a3＋…＋a10)q100＝2100， ∴l(xiāng)og

31、2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100. 答案：100 (三)素養(yǎng)專練——學會更學通 6．[邏輯推理]設x，y，z為正實數，且log2x＝log3y＝log5z＞0，則，，的大小關系不可能是(　　) A.＜＜ B.＝＝ C.＜＜ D.＜＜ 解析：選D　設log2x＝log3y＝log5z＝k＞0， 可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1. ∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1. ①若0＜k＜1，則函數f(x)＝xk－1單調遞減， ∴＞＞； ②若k＝1，則函數f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝； ③若k＞1，則函數f(x)＝xk－1單調

32、遞增， ∴＜＜. ∴，，的大小關系不可能是D. 7．[直觀想象]已知點A(1,0)，點B在曲線G：y＝ln x上，若線段AB與曲線M：y＝相交且交點恰為線段AB的中點，則稱B為曲線G關于曲線M的一個關聯(lián)點．那么曲線G關于曲線M的關聯(lián)點的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選B　設B(x0，ln x0)，x0＞0，線段AB的中點為C，則C，又點C在曲線M上，故＝，即ln x0＝.此方程根的個數可以看作函數y＝ln x與y＝的圖象的交點個數．畫出圖象(如圖)，可知兩個函數的圖象只有1個交點．故選B. 8．[邏輯推理]若方程2log2x－log2(x－1)＝m＋1有兩個不同的解，則實數m的取值范圍是________． 解析：由題意知即x＞1，方程化簡為log2＝m＋1，故＝2m＋1，即x2－2m＋1x＋2m＋1＝0，當x＞1時，此方程有兩個不同的解，所以得m＞1. 答案：(1，＋∞) 17