高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第5節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù)（第2課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

5．2 對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì) 1．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念． 2．了解對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)． 3．會(huì)用描點(diǎn)法和變換法畫(huà)函數(shù)y＝log2x的圖像． 4．掌握函數(shù)y＝log2x的性質(zhì)． 1．對(duì)數(shù)函數(shù) (1)定義：一般地，我們把函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，a叫作對(duì)數(shù)函數(shù)的______，x是________，定義域是________，值域是______． ①由于指數(shù)函數(shù)y＝ax中的底數(shù)a滿足a＞0，a≠1，則對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax中的底數(shù)a也必須滿足a＞0，a≠1. ②對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式同時(shí)滿足：對(duì)數(shù)符號(hào)前面的系數(shù)是1；對(duì)數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實(shí)數(shù)；對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x. (2)兩類特殊的對(duì)數(shù)函數(shù) 常用對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝lg x，其底數(shù)為_(kāi)_______________． 自然對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝ln x，其底數(shù)為無(wú)理數(shù)______________． 【做一做1－1】 下列為對(duì)數(shù)函數(shù)的是( )． A．y＝log1x B．y＝3log21x C．y＝log19(x＋1) D．y＝log32x 【做一做1－2】 函數(shù)y＝log2x的定義域是( )． A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．R 2．反函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝______(a＞0，a≠1)互為反函數(shù)． 【做一做2】 寫(xiě)出下列函數(shù)的反函數(shù)． (1)y＝； (2)y＝3x. 3．函數(shù)y＝log2x的圖像 (1)圖像：如圖所示． (2)畫(huà)法：描點(diǎn)法和變換法(通常用描點(diǎn)法)． 【做一做3】 (2020四川高考，文2)函數(shù)y＝log2x的圖像大致是( )． 4．函數(shù)y＝log2x的性質(zhì) (1)過(guò)點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝____________. (2)函數(shù)圖像都在y軸右邊，表示________和__________沒(méi)有對(duì)數(shù)． (3)當(dāng)x＞1時(shí)，圖像位于x軸上方，說(shuō)明當(dāng)x＞1時(shí)，y＞________； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，圖像位于x軸____方，說(shuō)明當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0. (4)圖像是上升的，說(shuō)明函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是__________． 【做一做4－1】 函數(shù)f(x)＝log2x，且f(m)＞0，則m的取值范圍是( )． A．(0，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．R 【做一做4－2】 已知函數(shù)f(x)＝log2x，則( )． A．f(3)＞0，f＜0 B．f(3)＞0，f＞0 C．f(3)＜0，f＞0 D．f(3)＜0，f＜0 答案：1．(1)底數(shù)　自變量　(0，＋∞)　R　(2)10　e 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】 A 2．a(chǎn)x 【做一做2】 解：(1)y＝的反函數(shù)是y＝x； (2)y＝3x的反函數(shù)是y＝log3x. 【做一做3】 C　函數(shù)y＝log2x的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，且單調(diào)遞增，故選C. 4．(1)0　(2)零　負(fù)數(shù)　(3)0　下　(4)增函數(shù) 【做一做4－1】 C 【做一做4－2】 A　∵3＞1,0＜＜1， ∴f(3)＞0，f＜0. 如何正確理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義？ 剖析：(1)同指數(shù)函數(shù)一樣，對(duì)數(shù)函數(shù)仍然采用形式定義，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，只有y＝logax(a＞0，a≠1)才是對(duì)數(shù)函數(shù)． (2)由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的定義域是R，值域?yàn)?0，＋∞)，再根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化過(guò)程知道，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽，它們互為反函數(shù)，它們的定義域和值域互換，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖像過(guò)(0,1)點(diǎn)，故對(duì)數(shù)函數(shù)圖像必過(guò)(1,0)點(diǎn)． 題型一 判斷對(duì)數(shù)函數(shù) 【例1】 下面是對(duì)數(shù)函數(shù)的是__________． (1)y＝log4x；(2)y＝logx4；(3)y＝log4(x＋1)；(4)y＝log(－4)x. 反思：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，要緊扣對(duì)數(shù)函數(shù)滿足的三個(gè)條件，缺一不可． 題型二 求反函數(shù) 【例2】 寫(xiě)出下列函數(shù)的反函數(shù)： (1)y＝log0.13x； (2)y＝3.05x. 反思：函數(shù)y＝logax的反函數(shù)是y＝ax(a＞0，a≠1)；函數(shù)y＝ax的反函數(shù)是y＝logax(a＞0，a≠1)． 題型三 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像討論其性質(zhì) 【例3】 已知函數(shù)y＝log3x， (1)畫(huà)出其圖像； (2)根據(jù)圖像寫(xiě)出其性質(zhì)． 分析：(1)利用描點(diǎn)法畫(huà)出圖像；(2)根據(jù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫(xiě)出性質(zhì)． 反思：描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖像是最基本的畫(huà)函數(shù)圖像的方法．根據(jù)圖像寫(xiě)出函數(shù)的性質(zhì)是一種識(shí)圖能力，在平常的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練． 答案：【例1】 (1)　解析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念知： (1)函數(shù)y＝log4x是對(duì)數(shù)函數(shù)； (2)函數(shù)y＝logx4的底數(shù)是自變量x，不是常數(shù)，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)； (3)函數(shù)y＝log4(x＋1)的真數(shù)是x＋1，不是自變量x，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)； (4)函數(shù)y＝log(－4)x的底數(shù)是負(fù)數(shù)，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)． 【例2】 解：(1)y＝log0.13x的反函數(shù)是y＝0.13x. (2)y＝3.05x的反函數(shù)是y＝log3.05x. 【例3】 解：(1)列表. x … 1 3 9 … y＝log3x … －2 －1 0 1 2 … 描點(diǎn)、連線得函數(shù)y＝log3x的圖像． (2)性質(zhì)： ①過(guò)點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0. ②函數(shù)圖像都在y軸右邊，表示零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)． ③當(dāng)x＞1時(shí)，圖像位于x軸上方，說(shuō)明當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，圖像位于x軸下方，說(shuō)明當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0； ④圖像是上升的，即函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 1 已知函數(shù)y＝log2x，當(dāng)x＞1時(shí)，則( )． A．y＜0 B．y＞0 C．y＝0 D．y的符號(hào)不確定 2 (2020浙江高考，文2)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，則α＝( )． A．0 B．1 C．2 D．3 3 已知f(x)＝log3x，則等于( )． A．2 B．－2 C. D． 4 函數(shù)y＝lg(2x＋1)的定義域是________． 5 判斷下列函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)： (1)y＝2log3x； (2)y＝log3(x－1)； (3)y＝log2x2. 答案：1．B 2．B　∵f(α)＝log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2.∴α＝1. 3．B 4.　由題意得2x＋1＞0，解得x＞. 5．解：(1)中對(duì)數(shù)符號(hào)前面的系數(shù)是2，不是1，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)； (2)中函數(shù)的真數(shù)多了－1，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)； (3)中x的指數(shù)應(yīng)為1，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)．