2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1講 函數(shù)及其表示講義 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1講 函數(shù)及其表示講義 理（含解析） [考綱解讀]　1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念．(重點(diǎn)) 2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．(重點(diǎn)) 3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段)．(難點(diǎn)) [考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2020年會(huì)考查函數(shù)的解析式與分段函數(shù)的應(yīng)用，可能涉及函數(shù)的求值、函數(shù)圖象的判斷及最值的求解. 1．函數(shù)與映射 2．函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域． (3)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數(shù) (1)定義：若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論 ①分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． ②分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集． 1．概念辨析 (1)對(duì)于函數(shù)f：A→B，其值域就是集合B.(　　) (2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等．(　　) (3)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}． f：x→x的平方根是A到B的映射．(　　) (4)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小題熱身 (1)下列圖形中可以表示為以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是(　　) 答案　C 解析　觀察圖形可知，B，D不是函數(shù)圖象，A中函數(shù)的值域不是{y|0≤y≤1}，故選C. (2)函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)?　　) A. B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) 答案　C 解析　由解得x≥且x≠3，所以已知函數(shù)的定義域?yàn)椤?3，＋∞)． (3)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 答案　B 解析　對(duì)于A，函數(shù)y＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)y＝＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)． (4)若函數(shù)f(x)＝則f[f(1)]的值為(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 答案　C 解析　f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2. (5)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是________．(圖中，曲線l與直線m無(wú)限接近，但永不相交) 答案　[－3,0]∪[1,4)　[1，＋∞)　[1,2)∪(5，＋∞) 解析　觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象可知，f(x)的定義域?yàn)閇－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，當(dāng)y∈[1,2)∪(5，＋∞)時(shí)，只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)． 題型 　函數(shù)的定義域 1．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A．(－∞，1] B．[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪ 答案　D 解析　由得－1≤x≤1，且x≠－，所以函數(shù)y＝的定義域?yàn)椤?，故選D. 2．函數(shù)f(x)的定義域是[2，＋∞)，則函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[1,2)∪(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　依題意，解得x≥1且x≠2，所以函數(shù)y＝的定義域是[1,2)∪(2，＋∞)． 1．函數(shù)y＝f(x)的定義域 2．抽象函數(shù)的定義域的求法 (1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b求出．如舉例說(shuō)明2中f(x)的定義域是[2，＋∞)；f(2x)中x應(yīng)滿足2x≥2. (2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·濰坊二模)函數(shù)f(x)＝＋lg (－3x2＋5x＋2)的定義域?yàn)開(kāi)_____． 答案　 解析　由得所以－<x<1，所以函數(shù)f(x)的定義域是. 2．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______． 答案　[－1,2] 解析　依題意，由x∈[－，]，可得x2－1∈[－1,2]，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1,2]． 題型 　求函數(shù)的解析式 1．已知f＝lg x，則f(x)＝________. 答案　lg (x>－1) 解析　令t＝－1，則由x>0知－1>－1，x＝，所以由f＝lg x，得f(t)＝lg (t>－1)，所以f(x)＝lg (x>－1)． 2．已知f＝x2＋x－2，則f(x)＝________. 答案　x2－2(x≥2或x≤－2) 解析　因?yàn)閒＝x2＋x－2＝2－2， 且當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2；當(dāng)x<0時(shí)，x＋≤－2， 所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． 3．已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________. 答案　x2－x＋5 解析　因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)且f(0)＝5， 所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)． 又因?yàn)閒(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1， 整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以 解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x2－x＋5. 4．已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________. 答案　2x－(x≠0) 解析　因?yàn)?f(x)＋f＝3x，① 所以將x用替換，得2f＋f(x)＝，② 由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)， 即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． 條件探究1　舉例說(shuō)明2中“x＋”改為“x－”，其他條件不變，該如何求解？ 解　因?yàn)閒＝x2＋x－2＝2＋2， 當(dāng)x≠0時(shí)，x－∈R，所以f(x)＝x2＋2，x∈R. 條件探究2　舉例說(shuō)明4中“f”改為“f(－x)”，其他條件不變，該如何求解？ 解　因?yàn)?f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x，即f(x)的解析式是f(x)＝3x. 求函數(shù)解析式的四種方法 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝4x＋3，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_______． 答案　f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3 解析　設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f[f(x)]＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴解得或∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 2．已知f()＝x＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_______． 答案　f(x)＝x2－1(x≥0) 解析　令t＝，則t≥0，x＝t2－2， 由f()＝x＋1可得f(t)＝t2－2＋1＝t2－1. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥0)． 題型 　分段函數(shù) 角度1　求分段函數(shù)的函數(shù)值 1．(2018·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)＝ 則f(2017)＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．log32 答案　B 解析　由已知得，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－log31＝0. 角度2　分段函數(shù)與方程、不等式的綜合問(wèn)題 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f＝4，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．－ B．－ C．－或－ D．－2或－ 答案　A 解析　因?yàn)?lt;1，所以f＝4×＋a＝a＋. 若a＋≥1，即a≥－時(shí)，2a＋＝4， 即a＋＝2?a＝－>－(成立)； 若a＋<1，即a<－時(shí)，則4a＋＋a＝4， 即a＝－>－(舍去)，綜上a＝－. 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤3成立的x的取值范圍是________． 答案　(－∞，27] 解析　當(dāng)x<8時(shí)，2ex－8<2<3，此時(shí)f(x)≤3恒成立；當(dāng)x≥8時(shí)，由x≤3得x ≤27，此時(shí)x的取值范圍為8≤x≤27.綜上所述，x的取值范圍為(－∞，27]． 1．求分段函數(shù)的函數(shù)值 (1)基本步驟 ①確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間． ②代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值． (2)兩種特殊情況 ①當(dāng)出現(xiàn)f[f(a)]的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．如舉例說(shuō)明2. ②當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類(lèi)討論，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)．如舉例說(shuō)明2，求f后再求f要分類(lèi)討論． 2．求分段函數(shù)的參數(shù)或自變量的值(或范圍)的方法 求某條件下參數(shù)或自變量的值(或范圍)，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相應(yīng)各段自變量的取值范圍．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·河南鄭州三模)設(shè)函數(shù)f(x)＝ 則f[f(－4)]＝________. 答案?。? 解析　f[f(－4)]＝f(16－4－2)＝f(10)＝－1. 2．函數(shù)f(x)＝若f(a)≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______． 答案　[－1，＋∞) 解析　當(dāng)a≥0時(shí)，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，所以a≥0；當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1，所以－1≤a<0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)．