（新高考）2020版高考數學二輪復習 第三部分 講重點 解答題專練 第1講 解三角形教學案 理

講重點·解答題專練 把握審題中的“三性” 做到解題過程中的“三思” 　　1.目的性：明確解題的終極目標和每一個步驟的分項目標． 2.準確性：注意概念把握的準確性和運算過程的準確性． 3.隱含性：注意題設條件的隱含性．審題不怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準確性的保證． 　　1.思路：由于解答題具有知識容量大，解題方法多的特點，因此，審題時應考慮應用多種解題思路． 2.思想：高考解答題的設置往往著重考查數學思想方法，解題時應注意數學思想方法的合理運用． 3.思辨：即在求解解答題時，注意對思路和運算方法的選擇和解題后的反思. 第1講　解三角形 ■真題調研—————————————— 【例1】　[2019·全國卷Ⅰ]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sinC. 解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cosA＝＝. 因為0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由題設及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝. 【例2】　[2019·全國卷Ⅲ]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin＝bsinA. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． 解：(1)由題設及正弦定理得 sinAsin＝sinBsinA. 因為sinA≠0，所以sin＝sinB. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos， 故cos＝2sincos. 因為cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. (2)由題設及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定理得 a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形， 故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°， 故＜a＜2，從而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面積的取值范圍是. 【例3】　[2019·北京卷]在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B－C)的值． 解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得 b2＝32＋c2－2×3×c×. 因為b＝c＋2， 所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×， 解得c＝5. 所以b＝7. (2)由cosB＝－得sinB＝. 由正弦定理得sinC＝sinB＝. 在△ABC中，∠B是鈍角， 所以∠C為銳角． 所以cosC＝＝. 所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝. 【例4】　[2019·江蘇卷]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值； (2)若＝，求sin的值． 解：(1)因為a＝3c，b＝，cosB＝， 由余弦定理cosB＝， 得＝，即c2＝. 所以c＝. (2)因為＝， 由正弦定理＝，得＝， 所以cosB＝2sinB. 從而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 故cos2B＝. 因為sinB>0，所以cosB＝2sinB>0， 從而cosB＝. 因此sin＝cosB＝. ■模擬演練—————————————— 1．[2019·長沙、南昌聯(lián)考]如圖，在平面四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠BAD為鈍角，∠BCD＝120°，BC＝CD＝2，AB∶AD＝∶1. (1)求△ABD的外接圓半徑； (2)求△ABC的面積． 解：(1)∵BC＝CD＝2， ∠BCD＝120°， ∴∠CBD＝∠BDC＝30°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°. 在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝＝2. 在△ABD中，由正弦定理， 得＝， ∴sin∠ADB＝·sin∠ABD＝， ∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝105°. 又sin105°＝sin75°＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝， ∴△ABD的外接圓直徑 2R＝＝＝6－2， ∴△ABD的外接圓半徑R＝3－. (2)在△ABD中，由正弦定理， 得＝， ∴AB＝＝＝6－2. 又∠ABC＝2∠ABD＝60°， ∴△ABC的面積S＝AB·BCsin∠ABC＝×(6－2)×2×＝3(－1)． 2．[2019·武漢2月調研]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝2，b＝3，sin2C＋sinA＝0. (1)求c； (2)求△ABC的面積． 解：(1)由sin2C＋sinA＝0知， 2sinC·cosC＋sinA＝0， ∴2c·＋a＝0， ∴c(a2＋b2－c2)＋a2·b＝0，而a＝2，b＝3， ∴c(4＋9－c2)＋12＝0，即c3－13c－12＝0， ∴(c＋1)(c＋3)(c－4)＝0，而c>0，∴c＝4. (2)在△ABC中，由余弦定理得， cosB＝＝＝， ∴sinB＝＝＝， ∴△ABC的面積S＝acsinB ＝×2×4× ＝. 3．[2019·南昌一模]函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0<ω<，|φ|<)的部分圖象如圖所示，A(0，)，C(2,0)，并且AB∥x軸． (1)求ω和φ的值； (2)求cos∠ACB的值． 解：(1)由已知得 f(0)＝2sinφ＝， 又|φ|＜，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. 因為f(2)＝0，即2sin＝0， 所以2ω＋＝kπ，k∈Z， 解得ω＝π－，k∈Z，而0＜ω＜，所以ω＝. (2)由(1)知，f(x)＝2sin，令f(x)＝， 得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z， 所以x＝6k或x＝6k＋1，由題圖可知，B(1，)， 所以＝(－2，)，＝(－1，)， 所以||＝，||＝2， 所以cos∠ACB＝＝＝. 4．[2019·廣州綜合測試一]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ccosB＝(3a－b)cosC. (1)求sinC的值； (2)若c＝2，b－a＝2，求△ABC的面積． 解：(1)解法一：因為ccosB＝(3a－b)cosC， 所以由正弦定理得 sinCcosB＝(3sinA－sinB)cosC， 即sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosC， 所以sin(B＋C)＝3sinAcosC， 由于A＋B＋C＝π， 所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA， 則sinA＝3sinAcosC. 因為0<A<π，所以sinA≠0，cosC＝. 因為0<C<π，所以sinC＝＝. 解法二：因為ccosB＝(3a－b)cosC， 所以由余弦定理得 c×＝(3a－b)×， 化簡得a2＋b2－c2＝ab， 所以cosC＝＝＝. 因為0<C<π，所以sinC＝＝. (2)解法一：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC， 又c＝2，cosC＝，得a2＋b2－ab＝24， 即(a－b)2＋ab＝24. 因為b－a＝2，所以ab＝15. 所以△ABC的面積 S＝absinC＝×15×＝5. 解法二：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC， 又c＝2，cosC＝，得a2＋b2－ab＝24. 又b－a＝2，所以a＝3，b＝5. 所以△ABC的面積 S＝absinC＝×15×＝5. 8