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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性講義 理（含解析）
[考綱解讀] 1.了解函數(shù)奇偶性的含義．
2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性．(重點)
3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性．(重點)
[考向預測] 從近三年高考情況來看，函數(shù)的奇偶性與周期性是高考的一個熱點．預測2020年高考會側(cè)重以下三點：①函數(shù)奇偶性的判斷及應用；②函數(shù)周期性的判斷及應用；③綜合利用函數(shù)奇偶性、周期性和單調(diào)性求參數(shù)的值或解不等式.
1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
一般地，如果對
2、于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關于y軸對稱
奇函數(shù)
一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關于原點對稱
2．周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
1．概念辨析
(1)若函數(shù)y
3、＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．( )
(2)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)．( )
(3)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．( )
(4)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．小題熱身
(1)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案 A
解析 A是
4、奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C，D是非奇非偶函數(shù)．
(2)奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象如圖所示，則( )
A．f(2)>0>f(4)
B．f(2)<0f(4)>0
D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．
(3)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a,2a]上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為________．
答案 5
解析 由函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1
5、－a,2a]上的偶函數(shù)，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函數(shù)f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故該函數(shù)的最大值為5.
(4)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.
答案 6
解析 因為f(x＋4)＝f(x－2)，所以函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因為當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函數(shù)，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
題型 函數(shù)的奇偶性
角度1 判斷函數(shù)
6、的奇偶性
1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函數(shù)f(x)的定義域為{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)由≥0得－1≤x<1，
所以f(x)的定義域為[－1,1)，
所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(3)由得定義域為(－1,0)∪(0,1)，關于原點對稱．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
7、
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．∵當x<0時，－x>0，
則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
當x>0時，－x<0，
則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，
總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
角度2 奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)的應用
2．(1)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x3＋x＋1，則當x<0時，f(x)的解析式為________；
(2)已知f(x)＝，若f(ln (＋a))＝1，則f(ln (－a)
8、)＝________；
(3)(2018·河南南陽模擬)若函數(shù)f(x)＝x為偶函數(shù)，則a＝________.
答案 (1)－x3－x＋1 (2)－3 (3)1或－1
解析 (1)當x<0時，－x>0.
因為f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x3＋x＋1，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
(2)f(x)＋f(－x)＝＋＝＝－2，
而ln (＋a)＋ln (－a)＝ln 1＝0，
因此f(ln (＋a))＋f(ln (－a))＝－2，
f(ln (－a))＝－2－1＝－3.
(3)令u(x)＝1－，
根據(jù)函數(shù)f(x)＝x為偶函數(shù)，
9、
可知u(x)＝1－為奇函數(shù)，
利用u(0)＝1－＝0，
可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
1．判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法
(1)定義法
(2)圖象法
2．函數(shù)奇偶性的應用
(1)求函數(shù)解析式
①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．如舉例說明2(1)．
(2)求參數(shù)值
在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對應相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)
10、＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．如舉例說明2(3)．
注意：利用“奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0”的性質(zhì)解決有關最值問題．
1．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝log3(x＋1)＋a，則f(－8)＝( )
A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2
答案 C
解析 由題意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0.
所以當x≥0時，f(x)＝log3(x＋1)，又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.
2．設函數(shù)f(
11、x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
答案 C
解析 對于A，令h(x)＝f(x)g(x)，
則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)，
∴h(x)是奇函數(shù)，A錯誤；
對于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)，
則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)
＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函數(shù)，B錯誤；
對于C，
12、令h(x)＝f(x)|g(x)|，
則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，
∴h(x)是奇函數(shù)，C正確；
對于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，
∴h(x)為偶函數(shù)，D錯誤．
3．(2018·安徽合肥月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
答案 B
解析 設F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F
13、(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.故選B.
題型 函數(shù)的周期性
1．(2019·陜西咸陽模擬)已知奇函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，則( )
A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)
B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)
C．函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)
D．函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)
答案 B
解析 根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則滿足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，則f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x
14、＋2)＝f(x)，故函數(shù)的周期為4.
2．(2018·安徽淮南二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝，當x∈[0,2)時，f(x)＝x＋ex，則f(2018)＝________.
答案 1
解析 因為定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)的周期為4.
當x∈[0,2)時，f(x)＝x＋ex，
所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)
＝＝＝1.
條件探究1 舉例說明2中的“f(x＋2)＝”改為“f(x＋1)＝”，其他條件不變，求f(2019)．
解 因為f(x＋2)＝＝
＝＝－，
所以f(x
15、＋4)＝－＝f(x)．
故函數(shù)f(x)的周期為4.
所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－＝－.
條件探究2 舉例說明2中的“e”改為“2”，其他條件不變，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值．
解 因為函數(shù)f(x)的周期為4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝＝＝1，f(3)＝＝，f(4)＝＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)
＝504×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)
＝504×＋3＋1
＝2692.
函數(shù)周期性的判定與應用
(1)判定：判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝
16、f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T.
(2)應用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．
1．(2019·溫州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的最小正周期等于T，則下列函數(shù)的最小正周期一定等于的是( )
A．f(2x) B．f
C．2f(x) D．f(x2)
答案 A
解析 由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函數(shù)f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所
17、以函數(shù)f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函數(shù)2f(x)的周期是T.函數(shù)f(x2)不一定是周期函數(shù)．
2．若f(x)是定義在R上的周期為4的函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＝________.
答案
解析 因為f(x)的周期為4，則f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.
3．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為________．
答案 7
解析 因為當0≤x<2時，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0
18、，
則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點有7個．
題型 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
角度1 單調(diào)性與奇偶性結(jié)合
1．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)
19、性與奇偶性結(jié)合
2．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 因為f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且滿足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，
f(x＋4)＝f(1－(x＋3))＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f(1－(x＋1))＝－f(－x)＝f(x)．
所以f(x)是周期為4的函數(shù)．
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋
20、f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，
因為f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
因為f(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，從而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故選C.
角度3 單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合
3．(2019·哈爾濱六中模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，當x∈時，f(x)＝log(1－x)，則f(x)在區(qū)間內(nèi)是( )
A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減函數(shù)且f(x)<0
C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0
答
21、案 D
解析 當x∈時，－x∈.因為當x∈時，f(x)＝log(1－x)且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－log (1＋x)，所以f(x)在上是增函數(shù)，當x∈時，1＋x∈，所以log (1＋x)∈(0,1]，－log (1＋x)∈[－1,0)．因為f＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期是，所以f(x)在區(qū)間上的圖象與在區(qū)間上的圖象相同，所以f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)且f(x)<0.
函數(shù)性質(zhì)綜合應用問題的常見類型及解題策略
(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．如舉例說明1.
(2)周期性與奇偶性的綜合
22、．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．如舉例說明2.
(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．如舉例說明3.
1．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
答案 D
解析 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(
23、x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故選D.
2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)
24、函數(shù)f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)
2022年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性講義 理（含解析）
