高中數(shù)學 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.1 有理指數(shù)冪及其運算課前導引素材 新人教B版必修1（通用）

第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ) 本章概覽 內容提要 1.本章是在上一章學習函數(shù)及其性質的基礎上,具體研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這三個高中階段重要的函數(shù).這是高中函數(shù)學習的第二個階段,目的是在這一階段獲得較為系統(tǒng)的函數(shù)知識,并逐步培養(yǎng)函數(shù)應用意識,為今后的學習打下堅實的基礎,同時使學生對函數(shù)的認識由感性上升到理性.可以說這一章起到了承上啟下的作用,本章所涉及的一些重要思想方法,對掌握基礎的數(shù)學語言,學好高中數(shù)學起著重要的作用. 2.本章共包括四個單元.第一單元為“指數(shù)與指數(shù)函數(shù)”,包含有理指數(shù)冪及其運算.從初中學過的整數(shù)指數(shù)冪概念及運算推廣到分數(shù)指數(shù)冪和無理指數(shù)冪及其運算.通過具體實例,引出指數(shù)函數(shù),并進一步研究指數(shù)函數(shù)的圖象、性質和應用.第二單元為“對數(shù)與對數(shù)函數(shù)”,包含對數(shù)式的基本運算,對數(shù)函數(shù)的圖象、性質及應用.講解了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系,通過指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比,指出了它們在定義域、值域等方面的異同,引出了原函數(shù)與反函數(shù)的關系.第三單元為“冪函數(shù)”,給出了冪函數(shù)的圖象、性質及應用.第四單元為“函數(shù)的應用(Ⅱ)”,主要是將實際問題轉化成數(shù)學問題,建立數(shù)學模型.此外,通過實習作業(yè),進一步感受基本初等函數(shù)模型的應用. 3.重點和難點:冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的應用是本章的重點.要結合圖象記憶性質,通過類比觀察異同,通過訓練提高能力.函數(shù)的實際應用是本章的難點,從問題中觀察規(guī)律,抽象出數(shù)學模型實現(xiàn)突破. 4.本章主要體現(xiàn)的數(shù)學思想方法有:數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、有理數(shù)逼近無理數(shù)思想、理論與實踐結合思想,在學習過程中要逐步體會、把握,形成自己的數(shù)學思維習慣. 學法指導 1.在指數(shù)與對數(shù)的運算過程中，不但要熟悉指數(shù)與對數(shù)的運算法則，而且還要注意: (1)進行指數(shù)冪運算時,化負指數(shù)為正指數(shù),化根式為分數(shù)指數(shù)冪,化小數(shù)為分數(shù)進行運算,可以達到化繁為簡的目的. (2)指數(shù)式對數(shù)化、對數(shù)式指數(shù)化是解決指數(shù)式或對數(shù)式有關問題的重要手段. (3)利用對數(shù)的換底公式可把不同底數(shù)的對數(shù)化成同底數(shù)的對數(shù),這是解決對數(shù)問題的基本思想方法. 2.利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性可以求函數(shù)的最值,還可以比較兩個實數(shù)的大小以及解不等式,這里要注意有字母的要討論,特別是在研究對數(shù)函數(shù)有關的問題時要注意函數(shù)的定義域. 3.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質是考查的重點,應熟練掌握圖象的畫法及形狀,記熟性質,特別注意底對圖象和性質的影響,并注意數(shù)形結合思想及化歸思想的應用. 4.學習本章要注意:(1)從實際出發(fā),由感性認識上升到理性認識. (2)運用對比的方法區(qū)別記憶. (3)通過函數(shù)的圖象觀察其性質,注意區(qū)別底數(shù)的不同范圍帶來的變化. (4)通過訓練,加強對知識的理解和識記,提高解決問題的能力. 3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.1 有理指數(shù)冪及其運算 課前導引 情境導入 世界第一高峰——珠穆朗瑪峰,海拔8 844.43米.在數(shù)學課堂上老師說:“別看一張白紙只有0.01 cm厚,但將它對折30次后,此時紙的厚度就會遠遠超過珠穆朗瑪峰的高度!”大多數(shù)同學不相信,而你認為這是事實嗎? 知識預覽 1.冪的指數(shù)是正整數(shù),這樣的冪叫做正整數(shù)指數(shù)冪. 2.正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是am·an=am+n;(am)n=amn;=am-n(m>n,a≠0);(ab)m=ambm. 3.規(guī)定零的指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪a0=1(a≠0);a-n=(a≠0,n∈N*). 4.若xn=a(a∈R,n>1,n∈N*),則x叫做a的n次方根;求a的n次方根稱作開方運算;正數(shù)a的正n次方根叫做a的n次算術根,叫根式,n叫根指數(shù). 5.根式的性質(1)()n=a(n>1且n∈N*); (2)= 6.正分數(shù)指數(shù)冪可定義為a=(a>0),a=()m(a>0,m、n∈N*,且為既約分數(shù)). 7.負分數(shù)指數(shù)冪可定義為a=(a>0,m、n∈N*,且為既約分數(shù)). 8.有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則aα·aβ=aα+β;(aα)β=aαβ;(ab)α=aαbα.