2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性講義 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性講義 理（含解析） [考綱解讀]　1.了解函數(shù)奇偶性的含義． 2.會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性．(重點(diǎn)) 3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性．(重點(diǎn)) [考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，函數(shù)的奇偶性與周期性是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)測2020年高考會側(cè)重以下三點(diǎn)：①函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用；②函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用；③綜合利用函數(shù)奇偶性、周期性和單調(diào)性求參數(shù)的值或解不等式. 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對稱 2．周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 1．概念辨析 (1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱．(　　) (2)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)．(　　) (3)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．(　　) (4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小題熱身 (1)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|ln x| D．y＝2－x 答案　A 解析　A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C，D是非奇非偶函數(shù)． (2)奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象如圖所示，則(　　) A．f(2)>0>f(4) B．f(2)<0<f(4) C．f(2)>f(4)>0 D．f(2)<f(4)<0 答案　A 解析　因?yàn)槠婧瘮?shù)y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)． 因?yàn)閒(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)． (3)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a,2a]上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為________． 答案　5 解析　由函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a,2a]上的偶函數(shù)，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函數(shù)f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故該函數(shù)的最大值為5. (4)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 答案　6 解析　因?yàn)閒(x＋4)＝f(x－2)，所以函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因?yàn)楫?dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函數(shù)，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. 題型 　函數(shù)的奇偶性 角度1　判斷函數(shù)的奇偶性 1．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(1－x) ； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}， ∴f(x)＝＋＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (2)由≥0得－1≤x<1， 所以f(x)的定義域?yàn)閇－1,1)， 所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)． (3)由得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． (4)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當(dāng)x>0時(shí)，－x<0， 則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x， 總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． 角度2　奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 2．(1)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3＋x＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式為________； (2)已知f(x)＝，若f(ln (＋a))＝1，則f(ln (－a))＝________； (3)(2018·河南南陽模擬)若函數(shù)f(x)＝x為偶函數(shù)，則a＝________. 答案　(1)－x3－x＋1　(2)－3　(3)1或－1 解析　(1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0. 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3＋x＋1， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. (2)f(x)＋f(－x)＝＋＝＝－2， 而ln (＋a)＋ln (－a)＝ln 1＝0， 因此f(ln (＋a))＋f(ln (－a))＝－2， f(ln (－a))＝－2－1＝－3. (3)令u(x)＝1－， 根據(jù)函數(shù)f(x)＝x為偶函數(shù)， 可知u(x)＝1－為奇函數(shù)， 利用u(0)＝1－＝0， 可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1. 1．判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法 (1)定義法 (2)圖象法 2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 (1)求函數(shù)解析式 ①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．如舉例說明2(1)． (2)求參數(shù)值 在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對應(yīng)相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．如舉例說明2(3)． 注意：利用“奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0”的性質(zhì)解決有關(guān)最值問題．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝log3(x＋1)＋a，則f(－8)＝(　　) A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2 答案　C 解析　由題意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0. 所以當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝log3(x＋1)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2. 2．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 答案　C 解析　對于A，令h(x)＝f(x)g(x)， 則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤； 對于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)， 則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x) ＝|f(x)|·g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤； 對于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|， 則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴h(x)是奇函數(shù)，C正確； 對于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)， ∴h(x)為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤． 3．(2018·安徽合肥月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(　　) A．3 B．0 C．－1 D．－2 答案　B 解析　設(shè)F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.故選B. 題型 　函數(shù)的周期性 1．(2019·陜西咸陽模擬)已知奇函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，則(　　) A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù) B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù) C．函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù) D．函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù) 答案　B 解析　根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則滿足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，則f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函數(shù)的周期為4. 2．(2018·安徽淮南二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝，當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝x＋ex，則f(2018)＝________. 答案　1 解析　因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝， 所以f(x＋4)＝＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)的周期為4. 當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝x＋ex， 所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2) ＝＝＝1. 條件探究1　舉例說明2中的“f(x＋2)＝”改為“f(x＋1)＝”，其他條件不變，求f(2019)． 解　因?yàn)閒(x＋2)＝＝ ＝＝－， 所以f(x＋4)＝－＝f(x)． 故函數(shù)f(x)的周期為4. 所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－＝－. 條件探究2　舉例說明2中的“e”改為“2”，其他條件不變，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值． 解　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝＝＝1，f(3)＝＝，f(4)＝＝1， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018) ＝504×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2) ＝504×＋3＋1 ＝2692. 函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用 (1)判定：判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T. (2)應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2019·溫州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的最小正周期等于T，則下列函數(shù)的最小正周期一定等于的是(　　) A．f(2x) B．f C．2f(x) D．f(x2) 答案　A 解析　由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函數(shù)f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函數(shù)f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函數(shù)2f(x)的周期是T.函數(shù)f(x2)不一定是周期函數(shù)． 2．若f(x)是定義在R上的周期為4的函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＝________. 答案　 解析　因?yàn)閒(x)的周期為4，則f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝. 3．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 答案　7 解析　因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0， 則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0， ∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè)． 題型 　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 角度1　單調(diào)性與奇偶性結(jié)合 1．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f的x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)為偶函數(shù)，則由f(2x－1)<f得f(|2x－1|)<f，所以|2x－1|<，所以－<2x－1<，解得<x<.故x的取值范圍是. 角度2　周期性與奇偶性結(jié)合 2．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 答案　C 解析　因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且滿足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)， f(x＋4)＝f(1－(x＋3))＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f(1－(x＋1))＝－f(－x)＝f(x)． 所以f(x)是周期為4的函數(shù)． 因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)， 因?yàn)閒(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 因?yàn)閒(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，從而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故選C. 角度3　單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合 3．(2019·哈爾濱六中模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝log(1－x)，則f(x)在區(qū)間內(nèi)是(　　) A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減函數(shù)且f(x)<0 C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0 答案　D 解析　當(dāng)x∈時(shí)，－x∈.因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，f(x)＝log(1－x)且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－log (1＋x)，所以f(x)在上是增函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，1＋x∈，所以log (1＋x)∈(0,1]，－log (1＋x)∈[－1,0)．因?yàn)閒＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期是，所以f(x)在區(qū)間上的圖象與在區(qū)間上的圖象相同，所以f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)且f(x)<0. 函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．如舉例說明1. (2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．如舉例說明2. (3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．如舉例說明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 答案　D 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3.故選D. 2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11) 答案　D 解析　因?yàn)閒(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)． 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，f(－2)＝－3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝－1，Sn＝2an＋n，則f(a5)＋f(a6)＝________. 答案　3 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， 又∵f＝f(x)，∴f＝－f(－x)． ∴f(3＋x)＝f ＝－f＝－f(－x)＝f(x)． ∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)． ∵數(shù)列{an}滿足a1＝－1，且Sn＝2an＋n， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1＋n－1， 則an＝2an－2an－1＋1， 即an＝2an－1－1， ∴an－1＝2(an－1－1)(n≥2)， 則an－1＝－2·2n－1＝－2n， ∴an＝1－2n.上式對n＝1也成立． ∴a5＝－31，a6＝－63. ∴f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63) ＝f(2)＋f(0)＝f(2) ＝－f(－2)＝3.