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1、2020屆高中數(shù)學二輪總復習 綜合訓練（一） 理 新課標(湖南專用)
時量：50分鐘 滿分：50分
解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
1.已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．
(1)當a∥b時，求2cos2x－sin2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．
解析：(1)因為a∥b，所以cosx＋sinx＝0，
所以tanx＝－.
所以2cos2x－sin2x＝＝＝.
(2)因為a＋b＝(sinx＋cosx，)，
所以f(x)＝(a＋b)·b＝si
2、n(2x＋)．
因為－≤x≤0，所以－≤2x＋≤，
所以－1≤sin(2x＋)≤，所以－≤f(x)≤.
所以函數(shù)f(x)的值域為[－，]．
2.某外資企業(yè)計劃從應屆畢業(yè)的大學生中招聘從事外貿(mào)翻譯工作的人員，現(xiàn)有若干人進入應聘面試階段，他們至少精通英語和日語中的一種語言，已知精通英語的有5人，精通日語的有2人．現(xiàn)從中隨機選2人，設X表示選出的2人中既精通英語又精通日語的人數(shù)，且P(X>0)＝.
(1)求進入應聘面試階段的人數(shù)；
(2)求X的分布列和數(shù)學期望EX.
解： (1)設既精通英語又精通日語的人數(shù)為x，則進入應聘面試階段的人數(shù)為7－x人，只精通一種語言的人數(shù)為7－2x人．
3、
由題設P(X>0)＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝，
所以P(X＝0)＝，因此＝＝，解之得x＝2.
故進入應聘面試階段的人數(shù)為5人．
(2)由題設X的可能取值為0,1,2.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
則X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
EX＝0×＋1×＋2×＝.
3.在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點．
(1)求證：EF⊥CD；
(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值；
(3)在平面PAD內(nèi)是否存在一點G，使G在平面PCB上的射影為△
4、PCB的外心．若存在，試確定點G的位置；若不存在，說明理由．
解析：以D為坐標原點，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
設AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，，0)，P(0,0，a)，F(xiàn)(，，)．
(1)證明：因為＝(－，0，)，＝(0，－a,0)，
所以·＝(－，0，)·(0，－a,0)＝0，
所以EF⊥CD.
(2)設平面DEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則，即，
取x＝1，則y＝－2，z＝1，所以n＝(1，－2,1)．
設BD與平面DEF所成的角為θ，
則sinθ＝|
5、cos，n|＝
＝＝，
所以BD與平面DEF所成角的正弦值為.
(3)假設存在點G滿足題意．
因為G∈平面PAD，可設G(m,0，n)．
因為·＝(a,0,0)·(0，－a，a)＝0，
所以BC⊥PC.
在Rt△PBC中，因為F為斜邊PB的中點，
所以F(，，)為Rt△PBC的外心．
又＝(m－，－，n－)，由FG⊥平面PCB，
有·＝(m－，－，n－)·(a,0,0)＝a(m－)＝0，得m＝.
·＝(m－，－，n－)·(0，－a，a)＝＋a(n－)＝0，得n＝0.
所以存在點G，其坐標為(，0,0)，即G為AD的中點．
4.某地政府為科技興市，欲將如圖所示
6、的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，OA∥BC且AB＝BC＝2AO＝4 km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在OC上，問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積S最大？并求出最大的用地面積．(精確到0.1 km2)
解析：以O為原點，OA所在直線為y軸建立直角坐標系如圖所示．
依題意可設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)且C(4,2)．
因為22＝2p×4，所以p＝.
所以曲線段OC的方程為y2＝x(0≤x≤4，y≥0)．
設P(y2，y)(0≤y<2)是曲線段OC上任意
7、一點，則在矩形PQBN中，|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2，
所以工業(yè)園區(qū)面積
S＝|PQ|·|PN|＝(2＋y)(4－y2)
＝－y3－2y2＋4y＋8.
又S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，得y1＝，y2＝－2.
因為0≤y<2，所以y＝.
當y∈[0，)時，S′＞0，S是y的增函數(shù)；
當x∈(，2)時，S′＜0，S是y的減函數(shù)．
所以，當y＝時，S取得極大值，
此時|PQ|＝2＋y＝，|PN|＝4－y2＝，
故S＝×≈9.5(km2)．
因為y＝0時，S＝8，所以Smax＝9.5(km2)．
答：當矩形的長為 km，寬為 km時，工業(yè)園區(qū)的用地面積最大，且最大面積約為9.5 km2.
2020屆高中數(shù)學二輪總復習 綜合訓練（一） 理 新課標(湖南專用)
