(通用版)2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義 理
第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
1.對(duì)數(shù)
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),logaN叫做對(duì)數(shù)式.其中常用對(duì)數(shù):log10N?lg N;自然對(duì)數(shù):logeN?ln N
性質(zhì)
對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?x=logaN?
loga1=0,logaa=1,alogaN=N
運(yùn)算
loga(M·N)=logaM+logaN
a>0,且a≠1,M>0,N>0
loga=logaM-logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
換底公式
換底公式:logab=(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
圖象特征
在y軸右側(cè),過定點(diǎn)(1,0)
當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象是上升的
當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象是下降的
性質(zhì)
定義域
(0,+∞)
值域
R
單調(diào)性
在(0,+∞)上是增函數(shù)
在(0,+∞)上是減函數(shù)
函數(shù)值變
化規(guī)律
當(dāng)x=1時(shí),y=0
當(dāng)x>1時(shí),y>0;
當(dāng)0<x<1時(shí),y<0
當(dāng)x>1時(shí),y<0;
當(dāng)0<x<1時(shí),y>0
謹(jǐn)記運(yùn)算法則有關(guān)口訣
積的對(duì)數(shù)變加法;商的對(duì)數(shù)變減法;冪的乘方取對(duì)數(shù),要把指數(shù)提到前.
①對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1,0),且過點(diǎn)(a,1),,函數(shù)圖象只在第一、四象限.
②在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時(shí),底數(shù)越大,圖象越靠近x軸;當(dāng)0<a<1時(shí),底數(shù)越小,圖象越靠近x軸,即“底大圖低”.
③函數(shù)y=logax與y=logx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.
[熟記常用結(jié)論]
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)logab=;(2)logambn=logab.
其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m≠0,n∈R.
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖,作直線y=1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)
(1)函數(shù)y=log2(x+1)是對(duì)數(shù)函數(shù).( )
(2)log2x2=2log2x.( )
(3)當(dāng)x>1時(shí),logax>0.( )
(4)若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN.( )
(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函數(shù).( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
二、選填題
1.函數(shù)y=lg|x|( )
A.是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增
B.是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減
C.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減
D.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增
解析:選B y=lg|x|是偶函數(shù),由圖象知在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
2.已知a>0,a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是( )
解析:選B 函數(shù)y=loga(-x)的圖象與y=logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,符合條件的只有B.
3.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_____.
解析:要使函數(shù)有意義,須滿足
解得<x≤1.
答案:
4.函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過的定點(diǎn)是________.
解析:當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的值為2,所以圖象恒過定點(diǎn)(2,2).
答案:(2,2)
5.計(jì)算:log23·log34+()log34=________.
解析:log23·log34+()=·+3=2+3log32=2+2=4.
答案:4
[題組練透]
1.設(shè)loga2=m,loga3=n,則a2m+n的值為________.
解析:由已知得a2m+n=a2loga2+loga3=aloga4+loga3=aloga12=12.
答案:12
2.已知log189=a,18b=5,則log3645=________(用關(guān)于a,b的式子表示).
解析:因?yàn)?8b=5,所以log185=b,又log189=a,于是log3645====.
答案:
3.計(jì)算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;
(2);
(3)(log32+log92)·(log43+log83).
解:(1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52
=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5
=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.
(2)原式=
==-.
(3)原式=log32·log43+log32·log83+log92·log43+log92·log83
=·+·+·+·
=+++=.
[名師微點(diǎn)]
對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路
(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn);
(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并;
(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式,要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用;
(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg 2+lg 5=1.
[典例精析]
[例1] (2019·合肥質(zhì)檢)函數(shù)y=ln(2-|x|)的大致圖象為( )
[解析] 令f(x)=ln(2-|x|),易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|-2<x<2},且f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除選項(xiàng)C、D.由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)y=2-|x|的單調(diào)性知A正確.
[答案] A
[例2] 當(dāng)0<x≤時(shí),4x<logax,則a的取值范圍是( )
A. B.
C.(1,) D.(,2)
[解析] 易知0<a<1,函數(shù)y=4x與y=logax的大致圖象如圖,則由題意可知只需滿足loga>4,
解得a>,∴<a<1,故選B.
[答案] B
1.(變條件)將例2中“4x<logax”變?yōu)椤?x=logax有解”,a的取值范圍為__________.
解析:若方程4x=logax在上有解,則函數(shù)y=4x與函數(shù)y=logax的圖象在上有交點(diǎn).
由圖象可知解得0<a≤,即a的取值范圍為.
答案:
2.(變條件)若例2變?yōu)椋阂阎坏仁絰2-logax<0對(duì)x∈恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.
解析:由x2-logax<0得x2<logax,設(shè)f1(x)=x2,f2(x)=logax,要使x∈時(shí),不等式x2<logax恒成立,只需f1(x)=x2在上的圖象在f2(x)=logax圖象的下方即可.
當(dāng)a>1時(shí),顯然不成立;
當(dāng)0<a<1時(shí),如圖所示,
要使x2<logax在x∈上恒成立,需f1≤f2,
所以有2≤loga,解得a≥,所以≤a<1.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
答案:
3.(變條件)若例2變?yōu)椋寒?dāng)0<x≤時(shí),<logax,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
解析:若<logax在x∈上恒成立,則0<a<1,且y=的圖象在y=logax圖象的下方,如圖所示,
由圖象知 <loga,
所以解得<a<1.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
答案:
[解題技法]
(1)識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí),要注意底數(shù)a以1為分界:當(dāng)a>1時(shí),是增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),是減函數(shù).注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0),且以y軸為漸近線.
(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.若函數(shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1},則函數(shù)y=loga|x|的圖象大致是( )
解析:選B 若函數(shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1},則a>1,故函數(shù)y=loga|x|的圖象大致如圖所示.故選B.
2.設(shè)方程10x=|lg(-x)|的兩個(gè)根分別為x1,x2,則( )
A.x1x2<0 B.x1x2=0
C.x1x2>1 D.0<x1x2<1
解析:選D 作出y=10x與y=|lg(-x)|的大致圖象,如圖.
顯然x1<0,x2<0.
不妨令x1<x2,則x1<-1<x2<0,
所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),
此時(shí)10x1<10x2,
即lg(-x1)<-lg(-x2),
由此得lg(x1x2)<0,
所以0<x1x2<1,故選D.
[考法全析]
考法(一) 比較對(duì)數(shù)值的大小
[例1] 設(shè)a=log3π,b=log2,c=log3,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
[解析] 因?yàn)閍=log3π>log33=1,b=log2<log22=1,所以a>b;又==(log23)2>1,c>0,所以b>c.故a>b>c.
[答案] A
考法(二) 解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式
[例2] 設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
[解析] 由題意得
或
解得a>1或-1<a<0.故選C.
[答案] C
考法(三) 對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
[例3] 若函數(shù)f(x)=log (-x2+4x+5)在區(qū)間(3m-2,m+2)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.
二次函數(shù)y=-x2+4x+5的對(duì)稱軸為x=2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)=log (-x2+4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5).要使函數(shù)f(x)=log (-x2+4x+5)在區(qū)間(3m-2,m+2)內(nèi)單調(diào)遞增,只需
解得≤m<2.
[答案] C
[規(guī)律探求]
看個(gè)性
考法(一)是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小.常有以下題型及求法:
考法(二)是直接考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,解決此類問題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)真數(shù)大于0;(2)底數(shù)a的值.
考法(三)考查與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,解決此類問題有以下三個(gè)步驟:
(1)求出函數(shù)的定義域;
(2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系,當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí),若涉及其單調(diào)性,就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論;
(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性
找共性
無論題型如何變化,都是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,變換不同的角度來應(yīng)用.考法(一)與考法(二)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用,利用單調(diào)性來比較大小、解不等式;考法(三)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性來求參數(shù)的范圍,所以弄清對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,并注意有時(shí)需對(duì)底數(shù)字母參數(shù)進(jìn)行討論
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且2a=loga,b=logb,c=log2c,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
解析:選A ∵a>0,∴2a>1,∴l(xiāng)oga>1,∴0<a<.
∵b>0,∴0<b<1,∴0<logb<1,∴<b<1.
∵c>0,∴c>0,∴l(xiāng)og2c>0,∴c>1.
∴0<a<<b<1<c,故選A.
2.(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )
A.a(chǎn)+b<ab<0 B.a(chǎn)b<a+b<0
C.a(chǎn)+b<0<ab D.a(chǎn)b<0<a+b
解析:選B ∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,∴ab<0.∵=+=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,∴1=log0.30.3>log0.30.4>log0.31=0,
∴0<<1,∴ab<a+b<0.
3.若函數(shù)f(x)=loga(x2-2x+a)(a>0,且a≠1)有最小值,則實(shí)數(shù)a的值等于________.
解析:令g(x)=x2-2x+a,則f(x)=loga[g(x)].
①若a>1,由于函數(shù)f(x)有最小值,
則g(x)應(yīng)有最小值 ,
而g(x)=x2-2x+a=(x-)2+a-6,
當(dāng)x=時(shí),取最小值a-6,
因此有解得a=9.
②若0<a<1,由于函數(shù)f(x)有最小值,
則g(x)應(yīng)有最大值,
而g(x)不存在最大值,不符合題意.綜上,實(shí)數(shù)a=9.
答案:9
4.(2019·西安模擬)已知函數(shù)f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
解析:當(dāng)a>1時(shí),f(x)>1等價(jià)于8-ax>a在[1,2]上恒成立.
即a<min=,∴1<a<.
當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)>1等價(jià)于0<8-ax<a在[1,2]上恒成立,即a>max且a<min.
解得a>4且a<4,故不存在.
綜上可知,a的取值范圍為.
答案:
一、題點(diǎn)全面練
1.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù),且f(2)=1,則f(x)=( )
A.log2x B.
C.logx D.2x-2
解析:選A 由題意知f(x)=logax(a>0,且a≠1),
∵f(2)=1,∴l(xiāng)oga2=1,∴a=2.
∴f(x)=log2x.
2.如果logx<logy<0,那么( )
A.y<x<1 B.x<y<1
C.1<x<y D.1<y<x
解析:選D ∵logx<logy<log1,∴x>y>1.
3.(2019·新鄉(xiāng)一模)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c
C.a(chǎn)>c>b D.b>c>a
解析:選D 由log2(log3a)=1,可得log3a=2,故a=32=9;由log3(log4b)=1,可得log4b=3,故b=43=64;由log4(log2c)=1,可得log2c=4,故c=24=16.∴b>c>a.故選D.
4.(2019·鄭州模擬)設(shè)a=log50.5,b=log20.3,c=log0.32,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.b<a<c B.b<c<a
C.c<b<a D.a(chǎn)<b<c
解析:選B a=log50.5>log50.2=-1,b=log20.3<log20.5=-1,c=log0.32>log0.3=-1,log0.32=,log50.5===.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴<,即c<a,故b<c<a.故選B.
5.(2019·長春模擬)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax是增函數(shù),則函數(shù)f(|x|+1)的圖象大致是( )
解析:選B 由函數(shù)f(x)=logax是增函數(shù)知,a>1.f(|x|+1)=loga(|x|+1)=由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象知選B.
6.(2018·肇慶二模)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),則( )
A.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù)
D.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù)
解析:選D 由得x∈(-10,10),故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-10,10),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由于f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上遞減,y=lg x在(0,10)上遞增,故函數(shù)f(x)在(0,10)上遞減.
7.(2018·鄭州月考)已知2x=72y=A,且+=2,則A的值是________.
解析:由2x=72y=A得x=log2A,y=log7A,則+=+=logA2+2logA7=logA98=2,A2=98.
又A>0,故A==7.
答案:7
8.已知函數(shù)f(x)=|log 3x|,實(shí)數(shù)m,n滿足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值為2,則=________.
解析:因?yàn)閒(x)=|log3x|=所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,由0<m<n且f(m)=f(n),可得則所以0<m2<m<1,則f(x)在[m2,1)上單調(diào)遞減,在(1,n]上單調(diào)遞增,所以f(m2)>f(m)=f(n),則f(x)在[m2,n]上的最大值為f(m2)=-log3m2=2,解得m=,則n=3,所以=9.
答案:9
9.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若-1<f(1)<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
由題意知f(-x)=loga(-x+1),
又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f(-x)=f(x).
∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)=loga(-x+1),
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
(2)∵-1<f(1)<1,∴-1<loga2<1,
∴l(xiāng)oga<loga2<logaa.
①當(dāng)a>1時(shí),原不等式等價(jià)于解得a>2;
②當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式等價(jià)于
解得0<a<.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪(2,+∞).
10.已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).
(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)f(x)恒有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)∵a>0且a≠1,設(shè)t(x)=3-ax,則t(x)=3-ax為減函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),t(x)的最小值為3-2a,
∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)恒有意義,即x∈[0,2]時(shí),3-ax>0恒成立.
∴3-2a>0,∴a<.
又a>0且a≠1,∴0<a<1或1<a<,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪.
(2)由(1)知函數(shù)t(x)=3-ax為減函數(shù).
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),
∴y=logat在[1,2]上為增函數(shù),∴a>1,
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),t(x)的最小值為3-2a,f(x)的最大值為f(1)=loga(3-a),
∴即
故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1.
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為( )
A.[1,2) B.[1,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
解析:選A 令函數(shù)g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,其圖象的對(duì)稱軸為x=a,要使函數(shù)f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,則即解得1≤a<2,即a∈[1,2),故選A.
2.(2019·湛江模擬)已知loga<1,那么a的取值范圍是________.
解析:∵loga<1=logaa,故當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax為減函數(shù),0<a<;當(dāng)a>1時(shí),y=logax為增函數(shù),a>,∴a>1.綜上所述,a的取值范圍是∪(1,+∞).
答案:∪(1,+∞)
3.函數(shù)f(x)=log (x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為________.
解析:設(shè)t=x2-4,因?yàn)閥=logt在定義域上是減函數(shù),所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)t=x2-4的單調(diào)遞減區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的定義域,可知所求區(qū)間為(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
(二)交匯專練——融會(huì)巧遷移
4.[與指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的交匯]已知x1=log2,x2=2,x3滿足x3=log3x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是( )
A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2
C.x2<x1<x3 D.x3<x1<x2
解析:選A 由題意可知x3是函數(shù)y=x與y=log3x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x與y=log3x的圖象,如圖所示,由圖象可知x3>1,而x1=log2<0,0<x2=2<1,所以x3>x2>x1.故選A.
5.[與數(shù)列的交匯]已知數(shù)列{an}滿足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,則log2(a101+a102+…+a110)=________.
解析:∵log2an+1=1+log2an(n∈N*),
∴l(xiāng)og2an+1-log2an=1,即log2=1,∴=2.
∴數(shù)列{an}是公比q=2的等比數(shù)列,
則a101+a102+…+a110=(a1+a2+a3+…+a10)q100=2100,
∴l(xiāng)og2(a101+a102+…+a110)=log22100=100.
答案:100
(三)素養(yǎng)專練——學(xué)會(huì)更學(xué)通
6.[邏輯推理]設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),且log2x=log3y=log5z>0,則,,的大小關(guān)系不可能是( )
A.<< B.==
C.<< D.<<
解析:選D 設(shè)log2x=log3y=log5z=k>0,
可得x=2k>1,y=3k>1,z=5k>1.
∴=2k-1,=3k-1,=5k-1.
①若0<k<1,則函數(shù)f(x)=xk-1單調(diào)遞減,
∴>>;
②若k=1,則函數(shù)f(x)=xk-1=1,∴==;
③若k>1,則函數(shù)f(x)=xk-1單調(diào)遞增,
∴<<.
∴,,的大小關(guān)系不可能是D.
7.[直觀想象]已知點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B在曲線G:y=ln x上,若線段AB與曲線M:y=相交且交點(diǎn)恰為線段AB的中點(diǎn),則稱B為曲線G關(guān)于曲線M的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn).那么曲線G關(guān)于曲線M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析:選B 設(shè)B(x0,ln x0),x0>0,線段AB的中點(diǎn)為C,則C,又點(diǎn)C在曲線M上,故=,即ln x0=.此方程根的個(gè)數(shù)可以看作函數(shù)y=ln x與y=的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).畫出圖象(如圖),可知兩個(gè)函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn).故選B.
8.[邏輯推理]若方程2log2x-log2(x-1)=m+1有兩個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:由題意知即x>1,方程化簡(jiǎn)為log2=m+1,故=2m+1,即x2-2m+1x+2m+1=0,當(dāng)x>1時(shí),此方程有兩個(gè)不同的解,所以得m>1.
答案:(1,+∞)
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