（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復習 12＋4分項練4 平面向量與數(shù)學文化 理

（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復習 12＋4分項練4 平面向量與數(shù)學文化 理 1．(2018·貴陽模擬)如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　∵在△ABC中，BE是AC邊上的中線， ∴＝， ∵O是BE邊的中點， ∴＝(＋)， ∴＝＋， ∵＝a，＝b， ∴＝a＋b. 2．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，則a在a＋b方向上的投影為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝＝2， (a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64， 則a·b＝－7， 所以a在a＋b方向上的投影為 ＝ ＝＝. 3．若兩個非零向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]， 則由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2， 得(2a＋b)2＝12， 即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12， 所以a·b＝1，所以cos θ＝，所以θ＝. 4．(2018·上饒模擬)設D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分點，且BC＝2，則·等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖， ||＝||＝2，〈，〉＝60°， ∵D，E是邊BC的兩個三等分點， ∴·＝·＝· ＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝. 5．(2018·東北三省三校模擬)非零向量a，b 滿足：＝，a·(a－b)＝0，則a－b與b 夾角的大小為(　　) A．135° B．120° C．60° D．45° 答案　A 解析　∵非零向量a，b滿足a·(a－b)＝0，所以a2＝a·b，由＝ 可得， a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝|a|， 設a－b與b的夾角為θ， 則cos θ＝＝ ＝＝－， 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝135°. 6．(2018·東北師大附中模擬)《孫子算經》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問：五人各得幾何？”其意思為：有5個人分60個橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少個橘子．這個問題中，得到橘子最多的人所得的橘子個數(shù)是(　　) A．15 B．16 C．18 D．21 答案　C 解析　設第一個人分到的橘子個數(shù)為a1， 由題意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6， 則a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18. 7．(2018·南昌模擬)在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻．有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23＝8(種)組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．有放回地取陽爻和陰爻一次有兩種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次有八種情況．所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析．在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在一次所謂“算卦”中得到六爻， 基本事件的總數(shù)為n＝26＝64， 這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為m＝C＝20， 所以這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是P＝＝＝. 8．(2018·新鄉(xiāng)模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：今有3人坐一輛車，有2輛車是空的；2人坐一輛車，有9個人需要步行．問人與車各多少？如圖是該問題中求人數(shù)的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出S的值為(　　) A．31 B．33 C．35 D．39 答案　D 解析　結合題中所給的程序框圖運行程序如下： 首先初始化數(shù)據：n＝1， 第一次循環(huán)：n＝n＋2＝3，S＝3n＝9，T＝2n＋13＝19，滿足S<T； 第二次循環(huán)：n＝n＋2＝5，S＝3n＝15，T＝2n＋13＝23，滿足S<T； 第三次循環(huán)：n＝n＋2＝7，S＝3n＝21，T＝2n＋13＝27，滿足S<T； 第四次循環(huán)：n＝n＋2＝9，S＝3n＝27，T＝2n＋13＝31，滿足S<T； 第五次循環(huán)：n＝n＋2＝11，S＝3n＝33，T＝2n＋13＝35，滿足S<T； 第六次循環(huán)：n＝n＋2＝13，S＝3n＝39，T＝2n＋13＝39，不滿足S<T，此時結束循環(huán)，輸出S＝39. 9．(2018·聊城模擬)在△ABC中，BC邊上的中線AD的長為2，點P是△ABC所在平面上的任意一點，則·＋·的最小值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，使得點D在原點處，點A在y軸上，則A(0,2)． 設點P的坐標為(x，y)， 則＝，＝(－x，－y)， 故·＋·＝·＝2·＝2 ＝2－2≥－2，當且僅當x＝0，y＝1時等號成立． 所以·＋·的最小值為－2. 10．(2018·大連模擬)關于圓周率π，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的試驗來估計π的值，試驗步驟如下：①先請高二年級 500名同學每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能與1構成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計上交的卡片數(shù)，記為m；④根據統(tǒng)計數(shù)m估計π的值．假如本次試驗的統(tǒng)計結果是m＝113，那么可以估計π的值約為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意，500對都小于1的正實數(shù)對(x，y)滿足面積為1， 設能與1構成銳角三角形的最大角為α， 則三邊的數(shù)對(x，y)需滿足cos α＝>0且 即x2＋y2>1且 面積為1－， 因為統(tǒng)計能與1構成銳角三角形三邊的數(shù)對(x，y)的個數(shù)m＝113， 所以＝1－，所以π＝. 11．(2018·南平質檢)我國古代著名的數(shù)學著作有《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《孫丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算機》等10部算書，被稱為“算經十書”．某校數(shù)學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代著名的數(shù)學著作產生濃厚的興趣．一天，他們根據最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是(　　) A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙 C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁 答案　D 解析　由題意可列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲說 丁>乙 乙說 甲>丙 丙說 丙>丁 丁說 丙>乙 對于選項A，甲，丁說的都對，不符合只有一個人對；對于選項B，丙，丁說的都對，也不符合只有一個人對；對于選項C，乙說的對，但乙不是最少的，不符合；對于選項D，甲說的對，也正好是最少的，符合，選D. 12．已知在三角形ABC中，AB<AC，∠BAC＝90°，邊AB，AC的長分別為方程x2－2(1＋)x＋4＝0的兩個實數(shù)根，若斜邊BC上有異于端點的E，F(xiàn)兩點，且EF＝1，∠EAF＝θ，則tan θ的取值范圍為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意可知AB＝2，AC＝2， BC＝＝4. 建立如圖所示的坐標系， 則點A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)． 設＝λ，λ∈，＝， 則F(2－2λ，2λ)，E. 所以·＝(2－2λ，2λ)· ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ ＝16λ2－4λ＋3＝162＋∈. 因為點A到BC邊的距離d＝＝， 所以△AEF的面積S△AEF＝EF·＝為定值． 所以＝＝tan θ， 故tan θ＝＝∈，故選C. 13．(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是，|a|＝1，|b|＝，則向量a－2b與a的夾角為________． 答案　 解析　a·b＝cos ＝， a·(a－2b)＝a2－2a·b＝， |a－2b|＝ ＝＝＝1. 設向量a－2b與a的夾角為θ，cos θ＝＝， 又因為θ∈[0，π]， 所以θ＝. 14．(2018·寧德質檢)我國南北朝時期的數(shù)學家張丘建是世界數(shù)學史上解決不定方程的第一人，他在《張丘建算經》中給出一個解不定方程的百雞問題，問題如下：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一．百錢買百雞，問雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為：設雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x，y，z，則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解．其解題過程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數(shù)m的值為________． 答案　4 解析　由得y＝25－x， 故x必為4的倍數(shù)， 當x＝4t時，y＝25－7t， 由y＝25－7t>0得，t的最大值為3， 故判斷框應填入的是t<4？， 即m＝4. 15．(2018·湘潭模擬)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？”其意思為：“今有一個長方體(記為ABCD－A1B1C1D1)的糧倉，寬3丈(即AD＝3丈)，長4丈5尺，可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是________．(填寫所有正確結論的序號) ①該糧倉的高是2丈； ②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為； ③長方體ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面積為π平方丈． 答案　①③ 解析　由題意，因為10 000×2.7＝30×45×AA1，解得AA1＝20(尺)＝2(丈)，故①正確； 異面直線AD與BC1所成角為∠CBC1， 則sin∠CBC1＝＝，故②錯誤， 此長方體的長、寬、高分別為4.5丈、3丈、2丈， 故其外接球的表面積為 4π2＝π(平方丈)， 所以③是正確的． 16．(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個點，且＋＝，則△ABC面積的最大值為________． 答案　1 解析　如圖所示，由＋＝知，四邊形ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D 四點共圓， ∴四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑， △ABC的面積S＝AB·AC≤· ＝AD2， ∴當AD是圓的直徑時，△ABC的面積最大． ∴當AB＝AC 時， △ABC的面積取得最大值×4＝1.