（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量教學(xué)案 理

專題七 隨機(jī)變量、空間向量 這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時(shí)較多，是高考的重點(diǎn)，近幾年通常交替式考查，對(duì)于空間向量的考查，以容易建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算空間角為主(2015年、2017年、2018年)，難度一般；概率題重點(diǎn)考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布等，難度中等偏難(2017年T23、2019年T23)．既考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理，又考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．　　　 第一講 | 隨機(jī)變量與分布列 題型(一) 離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望 　　　　　　　　 [典例感悟] [例1]　 (2019·南通等七市一模)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3 553等．顯然兩位“回文數(shù)”共9個(gè)：11，22，33，…，99，現(xiàn)從9個(gè)不同兩位“回文數(shù)”中任取1個(gè)乘以4，其結(jié)果記為X；從9個(gè)不同兩位“回文數(shù)”中任取2個(gè)相加，其結(jié)果記為Y. (1)求X為“回文數(shù)”的概率； (2)設(shè)隨機(jī)變量ξ表示X，Y兩數(shù)中“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [解]　(1)記“X是‘回文數(shù)’”為事件A，9個(gè)不同兩位“回文數(shù)”乘以4的值依次為44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文數(shù)”有44，88. 所以事件A的概率為. (2)由題意知，隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2. 由(1)得P(A)＝. 設(shè)“Y是‘回文數(shù)’”為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立． 根據(jù)已知條件得，P(B)＝＝. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝×＝； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＝； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝. 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. [方法技巧] 求離散型隨機(jī)變量分布列及期望的關(guān)鍵和步驟 由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是根據(jù)其分布列運(yùn)用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列，而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類問題主要就是求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率．具體步驟如下： [演練沖關(guān)] (2018·揚(yáng)州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》和《校園舞蹈賞析》兩場講座．已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座任意選聽一場．若A組1人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》． (1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率； (2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件M，則P(M)＝＝，故選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為. (2)X可能的取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 題型(二) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布 主要考查對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型的識(shí)別以及二項(xiàng)分布模型公式的應(yīng)用. [典例感悟] [例2]　(2019·南京鹽城二模)如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設(shè)從進(jìn)口A到出口B，每遇到一個(gè)岔路口，每位游客選擇任何一條道路行進(jìn)是等可能的．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口A的岔路口開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口B集合，設(shè)點(diǎn)C是其中的一個(gè)岔路口． (1)求甲經(jīng)過點(diǎn)C的概率； (2)設(shè)這4名游客中恰有X名游客經(jīng)過點(diǎn)C，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)設(shè)“甲經(jīng)過點(diǎn)C”為事件M， 從進(jìn)口A出發(fā)時(shí)，甲選中間的路的概率為，再從岔路到達(dá)點(diǎn)C的概率為， 所以選擇從中間一條路走到點(diǎn)C的概率P1＝×＝. 同理，選擇從最右邊的路走到點(diǎn)C的概率P2＝×＝ 所以P(M)＝P1＋P2＝＋＝. 故甲經(jīng)過點(diǎn)C的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4， 則P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝， P(X＝4)＝C××＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. [方法技巧] 二項(xiàng)分布的分布列及期望問題求解三步驟 第一步 判斷 二項(xiàng) 分布 先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，即若滿足：①對(duì)立性：即一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個(gè)發(fā)生；②重復(fù)性：試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，否則不服從二項(xiàng)分布 第二步 求概率 若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，還需要通過古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出試驗(yàn)中“成功”“不成功”的概率分別是多少 第三步 求期望 根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項(xiàng)分布期望公式求期望即可 [演練沖關(guān)] (2018·蘇北四市三調(diào))將4本不同的書隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)抽屜中． (1)求4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率； (2)設(shè)隨機(jī)變量X表示放在2號(hào)抽屜中書的本數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)將4本不同的書放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)抽屜中，共有44＝256種不同放法． 記“4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中”為事件A， 則事件A共包含A＝24個(gè)基本事件， 所以P(A)＝＝， 所以4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率為. (2)法一：X的所有可能取值為0，1，2，3，4， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1. 法二：每本書放入2號(hào)抽屜的概率為P(B)＝，P()＝1－＝. 根據(jù)題意X～B， 所以P(X＝k)＝C·，k＝0，1，2，3，4， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝4×＝1. 題型(三) 概率與其他知識(shí)的綜合 　　主要考查與概率或期望有關(guān)的綜合問題或在復(fù)雜背景下的概率與期望的綜合問題. [典例感悟] [例3]　(2018·南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局．根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)． (1)求P(2)與P(3)的值； (2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結(jié)論． [解]　(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局， 所以P(2)＝C＋C＝， 同理P(3)＝C＋C＋C＝. (2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n＋1局， 故P(n)＝C＋C＋…＋C ＝· ＝· ＝· ＝， 所以P(n＋1)＝. 又＝＝ ＝＝＞1， 所以＞，所以P(n)＜P(n＋1)． [方法技巧] 二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的交匯問題，其求解的一般思路是先利用二項(xiàng)分布求其P(n)和P(n＋1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、立體幾何等知識(shí)交匯命題． [演練沖關(guān)] 1．(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集An＝{(0，0)，(1，0)，(2，0)，…，(n，0)}，Bn＝{(0，1)，(n，1)}，Cn＝{(0，2)，(1，2)，(2，2)，…，(n，2)}，n∈N*.令Mn＝An∪Bn∪Cn.從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，求X的概率分布； (2)對(duì)給定的正整數(shù)n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，X的所有可能取值是1, ，2, . X的概率分布為P(X＝1)＝＝，P(X＝)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝ )＝＝. (2)設(shè)A(a，b)和B(c，d)是從Mn中取出的兩個(gè)點(diǎn)． 因?yàn)镻(X≤n)＝1－P(X>n)，所以僅需考慮X>n的情況． ①若b＝d，則AB≤n，不存在X>n的取法； ②若b＝0，d＝1，則AB＝ ≤， 所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB＝ ，此時(shí)a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2種取法； ③若b＝0，d＝2，則AB＝≤.因?yàn)楫?dāng)n≥3時(shí)，≤n，所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB＝，此時(shí)a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2種取法； ④若b＝1，d＝2，則AB＝≤，所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB＝ ，此時(shí)a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2種取法． 綜上，當(dāng)X>n時(shí)，X的所有可能取值是和，且P(X＝)＝，P(X＝)＝. 因此，P(X≤n)＝1－P(X＝)－P(X＝)＝1－. 2．(2017·江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，m＋n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k＝1，2，3，…，m＋n). 1 2 3 … m＋n (1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p； (2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<. 解：(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為： p＝＝. (2)證明：隨機(jī)變量X的概率分布為： X … … P … … 隨機(jī)變量X的期望為： E(X)＝∑m＋n,k＝n · ＝∑m＋n,k＝n ·. 所以E(X)<∑m＋n,k＝n ＝∑m＋n,k＝n ＝(1＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋…＋C) ＝…＝(C＋C) ＝＝， 即E(X)<. A組——大題保分練 1．(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個(gè)，分別編號(hào)為1，2，3，4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球． (1)若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)； (2)在(1)的條件下，記兩球編號(hào)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望． 解：(1)兩個(gè)球顏色不同的情況共有C·42＝96(種)． (2)隨機(jī)變量X所有可能的值為0，1，2，3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)一模)從批量較大的產(chǎn)品中隨機(jī)取出10件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，若這批產(chǎn)品的不合格率為0.05，隨機(jī)變量X表示這10件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品的件數(shù)． (1)問：這10件產(chǎn)品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪個(gè)大？ 請(qǐng)說明理由； (2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：∵批量較大，∴可以認(rèn)為隨機(jī)變量X～B(10，0.05)． (1)恰好有2件不合格的概率P(X＝2)＝C×0.052×0.958， 恰好有3件不合格的概率P(X＝3)＝C×0.053×0.957， ∵＝＝＞1， ∴P(X＝2)＞P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大． (2)令p＝0.05，P(X＝k)＝pk＝Cpk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10. 隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 1 2 … 10 P Cp0(1－p)10 Cp1(1－p)9 Cp2(1－p)8 … Cp10(1－p)0 故E(X)＝∑10,k＝0kpk＝10×0.05＝0.5. 3．(2019·南通、泰州等七市三模)現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP，學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類，且這兩類學(xué)習(xí)互不影響．已知該APP積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累計(jì)3分鐘積2分，每日上限積6分．經(jīng)過抽樣統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示，視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示． 表1 文章學(xué)習(xí)積分 1 2 3 4 5 概率 表2 視頻學(xué)習(xí)積分 2 4 6 概率 (1)現(xiàn)隨機(jī)抽取1人了解學(xué)習(xí)情況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率； (2)現(xiàn)隨機(jī)抽取3人了解學(xué)習(xí)情況，設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由題意知，獲得的積分不低于9分的情形有： 文章學(xué)習(xí)積分 3 4 5 5 視頻學(xué)習(xí)積分 6 6 4 6 因?yàn)閮深悓W(xué)習(xí)互不影響， 所以概率P＝×＋×＋×＋×＝， 所以每人每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率為. (2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3. 由(1)知每人每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率為，則 P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝C××＝； P(ξ＝2)＝C××＝； P(ξ＝3)＝＝. 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為. 4．已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實(shí)驗(yàn)小組對(duì)該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，若該實(shí)驗(yàn)小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨(dú)立)，用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對(duì)值． (1)求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望； (2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率． 解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0，1，2，3，4，對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4，3，2，1，0， 所以ξ的所有可能取值為0，2，4， P(ξ＝0)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C××＋C××＝， P(ξ＝4)＝C××＋C××＝. 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 0 2 4 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. (2)由(1)知ξ的所有可能取值為0，2，4， 當(dāng)ξ＝0時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，對(duì)x∈R恒成立，即解集為R； 當(dāng)ξ＝2時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0， 即2＋>0，對(duì)x∈R恒成立，即解集為R； 當(dāng)ξ＝4時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集為x≠，不滿足題意． 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝. B組——大題增分練 1．(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得A等級(jí)的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成績彼此獨(dú)立．規(guī)定：有一門學(xué)科獲A等級(jí)加1分，有兩門學(xué)科獲A等級(jí)加2分，有三門學(xué)科獲A等級(jí)加3分，四門學(xué)科獲A等級(jí)則加5分．記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門數(shù)的差的絕對(duì)值． (1)求X1的數(shù)學(xué)期望； (2)求X2的分布列． 解：(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級(jí)為事件Ai，i＝0，1，2，3，4. X1的可能取值為0，1，2，3，5. 則P(Ai)＝C， 即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，則X1的分布列為 X1 0 1 2 3 5 P 所以E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝. (2)X2的可能取值為0，2，4，則 P(X2＝0)＝P(A2)＝； P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝； P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝. 所以X2的分布列為 X2 0 2 4 P 2.(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0. (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． ①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX； ②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 解：(1)因?yàn)?0件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f(p)＝Cp2·(1－p)18， 所以f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17] ＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1. 當(dāng)p∈(0，0.1)時(shí)，f′(p)>0； 當(dāng)p∈(0.1，1)時(shí)，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元．由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． 3.如圖，設(shè)P1，P2，…，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S. (1)求S＝的概率； (2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)． 解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法，其中S＝的為有一個(gè)角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12種， 所以P＝＝. (2)S的所有可能取值為，，.S＝的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6種， 所以P＝＝. S＝的為等邊三角形(如△P1P3P5)，共2種， 所以P＝＝. 又由(1)知P＝＝， 故S的分布列為 S P 所以E(S)＝×＋×＋×＝. 4．(2019·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列； (2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8. ①證明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列； ②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性． 解：(1)X的所有可能取值為－1，0，1. P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 所以X的分布列為 X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) (2)①證明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1， 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)． 又因?yàn)閜1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列． ②由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1. 由于p8＝1，故p1＝， 所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝p1＝. p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝≈0.003 9，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理． 第二講 | 運(yùn)用空間向量求角 題型(一) 運(yùn)用空間向量求兩直線所成的角 主要考查用直線的方向向量求異面直線所成的角. [典例感悟] [例1]　(2019·南京鹽城一模)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)． (1)求異面直線EC與PD所成角的余弦值； (2)求二面角B­EC­D的余弦值． [解]　(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直， 以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 又PA＝AB＝，AD＝1， 所以B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)， 因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn)，所以E， 所以＝，＝(0，1，－)， 所以cos〈，〉＝＝， 所以異面直線EC與PD所成角的余弦值為. (2)由(1)得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)． 設(shè)平面BEC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則所以 得y1＝0，令x1＝1，則z1＝1， 所以平面BEC的一個(gè)法向量為n1＝(1，0，1)． 設(shè)平面DEC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)． 則所以 得x2＝0，令z2＝，則y2＝1， 所以平面DEC的一個(gè)法向量為n2＝(0，1，)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝. 由圖可知二面角B­EC­D為鈍二面角， 所以二面角B­EC­D的余弦值為－. [方法技巧] 1．兩條異面直線所成角的求法 設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝. 2．用向量法求異面直線所成角的四步驟 (1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系； (2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量； (3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值； (4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值． [演練沖關(guān)] (2019·蘇北三市一模)如圖，在三棱錐D­ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E為BD的中點(diǎn)． (1)求異面直線AE與BC所成角的余弦值； (2)求二面角A­CE­B的余弦值． 解：因?yàn)镈A⊥平面ABC，∠CAB＝90°，所以可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz. 因?yàn)锳C＝AD＝1，AB＝2， 所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1)． 因?yàn)辄c(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，所以E. (1) ＝，＝(1，－2，0)． 所以cos〈，〉＝＝＝－， 所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面ACE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 因?yàn)椋?1，0，0)，＝， 所以n1·＝0，n1·＝0，即x1＝0且y1＋z1＝0， 取y1＝1，得z1＝－2， 所以n1＝(0，1，－2)是平面ACE的一個(gè)法向量． 設(shè)平面BCE的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 因?yàn)椋?1，－2，0)，＝， 所以n2·＝0，n2·＝0， 即x2－2y2＝0且－y2＋z2＝0，取y2＝1， 得x2＝2，z2＝2， 所以n2＝(2，1，2)是平面BCE的一個(gè)法向量． 所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－. 由圖易知二面角A­CE­B為鈍二面角， 所以二面角A­CE­B的余弦值為－. 題型(二) 運(yùn)用空間向量求直線和平面所成的角 考查用直線的方向向量與平面的法向量計(jì)算直線與平面所成的角. [典例感悟] [例2]　(2019·常州期末)如圖，在空間直角坐標(biāo)系O­xyz中，已知正四棱錐P­ABCD的高OP＝2，點(diǎn)B，D和C，A分別在x軸和y軸上，且AB＝，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)． (1)求直線AM與平面PAB所成角的正弦值； (2)求二面角A­PB­C的余弦值． [解]　(1)設(shè)直線AM與平面PAB所成的角為α，易知A(0，－1，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，M，則＝(1，1，0)，＝(0，－1，－2)，＝. 設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，所以即 令x＝2，得y＝－2，z＝1，所以n＝(2，－2，1)是平面PAB的一個(gè)法向量， 所以sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 故直線AM與平面PAB所成角的正弦值為. (2)設(shè)平面PBC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，易知C(0，1，0)，則＝(－1，1，0)，＝(1，0，－2)， 所以得令x1＝2，得y1＝2，z1＝1，所以n1＝(2，2，1)是平面PBC的一個(gè)法向量，所以cos〈n，n1〉＝＝＝. 易知二面角A­PB­C為鈍二面角，所以二面角A­PB­C的余弦值為－. [方法技巧] 直線和平面所成角的求法 如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝，φ∈. [演練沖關(guān)] 如圖，在三棱錐P­ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC. (1)求直線PC與平面ABC所成的角的正弦值； (2)求二面角B­AP­C的平面角的余弦值． 解：(1)如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，作PO⊥AB于點(diǎn)O，由∠APB＝90°，∠PAB＝60°得O為AD的中點(diǎn)，連接CD. 因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC， 平面PAB∩平面ABC＝AD， 所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD. 由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB. 設(shè)E為AC的中點(diǎn)，則EO∥CD， 從而OE⊥PO，OE⊥AB. 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz. 不妨設(shè)PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝ ，CD＝2.所以O(shè)(0，0，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，)， 所以＝(－1，－2，)．而＝(0，0，)為平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角， 則sin α＝＝＝. (2)由(1)有＝(1，0，)，＝(2，2，0)． 設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為n＝(x1，y1，z1)，則 ?? 從而 取x1＝－，則y1＝1，z1＝1，所以n＝(－，1，1)． 設(shè)二面角B­AP­C的平面角為β，易知β為銳角． 而平面ABP的一個(gè)法向量為m＝(0，1，0)，則 cos β＝＝＝. 題型(三) 運(yùn)用空間向量求二面角 　　　　　　 [典例感悟] [例3]　(2019·南京四校聯(lián)考)如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F(xiàn)分別為棱AD和CC1的中點(diǎn)． (1)求異面直線BE和AF所成角的余弦值； (2)求平面B1D1F與平面BB1E所成角的余弦值． [解]　在長方體ABCD­A1B1C1D1中，以點(diǎn)D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．因?yàn)锳B＝BC＝2，AA1＝4，E，F(xiàn)分別為棱AD和CC1的中點(diǎn)，所以B(2，2，4)，E(1，0，4)，A(2，0，4)，F(xiàn)(0，2，2)，B1(2，2，0)，D1(0，0，0)． (1)＝(－1，－2，0)，＝(－2，2，－2)，設(shè)異面直線BE和AF所成的角為θ， 則cos θ＝＝＝. 故異面直線BE和AF所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面B1D1F和平面BB1E的法向量分別是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． ＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，則取x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，得n1＝(1，－1，1)為平面B1D1F的一個(gè)法向量． ＝(1，2，0)，＝(0，0，4)，則z2＝0，取y2＝－1，則x2＝2，得n2＝(2，－1，0)為平面BB1E的一個(gè)法向量． 設(shè)平面B1D1F與平面BB1E所成的角為α，則 cos α＝＝＝. 故平面B1D1F與平面BB1E所成角的余弦值為. [方法技巧] 二面角的求法 建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝求出(結(jié)合圖形取“±”號(hào))二面角，也可根據(jù)線面垂直，直接求出法向量來求解． [演練沖關(guān)] 1．(2019·蘇州期末)如圖，四棱錐P­ABCD中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA與平面PBC所成角的正弦值為. (1)求側(cè)棱PA的長； (2)設(shè)E為AB中點(diǎn)，若PA≥AB，求二面角B­PC­E的余弦值． 解：(1)取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)M，連接OP，OM， 因?yàn)镻A＝PD，所以O(shè)P⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，OP?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以O(shè)P⊥平面ABCD， 又OA?平面ABCD，OM?平面ABCD， 所以O(shè)P⊥OA，OP⊥OM. 因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)A⊥OM. 以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OM，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz(如圖)， 則A，B，C. 設(shè)P(0，0，c)(c＞0)，則＝，＝(1，0，0)． 設(shè)平面PBC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則所以取z1＝1，則y1＝c，從而n1＝(0，c，1)是平面PBC的一個(gè)法向量． 設(shè)PA與平面PBC所成的角為α，因?yàn)椋剑? 所以sin α＝|cos〈，n1〉|＝＝＝， 得c2＝或c2＝，所以PA＝1或PA＝. (2)由(1)知，PA≥AB＝1，所以PA＝1，c＝. 由(1)知，平面PBC的一個(gè)法向量為n1＝(0，c，1)＝. 設(shè)平面PCE的法向量為n2＝(x，y，z)，而 ＝，＝， 所以則 取x＝1，則y＝2，z＝，即n2＝(1，2，)是平面PCE的一個(gè)法向量． 設(shè)二面角B­PC­E的平面角為β， 所以|cos β|＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝. 根據(jù)圖形知β為銳角，所以二面角B­PC­E的余弦值為. 2．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，已知正四棱錐P­ABCD中，PA＝AB＝2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且＝＝. (1)求異面直線MN與PC所成角的大?。? (2)求二面角N­PC­B的余弦值． 解：(1)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，在正四棱錐P­ABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以O(shè)P＝.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，方向分別是x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz，如圖． 則A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)．故＝＋＝＋ ＝， ＝＝， 所以＝，＝(－1，1，－)， cos〈，〉＝＝＝， 所以MN與PC所成角的大小為30°. (2)＝(－1，1，－)，＝(2，0，0)，NC―→＝. 設(shè)m＝(x，y，z)是平面PCB的一個(gè)法向量， 則即 令y＝，得z＝1，所以m＝(0，，1)， 設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的一個(gè)法向量， 則即 令x1＝2，得y1＝4，z1＝，所以n＝(2，4，), 故cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角N­PC­B的余弦值為. A組——大題保分練 1．(2019·南通等七市二模)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2. (1)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值； (2)若點(diǎn)M，N分別在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，試確定點(diǎn)M，N的位置． 解：(1)由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直，以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． 從而＝(1，0，－2)，＝(1，2，－2)，＝(0，2，－2)． 設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 不妨取y＝1，則x＝0，z＝1. 所以平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，1)． 設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝， 即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為. (2)設(shè)M(a，0，0)，則＝(－a，0，0)， 設(shè)＝λ，則＝(λ，2λ，－2λ)，而＝(0，0，2)， 所以＝＋＋＝(λ－a，2λ，2－2λ)． 由(1)知，平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，1)， 因?yàn)镸N⊥平面PCD，所以∥n. 所以解得 所以M為AB的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)． 2．(2018·蘇北四市期末)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點(diǎn)，以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F­xyz. (1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值； (2)求二面角F­BC1­C的余弦值． 解：(1)因?yàn)锳B＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，A1，C1， 所以＝(－1，0，0)，＝. 記異面直線AC和BE所成角為α， 則cos α＝|cos〈，〉|＝＝， 所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面BFC1的法向量為m＝(x1，y1，z1)． 因?yàn)椋剑剑? 則即 取x1＝4，得平面BFC1的一個(gè)法向量為m＝(4，0，1)． 設(shè)平面BCC1的法向量為n＝(x2，y2，z2)． 因?yàn)椋?，?0，0，2)， 則即 取x2＝，得平面BCC1的一個(gè)法向量為n＝(，－1，0)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 根據(jù)圖形可知二面角F­BC1­C為銳二面角， 所以二面角F­BC1­C的余弦值為. 3．(2019·揚(yáng)州期末)如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD. (1)若AE＝，求直線DE與直線BC所成角； (2)若二面角A­BE­D的大小為，求AE的長度． 解：由題意知AB⊥AD， 又AE⊥平面ABD， ∴以A為原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F， 又平面ABD⊥平面CBD，CF?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD， ∴CF⊥平面ABD. ∵CB＝CD＝2，∴F為BD的中點(diǎn)，CF＝. (1)易知E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(1，1，)， ∴＝(0，－2，)，＝(－1，1，)， ∴·＝0， ∴⊥，∴直線DE與直線BC所成角為. (2)設(shè)AE的長度為a(a＞0)，則E(0，0，a)， 易知AD⊥平面ABE，∴平面ABE的一個(gè)法向量為n1＝(0，1，0)． 由(1)知＝(－2，0，a)，＝(－2，2，0)， 設(shè)平面BDE的法向量為n2＝(x1，y1，z1)， 則n2⊥，n2⊥，∴ 得取z1＝2，則x1＝y(tǒng)1＝a. ∴平面BDE的一個(gè)法向量為n2＝(a，a，2)． ∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝. ∵二面角A­BE­D的大小為，∴＝， 得a＝，∴AE的長度為. 4.如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D為線段AC的中點(diǎn)． (1)求證：BD⊥A1D； (2)若直線A1D與平面BC1D所成角的正弦值為，求AA1的長． 解：(1)證明：∵三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱， ∴AA1⊥平面ABC， 又BD?平面ABC，∴BD⊥AA1， ∵BA＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC， 又AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1， ∴BD⊥平面ACC1A1， 又A1D?平面ACC1A1，∴BD⊥A1D. (2)由(1)知BD⊥AC，AA1⊥平面ABC，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)D且平行于AA1的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz. 設(shè)AA1＝λ(λ＞0)，則A1(0，－4，λ)，B(3，0，0)，C1(0，4，λ)，D(0，0，0)， ∴1＝(0，－4，λ)，1＝(0，4，λ)，＝(3，0，0)， 設(shè)平面BC1D的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 則x＝0，令z＝4，可得y＝－λ， 故n＝(0，－λ，4)為平面BC1D的一個(gè)法向量． 設(shè)直線A1D與平面BC1D所成角為θ， 則sin θ＝|cos 〈n，1〉|＝ ＝＝，解得λ＝2或λ＝8， 即AA1＝2或AA1＝8. B組——大題增分練 1．(2019·鹽城三模)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4. (1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值； (2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值． 解：設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE，由AB＝AC，可知AE⊥BC， 故以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)， 則P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，－2，0)，C(，2，0)． (1)設(shè)θ為異面直線PB與CD所成的角， 由＝(，－2，－4)，＝(－，1，0)，得cos θ＝＝， 即異面直線PB與CD所成角的余弦值為. (2)設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PBC的法向量， 由(1)得＝(，－2，－4)，＝(，2，－4)， 由·n1＝0，·n1＝0， 得故取n1＝(4，0，)為平面PBC的一個(gè)法向量， 易知平面PAD的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)． 設(shè)α為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角， 則cos α＝＝， 所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為. 2．(2018·江蘇高考)如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)． (1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值； (2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值． 解：如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，―}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz. 因?yàn)锳B＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)． (1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P， 從而＝，＝(0，2，2)， 所以|cos〈，〉|＝＝＝. 所以異面直線BP與AC1所成角的余弦值為. (2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q， 因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量， 則即 不妨取n＝(，－1，1)． 設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為. 3．(2019·南師附中、天一中學(xué)四月聯(lián)考)如圖，在三棱錐P­ABC中，底面ABC是直角三角形，側(cè)棱PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，E為棱PB上的點(diǎn)，PA＝AB＝BC＝2. (1)當(dāng)PE＝2EB時(shí)，求平面AEC與平面PAB所成的銳二面角的余弦值． (2)在(1)的條件下，線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF與平面PAB所成的角θ的正弦值為.若存在，求線段AF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，PA所在直線分別為y軸、z軸，過點(diǎn)A且平行于BC的直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)． 由題意得E為線段PB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則E，所以＝，＝(2，2，0)． 設(shè)平面AEC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則則令y1＝1，則n1＝(－1，1，－2)為平面AEC的一個(gè)法向量． 易知平面PAB的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)， 所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝， 所以平面AEC與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為. (2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)F. 設(shè)＝λ＝(2λ，2λ，0)(λ＞0)， 所以＝－＝， 所以sin θ＝|cos 〈，n2〉|＝＝＝， 整理得λ2＋λ－＝0，解得λ＝或λ＝－. 又λ＞0，所以λ＝， 所以AF＝AC. 易得AC＝2，所以AF＝. 4.如圖，在四棱錐S­ABCD中，SD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1. (1)求二面角S­BC­A的余弦值； (2)設(shè)P是棱BC上一點(diǎn)，E是SA的中點(diǎn)，若PE與平面SAD所成角的正弦值為，求線段CP的長． 解：(1)由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz， 則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)， 所以＝(2，2，－2)，＝(0，1，－2)，＝(0，0，2)． 設(shè)平面SBC的法向量為n1＝(x，y，z)， 則即 令z＝1，得x＝－1，y＝2， 所以n1＝(－1，2，1)是平面SBC的一個(gè)法向量. 因?yàn)镾D⊥平面ABC，取平面ABC的一個(gè)法向量n2＝(0，0，1)． 設(shè)二面角S­BC­A的大小為θ， 由圖可知二面角S­BC­A為銳二面角， 所以|cos θ|＝＝＝， 所以二面角S­BC­A的余弦值為. (2)由(1)知E(1，0，1)， ＝(2，1，0)，＝(1，－1，1)． 設(shè)＝λ (0≤λ≤1)， 則＝λ(2，1，0)＝(2λ，λ，0)， 所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)． 易知CD⊥平面SAD， 所以＝(0，－1，0)是平面SAD的一個(gè)法向量． 設(shè)PE與平面SAD所成的角為α， 所以sin α＝|cos〈，〉|＝＝， 即＝，得λ＝或λ＝(舍去)． 所以＝，||＝， 所以線段CP的長為. 33