數(shù)學(xué)第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第四節(jié) 直接證明與間接證明 文

第四節(jié)直接證明與間接證明總綱目錄教材研讀1.直接證明考點(diǎn)突破2.間接證明考點(diǎn)二分析法考點(diǎn)一綜合法考點(diǎn)三反證法內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立成立從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQQ P1P1 P2P2 P3得到一個(gè)明顯成立的條件文字語言因?yàn)樗曰蛴傻靡C只需證即證1.直接證明直接證明教材研讀教材研讀2.間接證明間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題不成立不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立原命題成立的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:(i)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(ii)歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立. 1.命題“對任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應(yīng)用了()A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法B答案答案 B因?yàn)樽C明過程是“從左往右”,即由條件結(jié)論,故選B.2.要證a2+b2-1-a2b20,只要證明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.-1-a2b20442ab2()2abD.(a2-1)(b2-1)0答案答案 D a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0.D3.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”,假設(shè)正確的是()A.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60度B.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度C.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度B答案答案 B根據(jù)反證法的定義,假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定,故假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度.故選B.4.若a,b,c為實(shí)數(shù),且ab0,則下列命題正確的是()A.ac2abb2C. 1a1bbaabB答案答案 B a2-ab=a(a-b),ab0,a-b0,a2ab.又ab-b2=b(a-b)0,abb2,由得a2abb2.5.若,成等比數(shù)列,則lox= .23x32g2答案答案2解析解析由題意得()2=,所以=,所以x=.設(shè)lox=y,即=,所以y=2,即lox=2.32xx329232g32y9223232g6.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為 .21x cncn+1答案答案 cncn+1 解析解析由題意知,an=,bn=n,cn=-n=.顯然,cn隨著n的增大而減小,cncn+1.21n 21n 211nn 典例典例1數(shù)列an滿足an+1=,a1=1.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,并證明+.21nnaa 1na1na11S21S1nS1nn考點(diǎn)一綜合法考點(diǎn)一綜合法考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)證明:an+1=,=,化簡得=2+,即-=2,故數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知=2n-1,Sn=n2.解法一:+=+=+=1-=,21nnaa 11na21nnaa11na1na11na1na1na1na(121)2nn11S21S1nS21121221n11 212 31(1)n n1121123111nn11n1nn即+.解法二:+=+1,1,+.11S21S1nS1nn11S21S1nS21121221n1nn11S21S1nS1nn規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)綜合法證題的思路 1-1如圖,三棱錐P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,點(diǎn)D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點(diǎn)F在線段AB上,且EFBC.證明:AB平面PFE.2證明證明由DE=EC,PD=PC知,E為等腰PDC中DC邊的中點(diǎn),故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,從而PEAB.又ABC=,EFBC,故ABEF.從而AB與平面PFE內(nèi)兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.21-2 (2018山東濟(jì)寧質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,cR且c0)在-1,1上有兩個(gè)零點(diǎn),求證:-22b+c2.證明證明設(shè)函數(shù)f(x)在-1,1上的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2(不妨設(shè)x1x2),所以f(x)=(x-x1)(x-x2).因?yàn)閏0,所以f(0)=c0,所以-1x10 x21,所以22-x13,12-x22,所以2(2-x1)(2-x2)6.因?yàn)閒(2)=(2-x1)(2-x2),所以2f(2)6.因?yàn)閒(2)=4+2b+c,所以-22b+clg a+lg b+lg c.2ab2bc2ca證明證明 lg+lg+lglg a+lg b+lg c,即lglg abc,也就是abc.因?yàn)閍,b,c是不全相等的正數(shù),所以顯然有abc成立,所以lg+lg+lglg a+lg b+lg c.2ab2bc2ca222ab bc ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca2-2已知函數(shù)f(x)=tan x,x,若x1,x2,且x1x2,求證:f(x1)+f(x2)f.證明要證f(x1)+f(x2)f,即證明(tan x1+tan x2)tan,只需證明tan,只需證明.由于x1,x2,故x1+x2(0,).0,20,212122xx12122xx12122xx121212sinsincoscosxxxx122xx1212sin()2coscosxxxx1212sin()1cos()xxxx0,2所以cos x1cos x20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0.故只需證明1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2,即證1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2.即證cos(x1-x2)f.0,212122xx典例典例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列.考點(diǎn)三反證法考點(diǎn)三反證法解析解析(1)當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=an,所以an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=.(2)證明:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,rN*),則2=+,所以22r-q=2r-p+1.(*)又因?yàn)閜qr,且p,q,rN*,所以r-q,r-pN*.所以(*)式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立.1212112n12q12p12r所以假設(shè)不成立,原命題得證.規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.3-1已知a0,證明:關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根.證明證明由于a0,因此方程至少有一個(gè)根x=.假設(shè)x1,x2是它的兩個(gè)不同的根,即ax1=b,ax2=b,由-得a(x1-x2)=0,因?yàn)閤1x2,所以x1-x20,所以a=0,這與已知矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤;所以當(dāng)a0時(shí),方程a=b有且只有一個(gè)根.ba3-2已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD=,SA=1.(1)求證:SA平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.2解析解析(1)證明:由已知得SA2+AD2=SD2,SAAD.同理,SAAB.又ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,SA平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF平面SAD.BCAD,BC 平面SAD.BC平面SAD.而BCBF=B,平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾,假設(shè)不成立.不存在這樣的點(diǎn)F,使得BF平面SAD.