2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第6講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)習(xí)題 理 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第6講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)習(xí)題 理 新人教A版 一、選擇題 1.(xx·湖南卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是(　　) A.奇函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù) B.奇函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù) C.偶函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù) D.偶函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù) 解析　法一　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，1)，任取x∈(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，則f(x)是奇函數(shù).又∵當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＝＋＝＞0，∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù).綜上，選A. 法二　同法一知f(x)是奇函數(shù). 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝ln＝ln＝ln. ∵y＝(x∈(0，1))是增函數(shù)，y＝ln x也是增函數(shù)， ∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù).綜上，選A. 答案　A 2.若函數(shù)y＝logax( a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是(　　) 解析　由題意y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象過(guò)(3，1)點(diǎn)，可解得a＝3.選項(xiàng)A中，y＝3－x＝，顯然圖象錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項(xiàng)C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項(xiàng)D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，顯然不符.故選B. 答案　B 3. (xx·青島二中模擬)已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是(　　) A.d＝ac B.a＝cd C.c＝ad D.d＝a＋c 解析　由已知得b＝5a，b＝10c，5d＝10， ∴5a＝10c，5d＝10，同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)可得， alg 5＝c，dlg 5＝1，∴＝，即a＝cd. 答案　B 4.(xx·四川卷)設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a＞3b＞3”是“l(fā)oga3＜logb3”的(　　) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析　“3a＞3b＞3”等價(jià)于“a＞b＞1”， “l(fā)oga3＜logb3”等價(jià)于“a＞b＞1或0＜a＜1＜b或0＜b＜a＜1”，從而“3a＞3b＞3”是“l(fā)oga3＜logb3”的充分不必要條件. 答案　B 5.(xx·日照模擬)設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是(　　) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析　由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1， ∴f(x)＝lg的定義域?yàn)?－1，1). 由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0. 答案　A 二、填空題 6.(xx·徐州模擬)若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝，則a＝________. 解析　f(lg a)＝alg a－＝＝， ∴alg a＝(10a)，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得(lg a)2＝(1＋lg a)， ∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－. ∴a＝10或a＝. 答案　10或 7.函數(shù)y＝log(x2－2x)的定義域是________；單調(diào)遞減區(qū)間是________. 解析　由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?－∞，0)∪(2， ＋∞). ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴函數(shù)y＝log(x2－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，＋∞). 答案　(－∞，0)∪(2，＋∞)　(2，＋∞) 8.(xx·福建卷)若函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________. 解析　當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上為減函數(shù)，∴f(x) ∈[4， ＋∞)，當(dāng)x＞2時(shí)，若a∈(0，1)，則f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上為減函數(shù)，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，顯然不滿足題意，∴a＞1，此時(shí)f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)∈(3＋loga2，＋∞).由題意可知(3＋loga2，＋∞)?[4，＋∞)，則3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2. 答案　(1，2] 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明； (3)當(dāng)a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的解集. 解　(1)要使函數(shù)f(x)有意義.則解得－1<x<1.故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－1<x<1}. (2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)閧x|－1<x<1}， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)為奇函數(shù). (3)因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，f(x)在定義域{x|－1<x<1}內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0?>1，解得0<x<1. 所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}. 10.已知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，如果對(duì)于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝logax在上單調(diào)遞增， 要使x∈都有|f(x)|≤1成立， 則有解得a≥3.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＝logax在上單調(diào)遞減，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，則有解得0＜a≤.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪[3，＋∞). 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11. (xx·臨沂模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝loga，＝logb，＝log2c，則(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 解析　∵a＞0，∴2a＞1，∴l(xiāng)oga＞1，∴0＜a＜. 又∵b＞0，∴0＜＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1. 又∵＞0，∴l(xiāng)og2c＞0，∴c＞1， ∴0＜a＜＜b＜1＜c，故選A. 答案　A 12.設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，則f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.2loga8 解析　由f(x1x2…x2 017)＝8，得loga(x1x2…x2 017)＝8， 所以f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋…＋logax ＝loga(x·x·…x)＝2loga(x1x2…x2 017)＝2×8＝16. 答案　C 13.(xx·湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，則ab的取值范圍是________. 解析　由題意可知ln＋ln＝0， 即ln＝0，從而×＝1，化簡(jiǎn)得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋， 又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜，故0＜－＋＜. 答案　 14.已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果對(duì)任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解　(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2， 因?yàn)閤∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇0，2]. (2)由f(x2)·f()>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因?yàn)閤∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t對(duì)一切t∈[0，2]恒成立， ①當(dāng)t＝0時(shí)，k∈R； ②當(dāng)t∈(0，2]時(shí)，k<恒成立，即k<4t＋－15，因?yàn)?t＋≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)取等號(hào)，所以4t＋－15的最小值為－3， 綜上，k∈(－∞，－3).