(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練(80分)解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一)理
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(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練(80分)解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一)理
(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練(80分)解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一)理
1.如圖,在△ABC中,已知B=,AC=4,D為BC邊上一點(diǎn).
(1)若AD=2,S△DAC=2,求DC的長(zhǎng);
(2)若AB=AD,試求△ADC的周長(zhǎng)的最大值.
解 (1)∵S△DAC=2,
∴·AD·AC·sin∠DAC=2,
∴sin∠DAC=.
∵∠DAC<∠BAC<π-=,
∴∠DAC=.
在△ADC中,由余弦定理得,
DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos ,
∴DC2=4+48-2×2×4×=28,
∴DC=2.
(2)∵AB=AD,B=,
∴△ABD為正三角形.
在△ADC中,根據(jù)正弦定理,可得
==,
∴AD=8sin C,DC=8sin,
∴△ADC的周長(zhǎng)為
AD+DC+AC
=8sin C+8sin+4
=8+4
=8+4
=8sin+4,
∵∠ADC=,∴0<C<,
∴<C+<,
∴當(dāng)C+=,
即C=時(shí),△ADC的周長(zhǎng)取得最大值,且最大值為8+4.
2.(2018·鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,其前n項(xiàng)和為Sn,若a2+a8=22,且a4,a7,a12成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若Tn=++…+,證明:Tn<.
(1)解 ∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a2+a8=22,
∴a5=(a2+a8)=11.
∵a4,a7,a12成等比數(shù)列,
∴a=a4·a12,
即(11+2d)2=(11-d)·(11+7d),
又d≠0,
∴d=2,
∴a1=11-4×2=3,
∴an=3+2(n-1)=2n+1(n∈N*).
(2)證明 由(1)得,Sn==n(n+2),
∴==,
∴Tn=++…+
=
=
=-<.
∴Tn<.
3.(2018·廈門質(zhì)檢)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=,BC=2AD=2,E為CD的中點(diǎn),PB⊥AE.
(1)證明:平面PBD⊥平面ABCD;
(2)若PB=PD,PC與平面ABCD所成的角為,求二面角B-PD-C的余弦值.
(1)證明 由ABCD是直角梯形,
AB=,BC=2AD=2,可得DC=2,BD=2,
從而△BCD是等邊三角形,
∠BCD=,BD平分∠ADC,
∵E為CD的中點(diǎn),DE=AD=1,
∴BD⊥AE.
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,
又PB,BD?平面PBD,
∴AE⊥平面PBD.
∵AE?平面ABCD,
∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)解 方法一 作PO⊥BD于點(diǎn)O,連接OC,
∵平面PBD⊥平面ABCD,
平面PBD∩平面ABCD=BD,
PO?平面PBD,
∴PO⊥平面ABCD,
∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角,∠PCO=,
又∵PB=PD,
∴O為BD的中點(diǎn),OC⊥BD,OP=OC=,
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),
=(0,,-),=(-1,0,-).
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
由得
令z=1,則x=-,y=1,得n=(-,1,1).
又平面PBD的一個(gè)法向量為m=(0,1,0),
設(shè)二面角B-PD-C的平面角為θ,
則|cos θ|===,
由圖可知θ為銳角,
∴所求二面角B-PD-C的余弦值是.
方法二 作PO⊥BD于點(diǎn)O,連接OC,
∵平面PBD⊥平面ABCD,
平面PBD∩平面ABCD=BD,
PO?平面PBD,
∴PO⊥平面ABCD,
∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角,∠PCO=,
又∵PB=PD,
∴O為BD的中點(diǎn),OC⊥BD,OP=OC=,
作OH⊥PD于點(diǎn)H,連接CH,
則PD⊥平面CHO,
又HC?平面CHO,則PD⊥HC,
則∠CHO為所求二面角B-PD-C的平面角.
由OP=,得OH=,
∴CH=,
∴cos∠CHO===.
4.(2018·益陽(yáng)模擬)某大型水果超市每天以10元/千克的價(jià)格從水果基地購(gòu)進(jìn)若干A水果,然后以15元/千克的價(jià)格出售,若有剩余,則將剩余的水果以8元/千克的價(jià)格退回水果基地,為了確定進(jìn)貨數(shù)量,該超市記錄了A水果最近50天的日需求量(單位:千克),整理得下表:
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
頻數(shù)
5
10
8
8
7
7
5
以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.
(1)若該超市一天購(gòu)進(jìn)A水果150千克,記超市當(dāng)天A水果獲得的利潤(rùn)為X(單位:元),求X的分布列及期望;
(2)若該超市計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)A水果150千克或160千克,請(qǐng)以當(dāng)天A水果獲得的利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù),在150千克與160千克之中任選其一,應(yīng)選哪一個(gè)?若受市場(chǎng)影響,剩余的水果以7元/千克的價(jià)格退回水果基地,又該選哪一個(gè)?
解 (1)若A水果日需求量為140千克,
則X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)
=680(元),
且P(X=680)==0.1.
若A水果日需求量不小于150千克,
則X=150×(15-10)=750(元),
且P(X=750)=1-0.1=0.9.
故X的分布列為
X
680
750
P
0.1
0.9
E(X)=680×0.1+750×0.9=743.
(2)設(shè)該超市一天購(gòu)進(jìn)A水果160千克,
當(dāng)天的利潤(rùn)為Y(單位:元),
則Y的可能取值為
140×5-20×2,150×5-10×2,160×5,
即660,730,800,
則Y的分布列為
Y
660
730
800
P
0.1
0.2
0.7
E(Y)=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772.
因?yàn)?72>743,所以該超市應(yīng)購(gòu)進(jìn)160千克A水果.
若剩余的水果以7元/千克的價(jià)格退回水果基地,
同理可得X,Y的分布列分別為
X
670
750
P
0.1
0.9
Y
640
720
800
P
0.1
0.2
0.7
因?yàn)?70×0.1+750×0.9<640×0.1+720×0.2+800×0.7,
所以該超市還是應(yīng)購(gòu)進(jìn)160千克A水果.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:+=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)K(2,0)作一直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)作直線l:x=的垂線,垂足分別為A1,B1,試問直線AB1與A1B的交點(diǎn)是否為定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)由題意得?
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線l:x=,
AB1與A1B的交點(diǎn)是.
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB為y=k(x-2),
由
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
A1,B1,
所以:y=+y2,
:y=+y1,
聯(lián)立解得x==
==,
代入上式可得y=+y2
=
==0.
綜上,直線AB1與A1B過(guò)定點(diǎn).
6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≥0對(duì)任意x∈[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)θ∈時(shí),試比較ln(tan θ)與tan的大小,并說(shuō)明理由.
解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x+1)ln x-(x-1),
f′(x)=ln x+,
設(shè)g(x)=ln x+(x>0),則g′(x)=,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
g(x)min=g(1)=1>0,
∴f′(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,
無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)f′(x)=ln x++1-a=g(x)+1-a,
由(1)可知g(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
則g(x)≥g(1)=1,
即f′(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,且f′(1)=2-a,
①當(dāng)a≤2時(shí),f′(x)≥0,
f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)≥f(1)=0滿足條件;
②當(dāng)a>2時(shí),設(shè)h(x)=ln x++1-a(x≥1),
則h′(x)=-=≥0(x≥1),
∴h(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
且h(1)=2-a<0,h(ea)=1+e-a>0,
∴?x0∈[1,ea],使得h(x0)=0,
∴當(dāng)x∈[1,x0)時(shí),h(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
即當(dāng)x∈[1,x0)時(shí),f(x)≤f(1)=0,不滿足題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].
(3)由(2)可知,取a=2,
當(dāng)x>1時(shí),f(x)=(x+1)ln x-2(x-1)>0,
即ln x>,
當(dāng)0<x<1時(shí),>1,
∴l(xiāng)n>?<,
又∵tan=,
∴當(dāng)0<θ<時(shí),0<tan θ<1,
ln(tan θ)<tan;
當(dāng)θ=時(shí),tan θ=1,ln(tan θ)=tan;
當(dāng)<θ<時(shí),tan θ>1,
ln(tan θ)>tan.
綜上,當(dāng)θ∈時(shí),ln(tan θ)<tan;
當(dāng)θ=時(shí),ln(tan θ)=tan;
當(dāng)θ∈時(shí),ln(tan θ)>tan.