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1、(全國通用版)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 12+4分項練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 理
1.(2018·貴陽模擬)如圖,在△ABC中,BE是邊AC的中線,O是BE邊的中點,若=a,=b,則等于( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
答案 B
解析 ∵在△ABC中,BE是AC邊上的中線,
∴=,
∵O是BE邊的中點,
∴=(+),
∴=+,
∵=a,=b,
∴=a+b.
2.已知向量a=(2,4),|b|=2,|a-2b|=8,則a在a+b方向上的投影為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由a=(2,4),|b|=2,|a-
2、2b|=8,
可知|a|==2,
(a-2b)2=a2+4b2-4a·b=64,
則a·b=-7,
所以a在a+b方向上的投影為
=
==.
3.若兩個非零向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,則a與b的夾角為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 設(shè)a,b的夾角為θ,θ∈[0,π],
則由|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,
得(2a+b)2=12,
即(2a)2+4a·b+b2=4+4a·b+4=12,
所以a·b=1,所以cos θ=,所以θ=.
4.(2018·上饒模擬)設(shè)D,E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分
3、點,且BC=2,則·等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如圖,
||=||=2,〈,〉=60°,
∵D,E是邊BC的兩個三等分點,
∴·=·=·
=||2+·+||2=×4+×2×2×+×4=.
5.(2018·東北三省三校模擬)非零向量a,b 滿足:=,a·(a-b)=0,則a-b與b 夾角的大小為( )
A.135° B.120° C.60° D.45°
答案 A
解析 ∵非零向量a,b滿足a·(a-b)=0,所以a2=a·b,由= 可得,
a2-2a·b+b2=a2,解得|b|=|a|,
設(shè)a-b與b的夾角為θ,
則cos
4、θ==
==-,
又∵θ∈[0°,180°],∴θ=135°.
6.(2018·東北師大附中模擬)《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五等諸侯,共分橘子六十顆,人別加三顆.問:五人各得幾何?”其意思為:有5個人分60個橘子,他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列,問5人各得多少個橘子.這個問題中,得到橘子最多的人所得的橘子個數(shù)是( )
A.15 B.16 C.18 D.21
答案 C
解析 設(shè)第一個人分到的橘子個數(shù)為a1,
由題意得S5=5a1+×3=60,解得a1=6,
則a5=a1+(5-1)×3=6+12=18.
7.(2018·南昌模擬)在《
5、周易》中,長橫“”表示陽爻,兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦,共有23=8(種)組合方法,這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有兩種不同的情況,有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況,有放回地取陽爻和陰爻三次有八種情況.所謂的“算卦”,就是兩個八卦的疊合,即共有放回地取陽爻和陰爻六次,得到六爻,然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻,這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在一次所謂“算卦”中得到六爻,
基本事件的總數(shù)為n=26=64,
這六爻恰好有三個陽
6、爻包含的基本事件數(shù)為m=C=20,
所以這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是P===.
8.(2018·新鄉(xiāng)模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有三人共車,二車空;二人共車,九人步.問人與車各幾何?”意思是:今有3人坐一輛車,有2輛車是空的;2人坐一輛車,有9個人需要步行.問人與車各多少?如圖是該問題中求人數(shù)的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,則輸出S的值為( )
A.31 B.33 C.35 D.39
答案 D
解析 結(jié)合題中所給的程序框圖運行程序如下:
首先初始化數(shù)據(jù):n=1,
第一次循環(huán):n=n+2=3,S=3n=9,T=2n+13=19,滿足S
7、
第二次循環(huán):n=n+2=5,S=3n=15,T=2n+13=23,滿足S
8、C.-2 D.-1
答案 C
解析 建立如圖所示的平面直角坐標系,使得點D在原點處,點A在y軸上,則A(0,2).
設(shè)點P的坐標為(x,y),
則=,=(-x,-y),
故·+·=·=2·=2
=2-2≥-2,當且僅當x=0,y=1時等號成立.
所以·+·的最小值為-2.
10.(2018·大連模擬)關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐試驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值,試驗步驟如下:①先請高二年級 500名同學(xué)每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x,y)(0
9、將此卡片上交;③統(tǒng)計上交的卡片數(shù),記為m;④根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m估計π的值.假如本次試驗的統(tǒng)計結(jié)果是m=113,那么可以估計π的值約為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由題意,500對都小于1的正實數(shù)對(x,y)滿足面積為1,
設(shè)能與1構(gòu)成銳角三角形的最大角為α,
則三邊的數(shù)對(x,y)需滿足cos α=>0且
即x2+y2>1且
面積為1-,
因為統(tǒng)計能與1構(gòu)成銳角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個數(shù)m=113,
所以=1-,所以π=.
11.(2018·南平質(zhì)檢)我國古代著名的數(shù)學(xué)著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《
10、孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算機》等10部算書,被稱為“算經(jīng)十書”.某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣.一天,他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”;?。骸氨纫叶唷保腥さ氖?,他們說的這些話中,只有一個人說的是真實的,而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同).甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是( )
A.乙甲丙丁 B.甲丁乙丙
C.丙甲丁乙 D.甲丙乙丁
答案 D
解析 由題意可列表格如下:
11、
甲
乙
丙
丁
甲說
丁>乙
乙說
甲>丙
丙說
丙>丁
丁說
丙>乙
對于選項A,甲,丁說的都對,不符合只有一個人對;對于選項B,丙,丁說的都對,也不符合只有一個人對;對于選項C,乙說的對,但乙不是最少的,不符合;對于選項D,甲說的對,也正好是最少的,符合,選D.
12.已知在三角形ABC中,AB
12、 D.
答案 C
解析 由題意可知AB=2,AC=2,
BC==4.
建立如圖所示的坐標系,
則點A(0,0),B(2,0),C(0,2).
設(shè)=λ,λ∈,=,
則F(2-2λ,2λ),E.
所以·=(2-2λ,2λ)·
=3-4λ-3λ+4λ2+12λ2+3λ
=16λ2-4λ+3=162+∈.
因為點A到BC邊的距離d==,
所以△AEF的面積S△AEF=EF·=為定值.
所以==tan θ,
故tan θ==∈,故選C.
13.(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是,|a|=1,|b|=,則向量a-2b與a的夾角為________.
答案
13、解析 a·b=cos =,
a·(a-2b)=a2-2a·b=,
|a-2b|=
===1.
設(shè)向量a-2b與a的夾角為θ,cos θ==,
又因為θ∈[0,π],
所以θ=.
14.(2018·寧德質(zhì)檢)我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家張丘建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人,他在《張丘建算經(jīng)》中給出一個解不定方程的百雞問題,問題如下:雞翁一,值錢五,雞母一,值錢三,雞雛三,值錢一.百錢買百雞,問雞翁母雛各幾何?用代數(shù)方法表述為:設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x,y,z,則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解.其解題過程可用程序框圖表示,如圖所示,則程序框圖中正整數(shù)m的值為_______
14、_.
答案 4
解析 由得y=25-x,
故x必為4的倍數(shù),
當x=4t時,y=25-7t,
由y=25-7t>0得,t的最大值為3,
故判斷框應(yīng)填入的是t<4?,
即m=4.
15.(2018·湘潭模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有倉,廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛,問高幾何?”其意思為:“今有一個長方體(記為ABCD-A1B1C1D1)的糧倉,寬3丈(即AD=3丈),長4丈5尺,可裝粟一萬斛,問該糧倉的高是多少?”已知1斛粟的體積為2.7立方尺,一丈為10尺,則下列判斷正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的序號)
①該糧
15、倉的高是2丈;
②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為;
③長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為π平方丈.
答案?、佗?
解析 由題意,因為10 000×2.7=30×45×AA1,解得AA1=20(尺)=2(丈),故①正確;
異面直線AD與BC1所成角為∠CBC1,
則sin∠CBC1==,故②錯誤,
此長方體的長、寬、高分別為4.5丈、3丈、2丈,
故其外接球的表面積為
4π2=π(平方丈),
所以③是正確的.
16.(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為1,A,B,C,D為該圓上四個點,且+=,則△ABC面積的最大值為________.
答案 1
解析 如圖所示,由+=知,四邊形ABDC為平行四邊形,
又A,B,C,D 四點共圓,
∴四邊形ABDC 為矩形,即BC 為圓的直徑,
△ABC的面積S=AB·AC≤·
=AD2,
∴當AD是圓的直徑時,△ABC的面積最大.
∴當AB=AC 時,
△ABC的面積取得最大值×4=1.