2022屆高考數(shù)學一輪復習 第九章 概率 第三節(jié) 幾何概型課時作業(yè)

2022屆高考數(shù)學一輪復習 第九章 概率 第三節(jié) 幾何概型課時作業(yè) 1．在區(qū)間[0,1]上隨機取一個數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：因為log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即<x≤1，所以所求概率P＝＝，故選D. 答案：D 2．小明每天上學都需要經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口．已知十字路口的交通信號燈綠燈亮的時間為40秒，黃燈5秒，紅燈45秒．如果小明每天到路口的時間是隨機的，則小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：設“小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒”為事件A，則P(A)＝＝，選D. 答案：D 3．在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33＝27，故所求的概率P＝＝. 答案：A 4．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B． C. D． 解析：由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝(AB)2＋AD2，解得()2＝，即＝，故選D. 答案：D 5．(2018·武漢市調(diào)研)在長為16 cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：設MP＝x，則NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60?x2－16x＋60<0，(x－6)(x－10)<0?6<x<10，所以P＝＝. 答案：A 6．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，則cos πx的值介于與之間的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：區(qū)間的長度為1，滿足cos πx的值介于與之間的x∈∪，區(qū)間長度為，由幾何概型概率公式得P＝＝. 答案：D 7．為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲600個點，已知恰有200個點落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：由投擲的點落在陰影部分的個數(shù)與投擲的點的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案：B 8.如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖像上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(　　) A. B． C. D． 解析：因為f(x)＝B點坐標為(1,0)，所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(－2,2)，A點坐標為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝. 答案：B 9．(2017·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：如圖所示，設點M是BC邊的中點，因為＋＋2＝0，所以點P是中線AM的中點，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝＝，故選C. 答案：C 10．設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B．＋ C.－ D．－ 解析：復數(shù)|z|≤1對應的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－，故選D. 答案：D 11．(2017·鄭州模擬)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域為M，不等式組表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________． 解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為π()2＝，故所求概率P＝＝. 答案： 12．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析：由幾何概型知＝，解得m＝3. 答案：3 13．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________． 解析：由題意知0≤a≤1，事件“3a－1>0”發(fā)生時，a>且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝. 答案： 14．若在區(qū)間[－4,4]內(nèi)隨機取一個數(shù)m，在區(qū)間[－2,3]內(nèi)隨機取一個數(shù)n，則使得方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為________． 解析：∵方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，總的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S＝8×5＝40，而滿足條件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴圖中陰影部分的面積S′＝40－π×22＝40－4π，由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－. 答案：1－ B組——能力提升練 1．在平面區(qū)域內(nèi)隨機取一點(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應滿足a>0且x＝≤1，即，可得對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由，解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可知所求的概率為＝，故選B. 答案：B 2．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結果構成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝＝＝. 答案：B 3．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是(　　) A.－　　　　　　 B. C．1－ D． 解析：設OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π·()2－×()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分的面積為πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率為＝1－. 答案：C 4．在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1<p2< B．p2<<p1 C.<p2<p1 D．p1<<p2 解析：如圖，滿足條件的x，y構成的點(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x＋y≤”對應的圖形為陰影△ODE，其面積為××＝，故p1＝<，事件“xy≤”對應的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，故p2>，則p1<<p2，故選D. 答案：D 5.在底和高等長的銳角三角形中有一個內(nèi)接矩形，矩形的一邊在三角形的底邊上，如圖，在三角形內(nèi)任取一點，則該點落入矩形內(nèi)的最大概率為(　　) A. B． C. D． 解析：設矩形長為x，寬為y，則＝，y＝a－x，S矩形＝xy＝x(a－x)≤2＝，其概率的最大值為＝.故選A. 答案：A 6.把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點，此點落在星形內(nèi)的概率為 (　　) A.－1 B． C.－ D． 解析：星形弧半徑為2，所以點落在星形內(nèi)的概率為 P＝＝－1，故選A. 答案：A 7．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，動點P(a，b)滿足0≤·≤2，且0≤·≤2，則動點P到點C的距離大于的概率為(　　) A．1－ B． C．1－ D． 解析：依題意有目標函數(shù)>表示以C為圓心，半徑為的圓外．畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內(nèi)的圓外面積為－，故概率為＝1－.故選A. 答案：A 8．運行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間[0，e]內(nèi)任意輸入一個x的值，則輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B．1－ C．1＋ D． 解析：由題意得f(x)＝如圖所示，當1<x≤e時，f(x)>e，故輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是＝1－，故選B. 答案：B 9. 在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：∵＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于，∴a>b>0，a<2b. 它對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示： 則方程＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為 P＝＝1－＝，故選B. 答案：B 10．已知關于x，y的不等式組所表示的區(qū)域為M，曲線y＝與x軸圍成的區(qū)域為N，若向區(qū)域N內(nèi)隨機投一點，則該點落在區(qū)域M內(nèi)的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：由已知條件，作出區(qū)域M為如圖所示的△OAB及其內(nèi)部，而曲線y＝可化為(x－)2＋y2＝，其中y≥0，因而曲線y＝與x軸圍成的區(qū)域N為圖中的半圓部分，可求得A(，)，因而△OAB的面積SM＝，半圓的面積SN＝×π×＝，由幾何概型的概率計算公式，得所求概率P＝＝，故選D. 答案：D 11．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A，B之間的直線公路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結果不準確，則該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是(　　) A. B． C．1－ D．1－ 解析：在等腰直角三角形OAB中，以O為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2，故該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是1－＝1－，故選D. 答案：D 12．一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其到三角形頂點的距離小于2的地方的概率為________． 解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×12＝30，陰影部分的面積為×π×22＝2π，所以其概率為＝. 答案： 13．(2018·南昌質(zhì)檢)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，用隨機模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機產(chǎn)生了10 000個點，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點數(shù)恰有2 000個，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為________． 解析：由題意，因為在正方形ABCD中隨機產(chǎn)生了10 000個點，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點數(shù)恰有2 000個， 所以概率P＝＝. ∵邊長為2的正方形ABCD的面積為4， ∴不規(guī)則圖形M的面積的估計值為 ×4＝. 答案： 14．已知正方形ABCD的邊長為2，H是邊DA的中點．在正方形ABCD內(nèi)部隨機取一點P，則滿足|PH|<的概率為________． 解析：如圖，設E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，則滿足|PH|<的點P在△AEH，扇形HEF及△DFH內(nèi)，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為 ＝＋. 答案：＋ 15．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為________． 解析：對于直線方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0， 令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝， 由題意可得·||·||<， 因為m∈(0,3)， 所以解得0<m<2， 由幾何概型的概率計算公式可得， 所求事件的概率是. 答案：