《(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:壓軸大題突破練(二)直線與圓錐曲線(2)文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:壓軸大題突破練(二)直線與圓錐曲線(2)文(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:壓軸大題突破練(二)直線與圓錐曲線(2)文
1.(2018·威海模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與拋物線C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=2|PQ|.
(1)求p的值;
(2)已知點(diǎn)T(t,-2)為C上一點(diǎn),M,N是C上異于點(diǎn)T的兩點(diǎn),且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為-,證明直線MN恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
解 (1)設(shè)Q(x0,4),由拋物線定義知|QF|=x0+,
又|QF|=2|PQ|,即2x0=x0+,解得x0=,
將點(diǎn)Q代入拋物線方程,解得p=4.
(2)由(1)知,C的方程
2、為y2=8x,
所以點(diǎn)T坐標(biāo)為,
設(shè)直線MN的方程為x=my+n,
點(diǎn)M,N,
由
得y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0.
所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,
所以kMT+kNT=+
=+
=
==-,
解得n=m-1,
所以直線MN的方程為x+1=m(y+1),恒過定點(diǎn)(-1,-1).
2.(2018·南昌模擬)已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)F(1,0),且與直線x=-1相切.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程E;
(2)已知點(diǎn)P(4,-4),Q(8,4),過點(diǎn)Q的直線l交曲線E于點(diǎn)A,B,設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值,并求出此定
3、值.
解 (1)設(shè)C(x,y),由=,
得動(dòng)圓圓心C的軌跡方程E為y2=4x,
(2)依題意知直線AB的斜率不為0,
設(shè)AB方程為x-8=m(y-4),即x=my-4m+8,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得y2-4my+16m-32=0,且Δ>0恒成立,
∴y1+y2=4m,y1y2=16m-32,
∴kPA·kPB=·
=·=
=
==-1(定值).
3.(2018·四省名校大聯(lián)考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)F(1,0),過直線l:x=4左側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PH⊥l于點(diǎn)H,∠HPF的角平分線交x軸于點(diǎn)M,且|PH|=2|MF|,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C
4、.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)F作直線l′交曲線C于A,B兩點(diǎn),設(shè)=λ,若λ∈,求|AB|的取值范圍.
解 (1)設(shè)P(x,y),由題意可知|MF|=|PF|,
所以==,
即=,化簡(jiǎn)整理得+=1,
即曲線C的方程為+=1.
(2)由題意,得直線l′的斜率k≠0,
設(shè)直線l′的方程為x=my+1,
由
得(3m2+4)y2+6my-9=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
所以Δ=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0恒成立,
且y1+y2=,y1y2=-,①
又因?yàn)椋溅耍裕瓂1=λy2,②
聯(lián)立①②,消去y1,y2,得=,
5、
因?yàn)椋溅耍?∈,
所以0≤≤,
解得0≤m2≤.
又|AB|=|y1-y2|
==
=4-,
因?yàn)?≤3m2+4≤,
所以|AB|=4-∈.
所以|AB|的取值范圍是.
4.(2018·合肥模擬)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,短軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn),P為橢圓C上位于x軸上方的點(diǎn),直線PA交y軸于點(diǎn)M,點(diǎn)N在y軸上,且·=0,設(shè)直線AN交橢圓C于另一點(diǎn)Q,求△APQ面積的最大值.
解 (1)由題意得解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)由題意可設(shè)直線PA的方
6、程為y=k(x+4),k>0,
則M(0,4k),
又F(2,0),且·=0,
所以MF⊥FN,
所以直線FN的方程為y=(x-2),
則N,聯(lián)立
消去y并整理得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-16=0,
解得x1=-4,x2=,
則P,
直線AN的方程為y=-(x+4),
同理可得Q,
所以P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即PQ過原點(diǎn),
所以△APQ的面積S=OA·|yP-yQ|
=2·=≤8,
當(dāng)且僅當(dāng)2k=,即k=時(shí),等號(hào)成立,
所以△APQ面積的最大值為8.
5.(2018·峨眉山模擬)如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2,0),與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)
7、M在點(diǎn)N的下方),且|MN|=3.
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)M任作一條直線與橢圓+=1相交于兩點(diǎn)A,B,連接AN,BN,求證:∠ANM=∠BNM.
(1)解 由題意可知圓心的坐標(biāo)為.
∵|MN|=3,∴r2=2+22=,r=,
∴圓C的方程為(x-2)2+2=.
(2)證明 由圓C方程可得M(0,1),N(0,4),
①當(dāng)AB斜率不存在時(shí),∠ANM=∠BNM=0°;
②當(dāng)AB斜率存在時(shí),
設(shè)直線AB方程為y=kx+1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kx-6=0,
x1+x2=-,x1x2=-,
∴kAN+kBN=+
=
==0,
∴kAN+kBN=0,
綜上所述,∠ANM=∠BNM.