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陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 概念辨析三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例題講解素材 北師大版必修4(通用)

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陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 概念辨析三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例題講解素材 北師大版必修4(通用)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)概念辨析 畫出,y=cosx在上的圖像是本單元的重中之重,同學(xué)們不僅會用單位中的函數(shù)線畫,而且會特殊角三角函數(shù)值列出“十三”個點或“五點法”,還要會徒手描出示意圖,才能實現(xiàn)看圖說性質(zhì)"想圖說性質(zhì)"無圖也能說性質(zhì)的熟練程度.這里蘊含著以下幾個問題. 1.作圖的基本方法是描點法,用單位圓中的三角函數(shù)線畫圖實質(zhì)上是列表的(十三點)一個方法,它與“十三點”法的區(qū)別只在于“十三點法”的函數(shù)值是用數(shù)給出,而單位圓法中的函數(shù)值是用有向線段的數(shù)量給出.在畫,y=cosx 的圖像時,都借助了函數(shù)的周期性,在取點時,注意研究了函數(shù)曲線的存在范圍,特殊點,變化趨勢,對稱性,一定要取到最大值點,最小值點,零點.這些常規(guī)方法一走要講清. 2.畫的圖像時,難點在列出“五個點”,這五個恰好又是同一周期的五個特殊點:三個零點,一個最大值點,一個最小值點,以為例. 令t=,則u=sint,首先列出u=sint的“老五點” t 0 2 sint 0 1 0 -1 0 將t=代入上表 x 0 2 sin 0 1 0 -1 0 求出X與 X 0 2 sin 0 1 0 -1 0 Y=2sin 0 2 0 -2 0 上面方法的核心是用換元的思想根據(jù)的“老五點”列出了y=2sin()圖像上的五點.這里體現(xiàn)了如何將一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較簡單的問題的轉(zhuǎn)化思想,同時也在告訴同學(xué)們,我們總是用已知的知識去解決未知的問題,進(jìn)一步體會到簡單與復(fù)雜.未知與已知之間的對立、統(tǒng)一的辨證關(guān)系.為了給同學(xué)更大的思維空間.教師最好不直接告訴同學(xué)們?nèi)绾瘟谐鲈谝粋€周期內(nèi)的五個特殊點?這樣對培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力是有益的. 3.在講周期函數(shù)概念過程中注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.學(xué)生自己抽象概括出周期函數(shù)的定義是不現(xiàn)實的,但我們不能因此就放棄培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的機會.可考慮如下進(jìn)行: (1)通過對一類事物的觀察發(fā)現(xiàn),抽象出該類事物的共同的本質(zhì)屬性. 問題1:請觀察下列函數(shù)值隨著變量變化時,其函數(shù)值的變化的共性是什么? ① ② ③ ④在數(shù)列中,對一切nN都有 發(fā)現(xiàn)其共性是:函數(shù)值是隨自變量周而復(fù)始地變化. (2)第二步是將上述粗淺的認(rèn)識進(jìn)一步數(shù)學(xué)化,精確化,這里的關(guān)鍵是請同學(xué)注意如何用數(shù)學(xué)語言刻畫“函數(shù)值隨自變量周而復(fù)始地變化”.首先四個函數(shù)都存在一個不為零的常數(shù)T,①2#②2#③2#④6#,第二將這個常數(shù)加到定義域中的任意一個自變量上,其函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),即永遠(yuǎn)成立,于是得出周期函數(shù)的精確的數(shù)學(xué)定義; 對于給定的函數(shù),定義域為M,如果存在一個不為零的常數(shù)T,對于M中的任意一個x的值,必有X+TM,使得永遠(yuǎn)成立,那么函數(shù)叫做周期函數(shù),其中不為零的常數(shù)T就叫做周期函數(shù)的周期. (3)第三步是進(jìn)一步理解定義 ①函數(shù)的周期性是揭示了函數(shù)值隨自變量周而復(fù)始的變化的屬性,如果我們認(rèn)識到了函數(shù)的周期性,在研究函數(shù)性質(zhì)時,只須研究該函數(shù)在一個周期內(nèi)的性質(zhì),就可以了解該函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì). ②如果一個周期函數(shù)y=的周期為T,顯然KT(KZ)也是周期.但從研究函數(shù)性質(zhì)而言,我們感興趣的,也是最有實用價值的是諸周期中最小的正周期. ③根據(jù)周期函數(shù)定義判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù),關(guān)鍵是找到一個T(),使得對定義域中的任意一個x,均成立. 4.講已知三角函數(shù)值求角時時可考慮利用單位圓中的三角函數(shù)線,用數(shù)形結(jié)合的思想,先畫出角的終邊,再寫出所求的角,并且先求通解,后求特解更好接受.

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