高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(第3課時)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)

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高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(第3課時)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)_第1頁
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1、2.3 映射 1.了解映射的概念,能夠判定一些簡單的對應(yīng)是否為映射. 2.理解映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系. 1.映射 設(shè)兩個非空集合A與B之間存在著對應(yīng)關(guān)系f,而且對于A中的_________元素x,B中總有_______的一個元素y與它對應(yīng),就稱這種對應(yīng)為從A到B的映射,記作f:A→B.A中的元素x稱為_______,B中的元素y稱為x的_______,記作f:x→y. 映射是對應(yīng),但對應(yīng)不一定是映射,即映射是特殊的對應(yīng). 【做一做1-1】 給出下列4個對應(yīng),是映射的是( ). A.③④

2、 B.①② C.②③ D.①④ 【做一做1-2】 在映射f:A→B中,下列說法中不正確的為( ). ①集合B中的任一元素,在集合A中至少有一個元素與它相對應(yīng). ②集合B中至少存在一個元素在集合A中無原像. ③集合B中可能有元素在集合A中無原像. ④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一個. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.一一映射 當(dāng)映射f:A→B滿足: (1)A中的每一個元素在B中都有唯一的像與之對

3、應(yīng);(2)__________中的不同元素的____也不同;(3)B中的每一個元素都有__________, 那么就稱映射f:A→B是——映射,——映射也叫作一一對應(yīng),一一映射是特殊的__________. 映射和一一映射的區(qū)別與聯(lián)系 映射f:A→B 一一映射f:A→B 定義 對于集合A中的每一個元素x,B中總有唯一的一個元素y與之對應(yīng),就稱這樣的對應(yīng)為A到B的映射 A到B的映射滿足:A中的每一個元素在B中都有唯一的像與之對應(yīng),A中的不同元素的像也不同;B中的每一個元素都有原像,則該映射又稱為一一映射 對應(yīng)方式 多對一或一對一 一對一 原像 B中

4、的一些元素可能沒有原像 B中的任何元素有唯一的原像 像 A中的幾個元素可能對應(yīng)同一個像 A中的任何元素有唯一的像 方向性 B到A不一定是映射 B到A是一一映射 【做一做2】 下列對應(yīng)是集合M到集合N的一一映射的是( ). A.M=N=R,f:x→y=-,x∈M,y∈N B.M=N=R,f:x→y=x2,x∈M,y∈N C.M=N=R,f:x→y=,x∈M,y∈N D.M=N=R,f:x→y=x3,x∈M,y∈N 3.函數(shù)與映射 函數(shù)是特殊的映射,對于映射f:A→B,當(dāng)兩個集合A,B均為非空________時,則從A到B的映射就是函數(shù),所以函數(shù)一定是______

5、__,而映射不一定是函數(shù).在函數(shù)中,________的集合稱為函數(shù)的定義域,________的集合稱為函數(shù)的值域. 【做一做3】下列對應(yīng)為A到B的函數(shù)的是( ). A.A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x| B.A=Z,B=N+,f:x→y=x2 C.A=Z,B=Z,f:x→y= D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0 答案:1.每一個 唯一 原像 像 【做一做1-1】 C 【做一做1-2】 A 2.(2)A 像 (3)原像 映射 【做一做2】 D 用排除法,選項A中集合M的元素0,在f下,N中沒有元素與之對應(yīng),所以這個對應(yīng)不是映射;選項B中集合

6、M的元素±1,在f下的像都是1,故排除B;選項C中,負(fù)實數(shù)及0在f下沒有元素和它對應(yīng),應(yīng)排除;故選D. 3.?dāng)?shù)集 映射 原像 像 【做一做3】 D 由函數(shù)的定義可知,對于選項A,0∈R, 且|0|=0B,故A項中的對應(yīng)不是A到B的函數(shù); 對于選項B,0∈Z,且02=0N+, 故B項中的對應(yīng)不是A到B的函數(shù); 對于選項C,當(dāng)x<0時,如-2∈Z,但無意義, 故C項中的對應(yīng)不是A到B的函數(shù); 對于選項D,是多對一的情形, 符合函數(shù)的定義,是A到B的函數(shù). 1.映射f:A→B到底是什么?怎樣理解映射的概念? 剖析:對于映射這個概念,可以從以下幾點來理解: ①映射中的兩個集

7、合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等;②映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的;③映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有像,并且像是唯一的;A中兩個(或多個)元素可能有相同的像,這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應(yīng)的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心;映射允許集合B中存在元素在A中沒有原像,即映射只能是“多對一”或“一對一”,不能是“一對多”. 2.如何理解一一映射的概念? 剖析:(1)一對一:一一映射f:A→B中,要求原像不同,像也不同. 集合A中不同的元素在集合B中有不同的像,集合B中的元素都有不同的原像. (2)可逆性:若映射f:A→B是一一映射,則

8、集合B到集合A的映射一定是一一映射f′:B→A. 題型一 判斷映射 【例1】下列對應(yīng)是不是從A到B的映射? (1)A=R,B={正實數(shù)},f:x→|x|; (2)A={x|x≥2,x∈N+},B={y|y≥0,y∈Z},f:x→y=x2-2x+2; (3)A={x|x>0},B={y|y∈R},f:x→y=±. 分析:從定義出發(fā)來判斷.從集合A到集合B的映射,是指按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng). 反思:映射應(yīng)滿足存在性:集合A中的每一個元素在集合B中都有對應(yīng)元素;唯一性:集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng).

9、 題型二 求某一映射中的像或原像 【例2】 已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是從A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中元素在B中的對應(yīng)的元素和B中元素在A中的對應(yīng)元素. 分析:把x=代入對應(yīng)關(guān)系中可求得在B中對應(yīng)的元素,在A中對應(yīng)的元素可通過列方程組解出. 反思:求某一映射中的像或原像,要準(zhǔn)確地利用映射的關(guān)系,恰當(dāng)?shù)亓谐龇匠袒蚍匠探M. 題型三 求映射的個數(shù)問題 【例3】 已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B滿足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的個數(shù). 分析:A中元素在f下對應(yīng)B中的一個、兩個或三個,并且滿足

10、f(a)+f(b)=f(c),需分類討論. 反思:理解映射的概念是解決本題的關(guān)鍵;另外,依映射的定義,若集合A中有m個不同元素,集合B中有n個不同元素,則A到B共有nm個映射,B到A共有mn個映射. 答案:【例1】 解:(1)中,當(dāng)x=0∈A時,|x|=0B,即A中的元素0按對應(yīng)法則f:x→|x|在B中沒有像,∴(1)不是映射. (2)中,∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1≥0,∴對任意的x,總有y≥0.又當(dāng)x≥2,且x∈N+時,x2-2x+2必為整數(shù),即y∈Z.由A={x|x≥2,x∈N+},B={y|y≥0,y∈Z}知,當(dāng)x∈A時,x2-2x+2∈B,∴對A中每一個元素x,按

11、對應(yīng)法則f:x→y=x2-2x+2,在B中都有唯一的y與之對應(yīng),∴(2)是映射. (3)中,對任意的x∈A={x|x>0},按對應(yīng)法則f:x→y=±,存在兩個y∈B={y|y∈R},即y=和y=-與之對應(yīng),∴(3)不是映射. 【例2】 解:將x=代入對應(yīng)關(guān)系,可求出其在B中的對應(yīng)元素為(+1,3). 由得x=. 所以在B中的對應(yīng)元素為(+1,3),在A中的對應(yīng)元素為. 【例3】 解:(1)當(dāng)A中三個元素都是對應(yīng)0時, 則f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1個映射. (2)當(dāng)A中三個元素對應(yīng)B中兩個元素時,滿足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4個,分別為1+0=1,0+

12、1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1. (3)當(dāng)A中的三個元素對應(yīng)B中的三個元素時,有2個映射,分別是(-1)+1=0,1+(-1)=0. 因此滿足題設(shè)條件的映射有7個. 1 設(shè)集合A={a,b,c},集合B=R,以下對應(yīng)關(guān)系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( ). A.對集合A中的數(shù)開平方 B.對集合A中的數(shù)取倒數(shù) C.對集合A中的數(shù)取算術(shù)平方根 D.對集合A中的數(shù)立方 2 已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像,且對任意的a∈A,在B中和它對應(yīng)的元素是|a|,則集合B中

13、的元素的個數(shù)是( ). A.4 B.5 C.6 D.7 3 設(shè)集合A,B都是坐標(biāo)平面上的點集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),則在f下,像(2,1)的原像為( ). A.(3,1) B. C. D.(1,3) 4 設(shè)集合A={1,2,3},集合B={a,b,c},那么從集合A到集合B的一一映射的個數(shù)為__________. 5 判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射,其

14、中哪些是一一映射?哪些是函數(shù)?為什么? (1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},對應(yīng)關(guān)系f:x→2x+1; (2)A={平面內(nèi)的圓},B={平面內(nèi)的矩形},對應(yīng)關(guān)系是“作圓的內(nèi)接矩形”; (3)A={1,2,3,4},B=,對應(yīng)關(guān)系f:x→. 答案:1.D 當(dāng)a<0時,對a開平方或取算術(shù)平方根均無意義,則A,C項錯;當(dāng)a=0時,對a取倒數(shù)無意義,則B項錯;由于任何實數(shù)都有立方,并且其立方僅有一個,所以對集合A中的數(shù)立方能建立映射. 2.A ∵a∈A,∴|a|=1,2,3,4,即B={1,2,3,4}. 3.B ∵∴故應(yīng)選B. 4.6 集合A中有3個元素,集合B中有3個元素,根據(jù)一一映射的定義可知從A到B的一一映射有6個. 5.解:(1)是映射也是函數(shù),但不是一一映射.因為數(shù)集A中的元素x按照對應(yīng)關(guān)系f:x→2x+1和數(shù)集B中的元素2x+1對應(yīng),這個對應(yīng)是數(shù)集A到數(shù)集B的映射,也是函數(shù).但B中的元素4,6,8沒有原像,不能構(gòu)成一一映射. (2)不是從集合A到集合B的映射,更不是函數(shù)或者一一映射.因為一個圓有無窮多個內(nèi)接矩形,即集合A中任何一個元素在集合B中有無窮多個元素與之對應(yīng). (3)是A到B的映射,也是函數(shù)和一一映射.

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