2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2 《任意角的三角函數(shù)》教案2

2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2 《任意角的三角函數(shù)》教案2 教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握有向線段的概念； 正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. 教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示. 教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示. 教學(xué)過程： 一、問題情境 1．情境引入：我們已學(xué)過任意角三角函數(shù)，給出了任意角的正弦、余弦、正切的定義. 2．提出問題：能不能用幾何元素表示三角函數(shù)值？例如，能不能用線段表示三角函數(shù)值？ 二、學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生思考，討論，回答.討論可能沿著下面的方向進(jìn)行： 1.通過聯(lián)想，可以提出 問題1：在初中，我們知道銳角三角函數(shù)可以看成線段的比，那么，任意角的三角函數(shù)是否可以也看成是線段的比呢？ 2.明確問題，可以提出 問題2：?jiǎn)栴}1的實(shí)際意義是什么？什么叫做三角函數(shù)？任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的？ 由此可以進(jìn)一步明確問題1的意義.具體地，以正弦函數(shù)為例，當(dāng)前的問題就是怎樣用幾何元素表示.（這里的是角終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)） 2.簡(jiǎn)化問題，可以提出 問題3：能進(jìn)一步簡(jiǎn)化問題嗎？是否可以在角的終邊上取一個(gè)特殊點(diǎn)，使得三角函數(shù)值的表達(dá)式更為簡(jiǎn)單？ 結(jié)論是，當(dāng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓（單位圓）上時(shí)，，而的函數(shù)值分別為點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo). 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.有向線段 （1）提出解決問題1的關(guān)鍵就這樣解決 問題4：怎樣表示點(diǎn)的縱，橫坐標(biāo)？能不能用線段表示坐標(biāo)？ 圍繞著如下問題進(jìn)行討論： 問題5：坐標(biāo)是什么？ 問題6：能不能用線段表示坐標(biāo)？能不能用線段表示數(shù)？怎樣才能做到這點(diǎn)？ 問題7：和初中的銳角三角函數(shù)相比，我們現(xiàn)在面臨的情況有什么不同？ 通過討論，得到以下共識(shí)：為了用線段表示數(shù)，我們需要規(guī)定線段的方向. （2）給出有向線段、有向線段的數(shù)量、有向線段的長(zhǎng)度的概念. 下圖軸上，的數(shù)量分別是多少？ 。 。 。 。 。 。 A C B 有向線段的數(shù)量：. 1 O x y M P 角的終邊 2.正弦線和余弦線 （1）問題8：怎樣用有向線段表示正弦函數(shù)值？ 圍繞著問題8，作出表示正弦值的有向線段，得到正弦線的概念. （2）由學(xué)生仿照正弦線，得到余弦線. . 有向線段分別叫做角的正弦線、余弦線. 小結(jié)：我們已經(jīng)得到角的正弦線、余弦線、正切線，它們都是與單位圓的弦有關(guān)的線段. 3.正切線 （1）探索討論 問題9：能不能用有向線段表示角的正切呢？ 問題10：正切函數(shù)值是怎樣定義的？怎樣才能簡(jiǎn)化定義中的表達(dá)式？這個(gè)表達(dá)式和正弦函數(shù)值的表達(dá)式有什么不同？怎樣才能使表達(dá)式的分母為1？ （2）先解決問題的一部分 當(dāng)角的終邊上存在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)時(shí)（這時(shí)角的終邊在軸的右側(cè)），怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值？ （3）再解決剩余的問題. 當(dāng)角的終邊上不存在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)時(shí)（這時(shí)角的終邊在軸的左側(cè)），怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值？ 通過討論，得到下面的結(jié)論. （4）正切線 1 O x y A T 角的終邊 1 O x y 角的終邊 A T 正切線一般可按如下方法作出：如下圖所示，過點(diǎn)作單位圓的切線（軸的垂線），它與角終邊所在直線交于點(diǎn)，則有向線段即為角的正切線. 角的終邊 O x y A 角的終邊 P O x y A P M M T ，因此，我們把有向線段叫做角的正切線. 3.三角函數(shù)線： O x y A 角的終邊 O x y 角的終邊 A T P M M P T 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 練習(xí)：可以討論課本P16練習(xí)第7題. 例1．比較下列各組數(shù)的大小： （1）和 （2）和 （3）和 （4）和 分析：三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的的絕對(duì)值.比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小可以借助三角函數(shù)線 思考：根據(jù)單位圓中三角函數(shù)線，探究： （1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值域； （2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性； （3）正切函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性. 五、總結(jié)反思 單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)，我們應(yīng)掌握三角函數(shù)線的作法，并能運(yùn)用它們解決一些有關(guān)三角函數(shù)的問題，注意在用字母表示有向線段時(shí)，要分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫順序要正確. 六、作業(yè)布置 課本P23習(xí)題1.2第2題.