陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 概念辨析三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例題講解素材 北師大版必修4（通用）

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1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)概念辨析 畫出，y=cosx在上的圖像是本單元的重中之重，同學(xué)們不僅會用單位中的函數(shù)線畫，而且會特殊角三角函數(shù)值列出“十三”個點(diǎn)或“五點(diǎn)法”，還要會徒手描出示意圖，才能實(shí)現(xiàn)看圖說性質(zhì)"想圖說性質(zhì)"無圖也能說性質(zhì)的熟練程度．這里蘊(yùn)含著以下幾個問題． 1．作圖的基本方法是描點(diǎn)法，用單位圓中的三角函數(shù)線畫圖實(shí)質(zhì)上是列表的(十三點(diǎn))一個方法，它與“十三點(diǎn)”法的區(qū)別只在于“十三點(diǎn)法”的函數(shù)值是用數(shù)給出，而單位圓法中的函數(shù)值是用有向線段的數(shù)量給出．在畫，y=cosx 的圖像時，都借助了函數(shù)的周期性，在取點(diǎn)時，注意研究了函數(shù)曲線的存在范圍，特殊點(diǎn)，變化趨勢，對稱性，一定要取到最大值點(diǎn)

2、，最小值點(diǎn)，零點(diǎn)．這些常規(guī)方法一走要講清． 2．畫的圖像時，難點(diǎn)在列出“五個點(diǎn)”，這五個恰好又是同一周期的五個特殊點(diǎn)：三個零點(diǎn)，一個最大值點(diǎn)，一個最小值點(diǎn)，以為例． 令t=,則u=sint，首先列出u=sint的“老五點(diǎn)” t 0 2 sint 0 1 0 -1 0 將t=代入上表 x 0 2 sin 0 1 0 -1 0

3、 求出X與 X 0 2 sin 0 1 0 -1 0 Y=2sin 0 2 0 -2 0 上面方法的核心是用換元的思想根據(jù)的“老五點(diǎn)”列出了y=2sin()圖像上的五點(diǎn)．這里體現(xiàn)了如何將一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較簡單的問題的轉(zhuǎn)化思想，同時也在告訴同學(xué)們，我們總是用已知的知識去解決未知的問題，進(jìn)一步體會到簡單與復(fù)雜．未知與已知之間的對立、統(tǒng)一的辨證關(guān)系．為了給同學(xué)更大的思維空間．教師最好不直接告訴同學(xué)們?nèi)绾瘟谐鲈谝粋€周期內(nèi)的五個特殊點(diǎn)？這樣對培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力是有益的． 3．在講周期函數(shù)概念過程中注意培養(yǎng)

4、學(xué)生的抽象概括能力．學(xué)生自己抽象概括出周期函數(shù)的定義是不現(xiàn)實(shí)的，但我們不能因此就放棄培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的機(jī)會．可考慮如下進(jìn)行： (1)通過對一類事物的觀察發(fā)現(xiàn)，抽象出該類事物的共同的本質(zhì)屬性． 問題1：請觀察下列函數(shù)值隨著變量變化時，其函數(shù)值的變化的共性是什么？ ① ② ③ ④在數(shù)列中，對一切nN都有 發(fā)現(xiàn)其共性是：函數(shù)值是隨自變量周而復(fù)始地變化． (2)第二步是將上述粗淺的認(rèn)識進(jìn)一步數(shù)學(xué)化，精確化，這里的關(guān)鍵是請同學(xué)注意如何用數(shù)學(xué)語言刻畫“函數(shù)值隨自變量周而復(fù)始地變化”．首先四個函數(shù)都存在一個不為零的常數(shù)T，①2#②2#③2#④6#，第二將這個常數(shù)加到定義域中的任意一個自變

5、量上，其函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，即永遠(yuǎn)成立，于是得出周期函數(shù)的精確的數(shù)學(xué)定義； 對于給定的函數(shù),定義域?yàn)镸，如果存在一個不為零的常數(shù)T，對于M中的任意一個x的值，必有X+TM，使得永遠(yuǎn)成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，其中不為零的常數(shù)T就叫做周期函數(shù)的周期． (3)第三步是進(jìn)一步理解定義 ①函數(shù)的周期性是揭示了函數(shù)值隨自變量周而復(fù)始的變化的屬性，如果我們認(rèn)識到了函數(shù)的周期性，在研究函數(shù)性質(zhì)時，只須研究該函數(shù)在一個周期內(nèi)的性質(zhì)，就可以了解該函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)． ②如果一個周期函數(shù)y=的周期為T，顯然KT(KZ)也是周期．但從研究函數(shù)性質(zhì)而言，我們感興趣的，也是最有實(shí)用價值的是諸周期中最小的正周期． ③根據(jù)周期函數(shù)定義判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)，關(guān)鍵是找到一個T(),使得對定義域中的任意一個x，均成立． 4．講已知三角函數(shù)值求角時時可考慮利用單位圓中的三角函數(shù)線，用數(shù)形結(jié)合的思想，先畫出角的終邊，再寫出所求的角，并且先求通解，后求特解更好接受．