2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第15講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第15講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 課題 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用（共 4 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1．平面向量的數(shù)量積 ①通過(guò)物理中"功"等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； ③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； ④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。 2．向量的應(yīng)用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 命題走向 本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會(huì)向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。 平面向量的綜合問(wèn)題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問(wèn)題，以解答題為主。 預(yù)測(cè)xx年高考： （1）一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題；屬于中檔題目。 （2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)； 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 一．知識(shí)梳理： 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個(gè)非零向量的夾角 已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角； 說(shuō)明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向； （2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向； （3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°≤q≤180°。 C （2）數(shù)量積的概念 已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影； （3）數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。 （4）向量數(shù)量積的性質(zhì) ①向量的模與平方的關(guān)系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律成立：； 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：； 分配律成立：。 ④向量的夾角：cos==。 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題。 （5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 已知兩個(gè)向量，則·=。 （6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。 （7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)，則或。 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。 2．向量的應(yīng)用 （1）向量在幾何中的應(yīng)用； （2）向量在物理中的應(yīng)用。 二．典例分析 　(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 (2) (xx·湖南高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則·＝________. 　(1) 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6, 3)， 所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30. 即18＋3x＝30，解得x＝4. (2)法一：∵＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝2＋＋，又由AP⊥BD得⊥且⊥， ∴·＝0，且·＝0于是·＝·(2＋＋)＝22＝2||2＝18. 法二：·＝·(＋) ＝·(＋＋) ＝2·＋· ＝2||·||·cos ， ＝2×||·||· ＝2×||2＝2×32＝18. 　(1)C　(2) 18　 由題悟法 平面向量數(shù)量積問(wèn)題的類型及求法 (1)已知向量a，b的模及夾角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求解； (2)已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解． 以題試法 1．(1)(xx·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R.若·＝－2，則λ＝(　　) A. B. C. D．2 解析：選B　由題意可知＝－＝(1－λ) －，＝－＝λ－，且·＝0，故·＝－(1－λ) 2－λ2＝－2.又||＝1，||＝2，代入上式解得λ＝. (2)(xx·江西高考)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________. 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2， 則b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e. 又因?yàn)閑1，e2為單位向量，夾角為， 所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6. 答案：－6 兩平面向量的夾角與垂直 典題導(dǎo)入 　(1)(xx·福州質(zhì)檢)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為120°，a＋b＋c＝0，則a與c的夾角為(　　) A．150°　　　　　　　 　 B．90° C．60° D．30° (2)(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 　(1)∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c. ∴a與c的夾角為90°. (2)∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ為a與b的夾角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a與b不共線， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. 　(1)B　(2)1 若本例(1)條件變?yōu)榉橇阆蛄縜，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，試求a與b的夾角． 解：設(shè)|a|＝m(m>0)，a，b的夾角為θ，由題設(shè)知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cos θ＝m2，得cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夾角為120°. 由題悟法 1．求兩非零向量的夾角時(shí)要注意： (1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律； (2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角就是鈍角． 2．當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系． 以題試法 2．(1)設(shè)向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，則a⊥(a－b)的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．x＝0或2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝±2 (2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如圖所示，則(　　) A．存在λ>0，使得向量c與向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c與向量d夾角為60° C．存在λ<0，使得向量c與向量d夾角為30° D．存在λ>0，使得向量c與向量d共線 解析：(1)選B　a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)?2(x－1)2－2＝0?x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一個(gè)充分不必要條件． (2)選D　由圖可知d＝4a＋3b＝4，故D正確；對(duì)于A，由圖知若向量c與向量d垂直，則有λ<0；對(duì)于B，若λ>0，則由圖觀察得向量c與向量d夾角小于60°；對(duì)于C，若λ<0，則向量c與向量d夾角大于30°. 平面向量的模 典題導(dǎo)入 　 (xx·洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知P為銳角三角形ABC的AB邊上一點(diǎn)，A＝60°，AC＝4，則|＋3|的最小值為(　　) A．4 B．4 C．6 D．6 　因?yàn)椋剑?，所以|＋3|2＝|3－4|2＝92－24·＋162.設(shè)||＝x，則|＋3|2＝16×9－48x＋16x2＝16(x2－3x＋9)．因?yàn)槿切蜛BC是銳角三角形，所以0<x<8，則當(dāng)x＝時(shí)，|＋3|2取得最小值為16×＝108，故|＋3|的最小值為＝6. 　D 由題悟法 利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)若a＝(x，y)則|a|＝. 以題試法 3．(xx·聊城質(zhì)檢)已知向量a＝(sin x,1)，b＝. (1)當(dāng)a⊥b時(shí)，求|a＋b|的值； (2)求函數(shù)f(x)＝a·(b－a)的最小正周期． 解：(1)由已知得a·b＝0， |a＋b|＝＝＝ ＝ ＝. (2)∵f(x)＝a·b－a2＝sin xcos x－－sin2x－1 ＝sin 2x－－＝sin－2， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π. 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用 典題導(dǎo)入 　(xx·太原模擬)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求邊長(zhǎng)b和c的值(b>c)． 　(1)由題意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， ∴f(x)的最小正周期T＝π， ∵y＝cos x在(k∈Z)上單調(diào)遞減， ∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1. 又<2A＋<，∴2A＋＝π. ∴A＝. ∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5， 又b>c，∴b＝3，c＝2. 由題悟法 向量與其它知識(shí)結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合考查知識(shí)的“交匯處”的命題要求，又加強(qiáng)了對(duì)雙基覆蓋面的考查，特別是通過(guò)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問(wèn)題的同時(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)、三角或幾何問(wèn)題． 以題試法 4．(1)(xx·朔州調(diào)研)質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D．6 (2)若M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC為(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 解析：(1)選A　由已知條件F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－F1－F2，F(xiàn)＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28. 因此，|F3|＝2. (2)選B　由(－)·(＋－2)＝0，可知·(＋)＝0，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則＋＝2，故·＝0.所以⊥.又D為BC的中點(diǎn)，故△ABC為等腰三角形． 板書(shū)設(shè)計(jì) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個(gè)非零向量的夾角 （2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向； （3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥； （4）向量夾角的范圍0°≤q≤180°。 C 2. 數(shù)量積的概念 ·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定； 3. 向量的投影：︱︱cos稱為向量在方向上的投影。 4. 向量數(shù)量積的性質(zhì) ①。 ②乘法公式成立 ； ； ③向量的夾角：cos==。 5. 兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 已知兩個(gè)向量，則·=。 6. 垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O。 7. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)，則或。 8. 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、， 那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。 教學(xué)反思 向量數(shù)量積容易與三角函數(shù)或解析幾何聯(lián)系出題，要讓學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示及相關(guān)性質(zhì)。 向量的平行與垂直是特殊位置關(guān)系，是易考題型，要學(xué)生注意區(qū)分它們的坐標(biāo)表示的區(qū)別，以免混淆。 由條件求向量的模有兩種情形，一種是利用性質(zhì)，另一種是坐標(biāo)形式，需通過(guò)題目進(jìn)行訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握。