新課標(biāo)人教版A高中數(shù)學(xué)必修2優(yōu)秀教案全套

備課資料 備用習(xí)題 1.以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔 〕 A.多面體至少有四個(gè)面 B.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形 C.長方體、正方體都是棱柱 D.三棱柱的側(cè)面為三角形 分析：多面體至少應(yīng)有四個(gè)頂點(diǎn)組成〔否那么至多3個(gè)頂點(diǎn)，而3個(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)平面圖形〕，而四個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)然必須圍成四個(gè)面，所以A正確；棱柱側(cè)面為平行四邊形，其側(cè)棱和側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面多邊形的邊數(shù)相等，所以B正確；長方體、正方體都是棱柱，所以C正確；三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不是三角形，所以D錯(cuò)誤. 答案：D 2.一個(gè)棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長的和為60 cm，那么每條側(cè)棱長為___________ cm. 分析：n棱柱有2n個(gè)頂點(diǎn)，由于此棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，那么此棱柱為五棱柱，又因棱柱的側(cè)棱都相等，五條側(cè)棱長的和為60 cm，可知每條側(cè)棱長為12 cm. 答案：12 3.在本節(jié)我們學(xué)過的常見幾何體中,如果用一個(gè)平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是___________. 分析：棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐等幾何體的截面都可以是三角形，因此此題答案是開放的，作答時(shí)要考慮周全. 答案：棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐 4.如圖25所示，有12個(gè)小正方體，每個(gè)正方體6個(gè)面上分別寫著數(shù)字1、9、9、8、4、5，用這12個(gè)小正方體拼成一個(gè)長方體，那么圖中看不見的那些小正方體的面有多少個(gè)?并求這些面上的數(shù)字和. 圖25 分析：先求看得見的個(gè)數(shù)，再求看不見的面的個(gè)數(shù)，同樣，先求這12個(gè)小正方體各個(gè)面上的數(shù)字的和，再減去看得見的數(shù)字的和. 解：這12個(gè)小正方體，共有面數(shù)6×12=72個(gè)，圖中看得見的面共有3+4×4=19個(gè)， 故圖中看不見的面有72-19=53個(gè)， 12個(gè)小正方體各個(gè)面的數(shù)字的和為〔1+9+9+8+4+5〕×12=432， 而圖中看得見的數(shù)字的和為130， 所以看不見的那些小正方體的面上的數(shù)字的和為432-130=302, 即看不見的那些小正方體的面有53個(gè)，這些面上的數(shù)字和是302. 知識(shí)拓展 1.特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫做直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體.其中長方體對(duì)角線的平方等于同一頂點(diǎn)上三條棱的平方和. 2.特殊的棱錐：如果棱錐的底面為正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐，正棱錐各側(cè)面底邊上的高均相等，叫做正棱錐的斜高；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體. 3.特殊的棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)，正棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形，正棱臺(tái)各側(cè)面等腰梯形的高稱為正棱臺(tái)的斜高. 4.球心與球的截面圓心的連線垂直于截面. 5.規(guī)定：在多面體中，不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做多面體的對(duì)角線，不在同一面上的兩條側(cè)棱稱為多面體的不相鄰側(cè)棱，側(cè)棱和底面多邊形的邊統(tǒng)稱為棱. 〔設(shè)計(jì)者：張新軍〕 第一章 空間幾何體 本章教材分析 柱體、錐體、臺(tái)體和球體是簡單的幾何體，復(fù)雜的幾何體大都是由這些簡單的幾何體組合而成的.有關(guān)柱體、錐體、臺(tái)體和球體的研究是研究比擬復(fù)雜的幾何體的根底.本章研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖、外表積和體積等.運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、度量計(jì)算等方法,認(rèn)識(shí)和探索空間幾何圖形及其性質(zhì). 本章中的有關(guān)概念，主要采用分析具體實(shí)例的共同特點(diǎn)，再抽象其本質(zhì)屬性空間圖形而得到.教學(xué)中應(yīng)充分使用直觀模型，必要時(shí)要求學(xué)生自己制作模型，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知模型，然后再抽象出有關(guān)空間幾何體的本質(zhì)屬性，從而形成概念. 本章內(nèi)容是在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的根底上展開的.例如，對(duì)于棱柱，在義務(wù)教育階段直觀認(rèn)識(shí)正方體、長方體等的根底上，進(jìn)一步研究了棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其體積、外表積.因此，在教材內(nèi)容安排中，特別注意了與義務(wù)教育階段“空間與圖形〞相關(guān)內(nèi)容的銜接. 值得注意的是在教學(xué)中，要堅(jiān)持循序漸進(jìn)，逐步滲透空間想象能力面的訓(xùn)練.由于受有關(guān)線面位置關(guān)系知識(shí)的限制，在講解空間幾何體的結(jié)構(gòu)時(shí)，少問為什么，多強(qiáng)調(diào)感性認(rèn)識(shí).要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止拔高教學(xué).重視函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電腦繪制簡單幾何體的模型,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在學(xué)習(xí)中的重要作用.為了表達(dá)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際,合理地進(jìn)行取舍. 本章教學(xué)時(shí)間約需7課時(shí)，具體分配如下〔僅供參考〕： 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 約1課時(shí) 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征 約1課時(shí) 中心投影與平行投影 約1課時(shí) 空間幾何體的三視圖 空間幾何體的直觀圖 約1課時(shí) 柱體、錐體、臺(tái)體的外表積與體積 約1課時(shí) 球的體積和外表積 約1課時(shí) 本章復(fù)習(xí) 約1課時(shí) 1.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 本節(jié)教材先展示大量幾何體的實(shí)物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從整體上認(rèn)識(shí)空間幾何體，再深入細(xì)節(jié)認(rèn)識(shí)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 值得注意的是：由于沒有點(diǎn)、直線、平面的有關(guān)知識(shí)，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)不能建立在嚴(yán)格的邏輯推理的根底上，這與以往的教材有較大的區(qū)別，教師在教學(xué)中要充分注意到這一點(diǎn).本節(jié)教學(xué)盡量使用信息技術(shù)等手段，向?qū)W生展示更多具有典型幾何結(jié)構(gòu)特征的空間物體，增強(qiáng)學(xué)生的感受. 三維目標(biāo) 1.掌握柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力. 2.能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征. 教學(xué)難點(diǎn)：歸納柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.從古至今，各個(gè)國家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大廈的旋轉(zhuǎn)酒吧、旋轉(zhuǎn)餐廳，還有上海東方明珠塔上的兩個(gè)球形建筑等.它們都是獨(dú)具匠心、整體協(xié)調(diào)的建筑物，是建筑師們集體智慧的結(jié)晶.今天我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度來看待這些建筑物呢？引出課題：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征. 思路2.在我們的生活中會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些具有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結(jié)構(gòu)特征如何？引導(dǎo)學(xué)生回憶，舉例和相互交流.教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)及時(shí)給予評(píng)價(jià).引出課題：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 1.觀察下面的圖片，請(qǐng)將這些圖片中的物體分成兩類，并說明分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 圖1 2.你能給出多面體和旋轉(zhuǎn)體的定義嗎？ 活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論，根據(jù)初中已有的知識(shí)，學(xué)生很快就能分成兩類，對(duì)沒有思路的學(xué)生，教師予以提示. 1.根據(jù)圍成幾何體的面是否都是平面來分類. 2.根據(jù)圍成幾何體的面的特點(diǎn)來定義多面體，利用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來定義旋轉(zhuǎn)體. 討論結(jié)果： 1.通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，〔2〕、〔5〕、〔7〕、〔9〕、〔13〕、〔14〕、〔15〕、〔16〕具有同樣的特點(diǎn)：組成幾何體的每個(gè)面都是平面圖形，并且都是平面多邊形，像這樣的幾何體稱為多面體；〔1〕、〔3〕、〔4〕、〔6〕、〔8〕、〔10〕、〔11〕、〔12〕具有同樣的特點(diǎn)：組成它們的面不全是平面圖形，像這樣的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體. 2.多面體：一般地，由假設(shè)干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).按圍成多面體的面數(shù)分為：四面體、五面體、六面體、……，一個(gè)多面體最少有4個(gè)面，四面體是三棱錐.棱柱、棱錐、棱臺(tái)均是多面體. 旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球均是旋轉(zhuǎn)體. 提出問題 1.與其他多面體相比，圖片中的多面體〔5〕、〔7〕、〔9〕具有什么樣的共同特征？ 2.請(qǐng)給出棱柱的定義？ 3.與其他多面體相比，圖片中的多面體〔14〕、〔15〕具有什么樣的共同特征？ 4.請(qǐng)給出棱錐的定義. 5.利用同樣的方法給出棱臺(tái)的定義. 活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，如果學(xué)生沒有思路時(shí)，教師再提示. 對(duì)于1、3，可根據(jù)圍成多面體的各個(gè)面的關(guān)系來分析. 對(duì)于2,利用多面體〔5〕、〔7〕、〔9〕的共同特征來定義棱柱. 對(duì)于4,利用多面體〔14〕、〔15〕的共同特征來定義棱錐. 對(duì)于5,利用圖片中的多面體〔13〕、〔16〕的共同特征來定義棱臺(tái). 討論結(jié)果： 1.特點(diǎn)是：有兩個(gè)面平行，其余的面都是平行四邊形.像這樣的幾何體稱為棱柱. 2.定義：兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體稱為棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn). 表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱. 分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3.其中一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形，這樣的幾何體稱為棱錐. 4.定義：有一面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱. 表示法：用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示. 分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 5.定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部叫做棱臺(tái).原棱錐的底面和截面叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；底面多邊形與側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn). 表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺(tái). 分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)…… 提出問題 1.與其他旋轉(zhuǎn)體相比，圖片中的旋轉(zhuǎn)體〔1〕、〔8〕具有什么樣的共同特征？ 2.請(qǐng)給出圓柱的定義. 3.其他旋轉(zhuǎn)體相比，圖片中的旋轉(zhuǎn)體〔3〕、〔6〕具有什么樣的共同特征？ 4.請(qǐng)給出圓錐的定義. 5.類比圓錐和圓柱的定義方法，請(qǐng)給出圓臺(tái)的定義. 6.用同樣的方法給出球的定義. 討論結(jié)果： 1.靜態(tài)的觀點(diǎn)：有兩個(gè)平行的平面，其他的面是曲面；動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)：矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體.像這樣的旋轉(zhuǎn)體稱為圓柱. 2.定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，圓柱的側(cè)面又稱為圓柱面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線. 表示：圓柱用表示軸的字母表示. 規(guī)定：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體. 3.靜態(tài)的觀點(diǎn)：有一平面，其他的面是曲面；動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)：直角三角形繞其一直角邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體.像這樣的旋轉(zhuǎn)體稱為圓錐. 4.定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的底面；不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面，圓錐的側(cè)面又稱為圓錐面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓錐側(cè)面的母線. 表示：圓錐用表示軸的字母表示. 規(guī)定：圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體. 5.定義：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái).還可以看成是用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截面與底面之間的局部.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓臺(tái)的底面；不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓臺(tái)側(cè)面的母線. 表示：圓臺(tái)用表示軸的字母表示. 規(guī)定：圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體. 6.定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體稱為球體，簡稱球.半圓的圓心稱為球心，連接球面上任意一點(diǎn)與球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段稱為球的直徑. 表示：用表示球心的字母表示. 知識(shí)總結(jié)： 1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征比擬，如下表所示: 結(jié)構(gòu)特征 棱柱 棱錐 棱臺(tái) 定義 兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體稱為棱柱 有一面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部，這樣的多面體叫做棱臺(tái) 底面 兩底面是全等的多邊形 多邊形 兩底面是相似的多邊形 側(cè)面 平行四邊形 三角形 梯形 側(cè)棱 平行且相等 相交于頂點(diǎn) 延長線交于一點(diǎn) 平行于底面的截面 與兩底面是全等的多邊形 與底面是相似的多邊形 與兩底面是相似的多邊形 過不相鄰兩側(cè)棱的截面 平行四邊形 三角形 梯形 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征比擬，如下表所示: 結(jié)構(gòu)特征 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 定義 以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱 以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐 以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái) 以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球 底面 兩底面是平行且半徑相等的圓 圓 兩底面是平行但半徑不相等的圓 無 側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán) 不可展開 母線 平行且相等 相交于頂點(diǎn) 延長線交于一點(diǎn) 無 平行于底面的截面 與兩底面是平行且半徑相等的圓 平行于底面且半徑不相等的圓 與兩底面是平行且半徑不相等的圓 球的任何截面都是圓 軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓 3.簡單幾何體的分類： 應(yīng)用例如 思路1 例1 以下幾何體是棱柱的有〔 〕 圖2 A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè) 活動(dòng)：判斷一個(gè)幾何體是哪種幾何體，一定要緊扣柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，注意定義中的特殊字眼，切不可馬虎大意. 棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行.當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱.很明顯，幾何體②④⑤⑥均不符合，僅有①③符合. 答案：D 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征.此題容易錯(cuò)認(rèn)為幾何體②也是棱柱，其原因是無視了棱柱必須有兩個(gè)面平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，防止出現(xiàn)此類錯(cuò)誤的方法是將教材中的各種幾何體的結(jié)構(gòu)特征放在一起比照，并且和圖形對(duì)應(yīng)起來記憶，要做到看到文字表達(dá)就想到圖，看到圖形就想到文字表達(dá). 變式訓(xùn)練 1.以下幾個(gè)命題中， ①兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái); ②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái); ③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體; ④分別以矩形兩條不等的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)，所得到的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱. 其中正確的有__________個(gè).〔 〕 A.1 B.2 C.3 D.4 分析：①中兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會(huì)交于一點(diǎn)，所以①是錯(cuò)誤的；②中兩個(gè)底面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形，也有可能兩底面根本就不相似，所以②不正確；③中底面不一定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的. 答案：A 2.以下命題中正確的選項(xiàng)是〔 〕 A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱 C.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐 D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn) 答案：D 3.以下命題中正確的選項(xiàng)是〔 〕 A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐 B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái) C.圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面 D.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑 分析：以直角梯形垂直于底的腰為軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，所以B不正確；圓錐僅有一個(gè)底面，所以C不正確；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以D不正確.很明顯A正確. 答案：A 思路2 例1 〔2007寧夏模擬，理6〕長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的外表的最短距離為〔 〕 A. B. C. D. 活動(dòng)：解決空間幾何體外表上兩點(diǎn)間最短線路問題，一般都是將空間幾何體外表展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間線段長，這表達(dá)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想. 解：如圖3，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1. 圖3 如圖4所示，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開, 圖4 那么有AC1=，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是； 如圖5所示，將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開, 那么有AC1=，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是； 圖5 如圖6所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開, 圖6 那么有AC1=，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是. 由于＜，＜， 所以由A到C1在正方體外表上的最短距離為. 答案：C 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查空間幾何體的簡單運(yùn)算及轉(zhuǎn)化思想.求外表上最短距離可把圖形展成平面圖形. 變式訓(xùn)練 1.圖7是邊長為1 m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住，請(qǐng)制作出實(shí)物模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線. 圖7 圖8 分析：制作實(shí)物模型(略).通過正方體的展開圖8可以發(fā)現(xiàn),AB間的最短距離為A、B兩點(diǎn)間的線段的長.由展開圖可以發(fā)現(xiàn),C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn).具體爬行路線如圖9中的粗線所示,我們要注意的是爬行路線并不唯一. 解：爬行路線如圖9(1)—(6)所示： 圖9 2.〔2006江西高考，理15〕如圖10所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為_________. 圖10 分析：將正三棱柱ABC—A1B1C1沿側(cè)棱AA1展開，其側(cè)面展開圖如圖11所示，那么沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長就是圖11中AD+DA1.延長A1F至M，使得A1F=FM，連接DM，那么A1D=DM，如圖12所示. 圖11 圖12 那么沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長就是圖12中線段AM的長.在圖12中,△AA1M是直角三角形，那么AM==10. 答案：10 知能訓(xùn)練 1.〔2007廣東中山二模，文2〕如圖13，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的選項(xiàng)是〔 〕 圖13 A.〔1〕是棱臺(tái) B.〔2〕是圓臺(tái) C.〔3〕是棱錐 D.〔4〕不是棱柱 分析：圖〔1〕不是由棱錐截來的，所以〔1〕不是棱臺(tái)；圖〔2〕上下兩個(gè)面不平行，所以〔2〕不是圓臺(tái)；圖〔4〕前后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以〔4〕是棱柱；很明顯〔3〕是棱錐. 答案：C 2.下面幾何體中，過軸的截面一定是圓面的是〔 〕 A.圓柱 B.圓錐 C.球 D.圓臺(tái) 分析：圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是圓面，所以A、B、D均不正確. 答案：C 3.〔2007山東菏澤二模，文13〕一個(gè)無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，如圖14所示，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，那么在正方體盒子中∠ABC=____________. 圖14 分析：如圖15所示，折成正方體，很明顯點(diǎn)A、B、C是上底面正方形的三個(gè)頂點(diǎn)， 那么∠ABC=90°. 圖15 答案：90° 4.〔2007山東東營三模，文13〕有一粒正方體的骰子每一個(gè)面有一個(gè)英文字母，如圖16所示.從3種不同角度看同一粒骰子的情況，請(qǐng)問H反面的字母是___________. 圖16 分析：正方體的骰子共有6個(gè)面，每個(gè)面都有一個(gè)字母，從每一個(gè)圖中都看到有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面，與標(biāo)有S的面相鄰的面共有四個(gè)，由這三個(gè)圖,知這四個(gè)面分別標(biāo)有字母H、E、O、p、d，因此只能是標(biāo)有“p〞與“d〞的面是同一個(gè)面，p與d是一個(gè)字母；翻轉(zhuǎn)圖②，使S面調(diào)整到正前面，使p轉(zhuǎn)成d，那么O為正下面，所以H的反面是O. 答案：O 5.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45°，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長和底面半徑. 分析：這類題目應(yīng)該選取軸截面研究幾何關(guān)系. 解：圓臺(tái)的軸截面如圖17， 圖17 設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長AA1交OO1的延長線于S. 在Rt△SOA中，∠ASO=45°，那么∠SAO=45°. 所以SO=AO=3x.所以O(shè)O1=2x. 又〔6x+2x〕·2x=392，解得x=7， 所以圓臺(tái)的高OO1=14 cm，母線長l=OO1=cm，而底面半徑分別為7 cm和21 cm, 即圓臺(tái)的高14 cm，母線長cm，底面半徑分別為7 cm和21 cm. 6.〔2005全國高中數(shù)學(xué)競賽浙江預(yù)賽，4〕正方體的截平面不可能是 ①鈍角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五邊形;⑤正六邊形. 下述選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是：〔 〕 A.①②⑤ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤ 分析：正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形〔證明略〕；對(duì)四邊形來講，可以是梯形〔等腰梯形〕、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形〔證明略〕；對(duì)五邊形來講，不可能是正五邊形〔證明略〕；對(duì)六邊形來講，可以是六邊形〔正六邊形〕. 答案：B 拓展提升 1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？ 分析：如圖18所示，此幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個(gè)幾何體不是棱柱，因此說有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱. 圖18 由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱柱，關(guān)鍵是緊扣棱柱的3個(gè)本質(zhì)特征：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.這3個(gè)特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特征③. 2.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？ 剖析：如圖19所示，將正方體ABCD—A1B1C1D1截去兩個(gè)三棱錐A—A1B1D1和C—B1C1D1，得如圖20所示的幾何體. 圖19 圖20 圖20所示的幾何體有一個(gè)面ABCD是四邊形，其余各面都是三角形的幾何體，很明顯這個(gè)幾何體不是棱錐，因此說有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐. 由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱錐，關(guān)鍵是緊扣棱錐的3個(gè)本質(zhì)特征：①有一個(gè)面是多邊形；②其余各面都是三角形；③這些三角形面有一個(gè)公共頂點(diǎn).這3個(gè)特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特征③. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺(tái)體、球體的結(jié)構(gòu)特征. 作業(yè) 1.如圖21，甲所示為一幾何體的展開圖. 圖21 (1)沿圖中虛線將它們折疊起來，是哪一種幾何體？試用文字描述并畫出示意圖. (2)需要多少個(gè)這樣的幾何體才能拼成一個(gè)棱長為6 cm的正方體？請(qǐng)?jiān)趫D乙棱長為6 cm的正方體ABCD—A1B1C1D1中指出這幾個(gè)幾何體的名稱. 答案：(1)有一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，如圖22甲所示. 圖22 (2)需要3個(gè)這樣的幾何體，如圖22乙所示.分別為四棱錐：A1—CDD1C1，A1—ABCD，A1—BCC1B1. 2.如圖23，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4.M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求P點(diǎn)的位置. 圖23 分析：把三棱錐展開后放在平面上，通過列方程解應(yīng)用題來求出P到C點(diǎn)的距離,即確定了P點(diǎn)的位置. 解：如圖24所示，把正三棱錐展開后，設(shè)CP=x, 圖24 根據(jù)可得方程22+〔3+x)2=29.解得x=2. 所以P點(diǎn)的位置在離C點(diǎn)距離為2的地方. 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)，充分表達(dá)了新課標(biāo)的精神，按課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：降低邏輯推理，通過直觀感受和操作確認(rèn)來設(shè)計(jì).在使用時(shí)，建議使用信息技術(shù)來處理圖片和例題，否那么會(huì)造成課時(shí)缺乏的矛盾. 備課資料 備用習(xí)題 1.試描述圖13軸承所示的承架的結(jié)構(gòu)特征. 圖13 答案：底板：其外部結(jié)構(gòu)是一個(gè)長方體；半圓頭豎板：其下部是一個(gè)長方體，上部是半個(gè)圓柱，中間挖了一圓柱孔. 2.如圖14，四邊形ABCD繞邊AD所在直線EF旋轉(zhuǎn)，其中AD∥BC，AD⊥CD，當(dāng)點(diǎn)A選在射線DE上的不同位置時(shí)，形成的幾何體大小、形狀不同，比擬其異同點(diǎn). 圖14 答案：當(dāng)AD＞BC時(shí)，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為底面半徑為CD的圓柱和圓錐拼成； 當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱； 當(dāng)0＜AD＜BC時(shí)，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱中挖去一個(gè)同底的圓錐； 當(dāng)AD=0時(shí)，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱中挖去一個(gè)同底等高的圓錐. 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，只有把我們周圍的物體形狀正確迅速分解開，才能清醒地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的根底.簡單幾何體〔柱體、錐體、臺(tái)體和球〕是構(gòu)成簡單組合體的根本元素.本節(jié)教材主要是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了柱、錐、臺(tái)、球的根底上，運(yùn)用它們的結(jié)構(gòu)特征來描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征. 三維目標(biāo) 1.掌握簡單組合體的概念，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力. 2.能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)通過建立幾何模型來研究空間圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想. 重點(diǎn)難點(diǎn) 描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.在我們的生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？我們的教學(xué)樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都不是簡單幾何體，那么如何描述它們的結(jié)構(gòu)特征呢？教師指出課題：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 思路2.現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺(tái)體和球體等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體，這節(jié)課學(xué)習(xí)的課題是：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①請(qǐng)指出以下幾何體是由哪些簡單幾何體組合而成的. 圖1 ②觀察圖1，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，簡單組合體有幾種組合形式？ ③請(qǐng)你總結(jié)長方體與球體能組合成幾種不同的組合體.它們之間具有怎樣的關(guān)系？ 活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1，教師適當(dāng)時(shí)候再提示. ①略. ②圖1中的三個(gè)組合體分別代表了不同形式. ③學(xué)生可以分組討論，教師可以制作有關(guān)模型展示. 討論結(jié)果：①由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.現(xiàn)實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.圖1〔1〕是一個(gè)四棱錐和一個(gè)長方體拼接成的，這是多面體與多面體的組合體；圖1〔2〕是一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，這是旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體；圖1〔3〕是一個(gè)球和一個(gè)長方體拼接成的，這是旋轉(zhuǎn)體與多面體的組合體. ②常見的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.其根本形式實(shí)質(zhì)上有兩種：一種是由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體，如圖1〔1〕和〔3〕所示的組合體；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一局部而成的簡單組合體，如圖1〔2〕所示的組合體. ③常見的球與長方體構(gòu)成的簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征：1°長方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，此時(shí)長方體稱為球的內(nèi)接長方體，球是長方體的外接球，并且長方體的對(duì)角線是球的直徑；2°一球與正方體的所有棱相切，那么正方體每個(gè)面上的對(duì)角線長等于球的直徑；3°一球與正方體的所有面相切，那么正方體的棱長等于球的直徑. 應(yīng)用例如 思路1 例1 請(qǐng)描述如圖2所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征. 圖2 活動(dòng)：回憶簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再將各個(gè)組合體分解為簡單幾何體.依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征依次作出判斷. 解：圖2〔1〕是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體； 圖2〔2〕是由一個(gè)長方體截去一個(gè)三棱錐后剩下的局部得到的組合體； 圖2〔3〕是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐剩下的局部得到的組合體. 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力. 變式訓(xùn)練 如圖3所示，一個(gè)圓環(huán)繞著同一個(gè)平面內(nèi)過圓心的直線l旋轉(zhuǎn)180°，想象并說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 圖3 答案：一個(gè)大球內(nèi)部挖去一個(gè)同球心且半徑較小的球. 例2 連接正方體的相鄰各面的中心〔所謂中心是指各面所在正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)〕，所得的一個(gè)幾何體是幾面體？并畫圖表示該幾何體. 活動(dòng)：先畫出正方體，然后取各個(gè)面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖4(1)，再作出判斷. (1) (2) 圖4 解：如圖4(1)，正方體ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分別是各外表的中心.由點(diǎn)O1、O2、O3、O4、O5、O6組成了一個(gè)八面體，而且該八面體共有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱.該多面體的圖形如圖4〔2〕所示. 點(diǎn)評(píng)：此題中的八面體，事實(shí)上是正八面體——八個(gè)面都是全等的正三角形，并且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見，該八面體可看成是由兩個(gè)全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間一個(gè)四邊形O2O3O4O5還是正方形，當(dāng)然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)畫得“正〞些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜〞些，并且“后面的〞線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4應(yīng)畫成虛線. 變式訓(xùn)練 連接上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問所得的幾何體又是幾面體？ 答案：六面體〔正方體〕. 思路2 例1 如圖5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 圖5 圖6 活動(dòng)：讓學(xué)生思考AB、AD、DC與旋轉(zhuǎn)軸BC是否垂直，以此確定所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 解：如圖6所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接成的組合體. 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查空間想象能力以及旋轉(zhuǎn)體、簡單組合體. 變式訓(xùn)練 如圖7所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 圖7 圖8 答案：如圖8所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余局部而成的組合體. 例2 如圖9〔1〕、〔2〕所示的兩個(gè)組合體有什么區(qū)別？ 圖9 活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論和思考，教師及時(shí)點(diǎn)撥和評(píng)價(jià)學(xué)生. 解：圖9〔1〕所示的組合體是一個(gè)長方體上面又放置了一個(gè)圓柱，也就是一個(gè)長方體和一個(gè)圓柱拼接成的組合體；而圖9〔2〕所示的組合體是一個(gè)長方體中挖去了一個(gè)圓柱剩余局部構(gòu)成的組合體. 點(diǎn)評(píng)：考查空間想象能力和組合體的概念. 變式訓(xùn)練 如圖10，說出以下物體可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？ 圖10 答案：圖10〔1〕中的幾何體可以看作是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐拼接而成；圖10〔2〕中的螺帽可以近似看作是一個(gè)正六棱柱中挖掉一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體. 知能訓(xùn)練 1.〔2005湖南數(shù)學(xué)競賽，9〕假設(shè)干個(gè)棱長為2、3、5的長方體，依相同方向拼成棱長為90的正方體，那么正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長方體的個(gè)數(shù)是〔 〕 A.64 B.66 C.68 D.70 分析：由2、3、5的最小公倍數(shù)為30，由2、3、5組成的棱長為30的正方體的一條對(duì)角線穿過的長方體為整數(shù)個(gè)，所以由2、3、5組成棱長為90的正方體的一條對(duì)角線穿過的小長方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù). 答案：B 2.圖11是一個(gè)獎(jiǎng)杯，可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？ 圖11 答案：獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái)，底座的上面是一個(gè)正四棱柱，獎(jiǎng)杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放著一個(gè)球. 拓展提升 1.請(qǐng)想一想正方體的截面可能是什么形狀的圖形？ 活動(dòng)：靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看幾何問題的形成，容易建立空間想象力，這樣對(duì)于分割和組合圖形是有好處的. 明確棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的生成過程，以及柱、錐、臺(tái)的相互關(guān)系，對(duì)于我們正確的割補(bǔ)圖形也是有好處的. 對(duì)于正方體的分割，可通過實(shí)物模型，實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)，還可借助于多媒體手段進(jìn)行切割實(shí)驗(yàn).對(duì)于切割所得的平面圖形可根據(jù)它的定義進(jìn)行證明，從而判斷出各個(gè)截面的形狀. 探究：此題考查立體幾何的空間想象能力，通過嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否認(rèn)性的答案： 〔1〕截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形. 〔2〕截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形. 〔3〕截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形至少有一組對(duì)邊平行. 〔4〕截面不能是直角梯形. 〔5〕截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等；截面五邊形不可能是正五邊形. 〔6〕截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等. 〔7〕截面六邊形可以是等角〔均為120°〕的六邊形，即正六邊形. 截面圖形如圖12中各圖所示： 圖12 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了簡單組合體的概念和結(jié)構(gòu)特征. 作業(yè) 習(xí)題1.1 A組 第3題；B組 第2題. 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量立體圖形，認(rèn)識(shí)簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描繪現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).在教學(xué)時(shí)，盡量多給學(xué)生一些圖片，以便學(xué)生形成直觀感知，初步獲得感性認(rèn)識(shí). 備課資料 1.科技新知 恐龍的形成 電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入電影行業(yè)，導(dǎo)致了電影制作技術(shù)的革命，電腦特技所顯示出的近乎無所不能的威力，使電影可以展示出人類夢(mèng)想中的世界.1993年，在好萊塢制作的科幻片?侏羅紀(jì)公園?里，造型逼真，兇猛殘暴的恐龍令觀眾深感恐懼.這是借電腦技術(shù)創(chuàng)造的一個(gè)銀幕奇跡.為了拍攝?侏羅紀(jì)公園?，美國ILM〔工業(yè)光磁〕工作室經(jīng)過3個(gè)月的艱苦工作，調(diào)用10億字節(jié)的儲(chǔ)存容量在電腦屏幕上制作出一頭3米長的恐龍外形.繪制人員把綠色的非洲風(fēng)景照片輸入電腦，同時(shí)將恐龍的形像嵌入照片內(nèi)，再模擬兩架照相機(jī)的屢次成像過程，把照片上僅有的一頭恐龍變成10多頭恐龍.然后再由繪畫專家把恐龍每一秒內(nèi)的動(dòng)作分解為24幅連續(xù)變化的靜止畫面，將每幅畫面按照上述過程制成電影膠片，這樣經(jīng)放映機(jī)放映后，觀眾就可以從銀幕上看到一群恐龍?jiān)诓莸厣喜东C的奇幻場(chǎng)面了.為了讓他們創(chuàng)造的恐龍像真的猛獸那樣在銀幕上追逐廝殺,ILM的超級(jí)繪畫計(jì)算機(jī)繪制出了一個(gè)恐龍運(yùn)動(dòng)特寫鏡頭，每一幅草圖上都畫出恐龍的三視圖，甚至標(biāo)出每一塊骨骼的位置.先在已有的骨骼上附上肌肉，然后根據(jù)日照的明暗程度給它上色，最后通過皺紋，鱗片和一些泥土對(duì)它進(jìn)行細(xì)致的調(diào)整. 在現(xiàn)在形形色色的網(wǎng)絡(luò)游戲中，三視圖知識(shí)更是得到普遍的運(yùn)用，不管是人物的制作還是場(chǎng)景的制作都離不開三視圖，三視圖的制作猶如文章的草稿.無論是在2D游戲制作還是在3D游戲模型制作前，都要針對(duì)角色或個(gè)別道具進(jìn)行三視圖的指定. 2.畫組合體的三視圖 畫組合體的三視圖時(shí)，往往不知從何下手，畫不出三視圖.其突破方法是首先掌握組合體的結(jié)構(gòu)特征，弄清組合體是由哪些根本幾何體組成的，是采用什么方式構(gòu)成的.確定好外表的交線，外部可見輪廓線，內(nèi)部不可見輪廓線，定好正視、俯視、側(cè)視的方向.注意用好“長對(duì)正，高平齊,寬相等〞的作圖原那么，便可完成三視圖的繪畫.下面以圖26所示的軸承架為例，說明組合體三視圖的畫法和步驟： 圖26 〔1〕形體分析：分析組合體由哪幾局部組成，各局部之間的相對(duì)位置等.如圖25的軸承架由底板和半圓頭豎板兩個(gè)根本局部組成. ①底板：其外部結(jié)構(gòu)是一個(gè)長方體. ②半圓頭豎板：其下部是一個(gè)長方體，上部是半個(gè)圓柱，中間挖了一圓柱孔. 〔2〕選擇正視圖：畫圖時(shí)，首先要確定正視圖，一般以最能反映該組合體各局部形狀和位置特征的一個(gè)視圖為正視圖. 對(duì)于本例中的軸承架，選擇圖示中的箭頭方向的投影畫正視圖，就可明顯地反映出底板、半圓頭豎板的形狀特征和它們之間的相對(duì)位置關(guān)系. 〔3〕畫圖步驟： ①布置視圖：畫作圖基線，如圖27就是軸承架的作圖基線. 圖27 圖28 ②畫底稿，一般從正視圖畫起，如圖28所示. ③過正視圖引垂直線和水平線，根據(jù)寬度尺寸完成正視圖、俯視圖、側(cè)視圖，如圖29 所示. 圖29 由此看要畫好組合體的三視圖，首先要掌握常見的柱、錐、臺(tái)、球等常見幾何體的三視圖，再結(jié)合組合體三視圖的畫法與步驟畫三視圖. 〔設(shè)計(jì)者：國建群〕 1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 中心投影與平行投影 空間幾何體的三視圖 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 在上一節(jié)認(rèn)識(shí)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的根底上，本節(jié)來學(xué)習(xí)空間幾何體的表示形式，以進(jìn)一步提高對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).主要內(nèi)容是：畫出空間幾何體的三視圖. 比擬準(zhǔn)確地畫出幾何圖形，是學(xué)好立體幾何的一個(gè)前提.因此，本節(jié)內(nèi)容是立體幾何的根底之一，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)給以充分的重視. 畫三視圖是立體幾何中的根本技能，同時(shí)，通過三視圖的學(xué)習(xí)，可以豐富學(xué)生的空間想象力.“視圖〞是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“正視圖〞，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖〞，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖〞.用這三種視圖即可刻畫空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，這種圖稱之為“三視圖〞. 教科書從復(fù)習(xí)初中學(xué)過的正方體、長方體……的三視圖出發(fā)，要求學(xué)生自己畫出球、長方體的三視圖；接著，通過“思考〞提出了“由三視圖想象幾何體〞的學(xué)習(xí)任務(wù).進(jìn)行幾何體與其三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化是高中階段的新任務(wù)，這是提高學(xué)生空間想象力的需要，應(yīng)當(dāng)作為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn). 三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐，動(dòng)手作圖來完成.因此，教科書主要通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手作圖來展示教學(xué)內(nèi)容.教學(xué)中，教師可以通過提出問題，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐的過程中學(xué)會(huì)三視圖的作法，體會(huì)三視圖的作用.對(duì)于簡單幾何體的組合體，在作三視圖之前應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)識(shí)了它的根本結(jié)構(gòu)特征后，再動(dòng)手作圖.教材中的“探究〞可以作為作業(yè)，讓學(xué)生在課外完成后，再把自己的作品帶到課堂上來展示交流. 值得注意的問題是三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐、動(dòng)手作圖來完成.另外，教學(xué)中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片，讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形. 三維目標(biāo) 1.掌握平行投影和中心投影，了解空間圖形的不同表示形式和相互轉(zhuǎn)化，開展學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 2.能畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的三視圖，并能識(shí)別上述三視圖表示的立體模型，會(huì)用材料〔如紙板〕制作模型，提高學(xué)生識(shí)圖和畫圖的能力，培養(yǎng)其探究精神和意識(shí). 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：畫出簡單組合體的三視圖，給出三視圖和直觀圖，復(fù)原或想象出原實(shí)際圖的結(jié)構(gòu)特征. 教學(xué)難點(diǎn)：識(shí)別三視圖所表示的幾何體. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.能否熟練畫出上節(jié)所學(xué)習(xí)的幾何體？工程師如何制作工程設(shè)計(jì)圖紙？ 我們常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體，三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)幾何體而畫出的圖形；直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體而畫出的圖形.三視圖和直觀圖在工程建設(shè)、機(jī)械制造以及日常生活中具有重要意義.本節(jié)我們將在學(xué)習(xí)投影知識(shí)的根底上，學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖. 教師指出課題：投影和三視圖. 思路2. “橫看成嶺側(cè)成峰〞，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比擬真實(shí)地反映出物體的結(jié)構(gòu)特征，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖〔正視圖、側(cè)視圖、俯視圖〕，你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？教師點(diǎn)出課題：投影和三視圖. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①如圖1所示的五個(gè)圖片是我國民間藝術(shù)皮影戲中的局部片斷，請(qǐng)同學(xué)們考慮它們是怎樣得到的? 圖1 ②通過觀察和自己的認(rèn)識(shí),你是怎樣來理解投影的含義的? ③請(qǐng)同學(xué)們觀察圖2的投影過程，它們的投影過程有什么不同？ 圖2 ④圖2〔2〕〔3〕都是平行投影，它們有什么區(qū)別？ ⑤觀察圖3，與投影面平行的平面圖形，分別在平行投影和中心投影下的影子和原圖形的形狀、大小有什么區(qū)別？ 圖3 活動(dòng)：①教師介紹中國的民間藝術(shù)皮影戲，學(xué)生觀察圖片. ②從投影的形成過程來定義. ③從投影方向上來區(qū)別這三種投影. ④根據(jù)投影線與投影面是否垂直來區(qū)別. ⑤觀察圖3并歸納總結(jié)它們各自的特點(diǎn). 討論結(jié)果：①這種現(xiàn)象我們把它稱為是投影. ②由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影幕. ③圖2〔1〕的投影線交于一點(diǎn)，我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影；圖2〔2〕和〔3〕的投影線平行，我們把在一束平行光線照射下形成投影稱為平行投影. ④圖2〔2〕中，投影線正對(duì)著投影面，這種平行投影稱為正投影；圖2〔3〕中，投影線不是正對(duì)著投影面，這種平行投影稱為斜投影. ⑤在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是全等的平面圖形；在中心投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是相似的平面圖形.以后我們用正投影的方法來畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖. 知識(shí)歸納：投影的分類如圖4所示. 圖4 提出問題 ①在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，請(qǐng)你回憶三視圖包含哪些局部？ ②正視圖、側(cè)視圖和俯視圖各是如何得到的？ ③一般地，怎樣排列三視圖？ ④正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖，它們都是平面圖形.觀察長方體的三視圖，你能得出同一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)系嗎？ 討論結(jié)果：①三視圖包含正視圖、側(cè)視圖和俯視圖. ②光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的正視圖〔又稱主視圖〕；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的側(cè)視圖〔又稱左視圖〕；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的俯視圖. ③三視圖的位置關(guān)系：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊；俯視圖在正視圖的下邊.如圖5所示. 圖5 ④投影規(guī)律： 〔1〕正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度. 〔2〕一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣，即正、俯視圖——長對(duì)正；主、側(cè)視圖——高平齊；俯、側(cè)視圖——寬相等. 畫組合體的三視圖時(shí)要注意的問題： 〔1〕要確定好主視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體三視的方向不同，所畫的三視圖可能不同. 〔2〕判斷簡單組合體的三視圖是由哪幾個(gè)根本幾何體生成的，注意它們的生成方式，特別是它們的交線位置. 〔3〕假設(shè)相鄰兩物體的外表相交，外表的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見輪廓線，用虛線畫出. 〔4〕要檢驗(yàn)畫出的三視圖是否符合“長對(duì)正、高平齊、寬相等〞的根本特征，即正、俯視圖長對(duì)正；正、側(cè)視圖高平齊；俯、側(cè)視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng). 由三視圖復(fù)原為實(shí)物圖時(shí)要注意的問題： 我們由實(shí)物圖可以畫出它的三視圖，實(shí)際生產(chǎn)中，工人要根據(jù)三視圖加工零件，需要由三視圖復(fù)原成實(shí)物圖，這要求我們能由三視圖想象它的空間實(shí)物形狀，主要通過主、俯、左視圖的輪廓線〔或補(bǔ)充后的輪廓線〕復(fù)原成常見的幾何體，復(fù)原實(shí)物圖時(shí)，要先從三視圖中初步判斷簡單組合體的組成，然后利用輪廓線〔特別要注意虛線〕逐步作出實(shí)物圖. 應(yīng)用例如 思路1 例1 畫出圓柱和圓錐的三視圖. 活動(dòng)：學(xué)生回憶正投影和三視圖的畫法，教師引導(dǎo)學(xué)生自己完成. 解：圖6〔1〕是圓柱的三視圖，圖6〔2〕是圓錐的三視圖. (1) (2) 圖6 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查簡單幾何體的三視圖和空間想象能力.有關(guān)三視圖的題目往往依賴于豐富的空間想象能力.要做到邊想著幾何體的實(shí)物圖邊畫著三視圖，做到想圖〔幾何體的實(shí)物圖〕和畫圖〔三視圖〕相結(jié)合. 變式訓(xùn)練 說出以下圖7中兩個(gè)三視圖分別表示的幾何體. (1) (2) 圖7 答案：圖7〔1〕是正六棱錐；圖7〔2〕是兩個(gè)相同的圓臺(tái)組成的組合體. 例2 試畫出圖8所示的礦泉水瓶的三視圖. 活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)這種容器的結(jié)構(gòu)特征.礦泉水瓶是我們熟悉的一種容器，這種容器是簡單的組合體，其主要結(jié)構(gòu)特征是從上