高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進一步認(rèn)識（第3課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

2.3 映射 1．了解映射的概念，能夠判定一些簡單的對應(yīng)是否為映射． 2．理解映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系． 1．映射 設(shè)兩個非空集合A與B之間存在著對應(yīng)關(guān)系f，而且對于A中的_________元素x，B中總有_______的一個元素y與它對應(yīng)，就稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B.A中的元素x稱為_______，B中的元素y稱為x的_______，記作f：x→y. 映射是對應(yīng)，但對應(yīng)不一定是映射，即映射是特殊的對應(yīng)． 【做一做1－1】 給出下列4個對應(yīng)，是映射的是( )． A．③④ B．①② C．②③ D．①④ 【做一做1－2】 在映射f：A→B中，下列說法中不正確的為( )． ①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一個元素與它相對應(yīng)． ②集合B中至少存在一個元素在集合A中無原像． ③集合B中可能有元素在集合A中無原像． ④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一個． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．一一映射 當(dāng)映射f：A→B滿足： (1)A中的每一個元素在B中都有唯一的像與之對應(yīng)；(2)__________中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一個元素都有__________， 那么就稱映射f：A→B是——映射，——映射也叫作一一對應(yīng)，一一映射是特殊的__________． 映射和一一映射的區(qū)別與聯(lián)系 映射f：A→B 一一映射f：A→B 定義 對于集合A中的每一個元素x，B中總有唯一的一個元素y與之對應(yīng)，就稱這樣的對應(yīng)為A到B的映射 A到B的映射滿足：A中的每一個元素在B中都有唯一的像與之對應(yīng)，A中的不同元素的像也不同；B中的每一個元素都有原像，則該映射又稱為一一映射 對應(yīng)方式 多對一或一對一 一對一 原像 B中的一些元素可能沒有原像 B中的任何元素有唯一的原像 像 A中的幾個元素可能對應(yīng)同一個像 A中的任何元素有唯一的像 方向性 B到A不一定是映射 B到A是一一映射 【做一做2】 下列對應(yīng)是集合M到集合N的一一映射的是( )． A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N 3．函數(shù)與映射 函數(shù)是特殊的映射，對于映射f：A→B，當(dāng)兩個集合A，B均為非空________時，則從A到B的映射就是函數(shù)，所以函數(shù)一定是________，而映射不一定是函數(shù)．在函數(shù)中，________的集合稱為函數(shù)的定義域，________的集合稱為函數(shù)的值域． 【做一做3】下列對應(yīng)為A到B的函數(shù)的是( )． A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2 C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0 答案：1．每一個　唯一　原像　像 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 A 2．(2)A　像　(3)原像　映射 【做一做2】 D　用排除法，選項A中集合M的元素0，在f下，N中沒有元素與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)不是映射；選項B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；選項C中，負(fù)實數(shù)及0在f下沒有元素和它對應(yīng)，應(yīng)排除；故選D. 3．?dāng)?shù)集　映射　原像　像 【做一做3】 D　由函數(shù)的定義可知，對于選項A,0∈R， 且|0|＝0B，故A項中的對應(yīng)不是A到B的函數(shù)； 對于選項B,0∈Z，且02＝0N＋， 故B項中的對應(yīng)不是A到B的函數(shù)； 對于選項C，當(dāng)x＜0時，如－2∈Z，但無意義， 故C項中的對應(yīng)不是A到B的函數(shù)； 對于選項D，是多對一的情形， 符合函數(shù)的定義，是A到B的函數(shù)． 1．映射f：A→B到底是什么？怎樣理解映射的概念？ 剖析：對于映射這個概念，可以從以下幾點來理解： ①映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等；②映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的；③映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中兩個(或多個)元素可能有相同的像，這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應(yīng)的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心；映射允許集合B中存在元素在A中沒有原像，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”． 2．如何理解一一映射的概念？ 剖析：(1)一對一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同． 集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像． (2)可逆性：若映射f：A→B是一一映射，則集合B到集合A的映射一定是一一映射f′：B→A. 題型一 判斷映射 【例1】下列對應(yīng)是不是從A到B的映射？ (1)A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：x→|x|； (2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2； (3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±. 分析：從定義出發(fā)來判斷．從集合A到集合B的映射，是指按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)． 反思：映射應(yīng)滿足存在性：集合A中的每一個元素在集合B中都有對應(yīng)元素；唯一性：集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)． 題型二 求某一映射中的像或原像 【例2】 已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是從A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的對應(yīng)的元素和B中元素在A中的對應(yīng)元素． 分析：把x＝代入對應(yīng)關(guān)系中可求得在B中對應(yīng)的元素，在A中對應(yīng)的元素可通過列方程組解出． 反思：求某一映射中的像或原像，要準(zhǔn)確地利用映射的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)亓谐龇匠袒蚍匠探M． 題型三 求映射的個數(shù)問題 【例3】 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B滿足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的個數(shù)． 分析：A中元素在f下對應(yīng)B中的一個、兩個或三個，并且滿足f(a)＋f(b)＝f(c)，需分類討論． 反思：理解映射的概念是解決本題的關(guān)鍵；另外，依映射的定義，若集合A中有m個不同元素，集合B中有n個不同元素，則A到B共有nm個映射，B到A共有mn個映射． 答案：【例1】 解：(1)中，當(dāng)x＝0∈A時，|x|＝0B，即A中的元素0按對應(yīng)法則f：x→|x|在B中沒有像，∴(1)不是映射． (2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0，∴對任意的x，總有y≥0.又當(dāng)x≥2，且x∈N＋時，x2－2x＋2必為整數(shù)，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}知，當(dāng)x∈A時，x2－2x＋2∈B，∴對A中每一個元素x，按對應(yīng)法則f：x→y＝x2－2x＋2，在B中都有唯一的y與之對應(yīng)，∴(2)是映射． (3)中，對任意的x∈A＝{x|x＞0}，按對應(yīng)法則f：x→y＝±，存在兩個y∈B＝{y|y∈R}，即y＝和y＝－與之對應(yīng)，∴(3)不是映射． 【例2】 解：將x＝代入對應(yīng)關(guān)系，可求出其在B中的對應(yīng)元素為(＋1,3)． 由得x＝. 所以在B中的對應(yīng)元素為(＋1,3)，在A中的對應(yīng)元素為. 【例3】 解：(1)當(dāng)A中三個元素都是對應(yīng)0時， 則f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1個映射． (2)當(dāng)A中三個元素對應(yīng)B中兩個元素時，滿足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4個，分別為1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1，0＋(－1)＝－1. (3)當(dāng)A中的三個元素對應(yīng)B中的三個元素時，有2個映射，分別是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0. 因此滿足題設(shè)條件的映射有7個． 1 設(shè)集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下對應(yīng)關(guān)系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是( )． A．對集合A中的數(shù)開平方 B．對集合A中的數(shù)取倒數(shù) C．對集合A中的數(shù)取算術(shù)平方根 D．對集合A中的數(shù)立方 2 已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像，且對任意的a∈A，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是( )． A．4 B．5 C．6 D．7 3 設(shè)集合A，B都是坐標(biāo)平面上的點集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，則在f下，像(2,1)的原像為( )． A．(3,1) B. C. D．(1,3) 4 設(shè)集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么從集合A到集合B的一一映射的個數(shù)為__________． 5 判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函數(shù)？為什么？ (1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，對應(yīng)關(guān)系f：x→2x＋1； (2)A＝{平面內(nèi)的圓}，B＝{平面內(nèi)的矩形}，對應(yīng)關(guān)系是“作圓的內(nèi)接矩形”； (3)A＝{1,2,3,4}，B＝，對應(yīng)關(guān)系f：x→. 答案：1．D　當(dāng)a＜0時，對a開平方或取算術(shù)平方根均無意義，則A，C項錯；當(dāng)a＝0時，對a取倒數(shù)無意義，則B項錯；由于任何實數(shù)都有立方，并且其立方僅有一個，所以對集合A中的數(shù)立方能建立映射． 2．A　∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}． 3．B　∵∴故應(yīng)選B. 4．6　集合A中有3個元素，集合B中有3個元素，根據(jù)一一映射的定義可知從A到B的一一映射有6個． 5．解：(1)是映射也是函數(shù)，但不是一一映射．因為數(shù)集A中的元素x按照對應(yīng)關(guān)系f：x→2x＋1和數(shù)集B中的元素2x＋1對應(yīng)，這個對應(yīng)是數(shù)集A到數(shù)集B的映射，也是函數(shù)．但B中的元素4,6,8沒有原像，不能構(gòu)成一一映射． (2)不是從集合A到集合B的映射，更不是函數(shù)或者一一映射．因為一個圓有無窮多個內(nèi)接矩形，即集合A中任何一個元素在集合B中有無窮多個元素與之對應(yīng)． (3)是A到B的映射，也是函數(shù)和一一映射．