2020年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

2020年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù) 2．已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=2x-x2． (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實數(shù)a、b(a≠b)使f(x)在[a，b]上的值域為[],若存在，求a和b，若不存在，說明理由． ∴x1=-1,x2=-,x3=(舍)，∴a=-,b=-1. 綜合①,②知存在實數(shù)a,b,使f(x)在[a,b]上的值域為[]，有a=1,b=或a=-1或b-. 3.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c∈R，且滿足a＞b＞c,f(1)=0. (1)證明：函數(shù)f(x)與g(x)的圖像交于不同的兩點A、B; (2)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a、b的值. (3)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍. . 難點 2 三個“二次”的綜合問題 1.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，且a>0)，設(shè)方程f(x)=x的兩個實根為x1和x2， (1)如果x1＜2<x2<4，且函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0，求證：x0>-1． (2)如果|x1|＜2,|x2-x1|=2,求b的取值范圍． 2．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R，a≠0)滿足條件： ①當x∈R,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x； ②當x∈(0，2)時,f(x)≤； ③f(x)在R上的最小值為0． (1)求f(x)的表達式； (2)求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈就有f(x+t)≤x恒成立． 3．已知f(x)=ax2+2bx+4c(a、b、c∈R) (1)當a≠0時，若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=±x均無公共點，求證：4ac-b2＞. (2)若a+c=0,f(x)在[-2，2]上的最大值為，最小值為-求證：≤2． (3)當b=4，c=時，對于給定負數(shù)a，有一個最大正數(shù)M(a)使得x∈[0，M(a)]時都有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大，并求出這個最大值M(a)證明你的結(jié)論． (4)若f(x)同時滿足下列條件①a>0；②當|x|≤2時，有|f(x)|≤2；③當|x|≤1時,f(x)最大值為2，求f(x)的解析式． M(a)= 難點3 含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問題 1．已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，當點(x，y)在y=f(x)圖像上運動時，點P( ,2y)在函數(shù)y=g(x)的圖像上運動． (1)求y=g(x)的解析式； (2)當t=4，且x∈[0，1]時，求g(x)-f(x)的最小值； (3)若在x∈[0，1]時恒有g(shù)(x)＞f(x)成立，求t的取值范圍． (3)由g(x)>f(x)，即2log2(2x+t)>log2(x+1)，在x∈[0，1]時恒成立，即(x)=4x2+4(t-1)x+t2-1>0在[0，1]上恒成立．即即1＜t≤或t＞ 綜合，得t>1． 即滿足條件t的取值范圍是(1，+∞) 2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3a(a＞0且a≠1)的反函數(shù)為y=f-1(x)，已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f-1(x)的圖像關(guān)于點(a，0)對稱． (1)求函數(shù)y=g(x)的解析式； (2)是否存在實數(shù)a，使當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f-1(x)-g(-x)|≤1成立?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由． 【易錯點點睛】 易錯點1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用 1．(2020模擬題精選)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1，1)上是增函數(shù)，求t 的取值范圍． 由①,②得a=1. 3．已知函數(shù)f(x)的二項式系數(shù)為a，且不等式f(x)>-2x的解集為(1，3)． (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍． 【特別提醒】 利用二次函數(shù)圖像可以求解一元二次不等式和討論一元二次方程的實根分布情況，還可以討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．對于根的分布問題，一般需從三個方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點函數(shù)值的正負；③對稱軸x=-與區(qū)間端點的關(guān)系．另外，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點的橫坐標與閉區(qū)間的相對位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解. 【變式探究】 1 若函數(shù)f(x)=x2+bx+c 對任意實數(shù)f(1+x)=f(-x)，則下面不等關(guān)系成立的是 ( ) A．f(2)>f(0)>f(-2) B．f(-2)＞f(2)＞(0) C．f(0)＞f(-2)＞f(2) D. f(-2)＞f(0)>f(2) 3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(1，b∈R)． (1)若f(-1)=0，則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求f(x)的表達式． 4 已知二次函數(shù)f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值為3，求a的值． 答案：解析：原函數(shù)式可化為f(x)=lga由已知，f(x)有最大值3，∴l(xiāng)ga<0并且 整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga= 易錯點2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用 1．(2020模擬題精選)函數(shù)y=e｜lnx｜-|x-1|的圖像大致是 ( ) 2．(2020模擬題精選)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數(shù)中，當0<x1<x2<1，使f>恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) A.0 B．1 C．2 D．3 3．(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0, )內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ) A.(-∞，-) B．(-，+∞) C．(0，+∞) D．(-∞，-) 【錯誤答案】 選A或C 【錯解分析】 選A，求f(x)的單調(diào)區(qū)間時沒有考慮函數(shù)定義域?qū)е洛e誤；選C，求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時沒有注意內(nèi)、外層函數(shù)均遞減時，原函數(shù)才是增函數(shù)．事實上 (0，+∞)是f(x)的遞減區(qū)間． 【正確解答】 D ∵f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)>0，若a>1，則由f(x)>0 x>或x<-1．與題設(shè)矛盾.∴0<a<1．設(shè)(x)= 2x2+x=2(x+)2-.(x)>0x>0 (2)解法1 由｜m-f-1(x)｜+ln(f′(x))<0得-ln+ln(ex-a)<m<ln(ex-a)+ln．即對于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有<em＜ ① 設(shè)t=ex，u(t)=，v(t)=，于是不等式①化為u(t)<em<v(t)，t∈[3a，4a] 當t1<t2,t1,t2∈[3a，4a]時 u(t2)-u(t1)=-=＞0. 【特別提醒】 論由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要弄清復合函數(shù)的構(gòu)成，然后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性加以解決，注意不可忽視定義域，忽視指數(shù)和對數(shù)的底數(shù)對它們的圖像和性質(zhì)起的作用. 【變式探究】 1 已知函數(shù)f(x)=(ex+e2-x)(x<1)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則 ( ) A．f-1()<f-1() B．f-1()＞f-1() C.f-1()<f-1(2) D.f-1()＞f-1(2) 答案： D 解析： f(x)= 2 已知f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值與最小值之和為a，則a的值為 ( ) A. B. C．2 D．4 答案： B解析：f(x)=ax+loga(x+1)是單調(diào)遞增（減）函數(shù). (∵y=ax與y=loga(x+1)單調(diào)性相同).且在[0，1]的最值分別在端點處取得，最值之和：f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, ∴l(xiāng)oga2+1=0, ∴a=選B. 3 對于0<a<1，給出下列四個不等式 ( ) ①loga(1+a)＜loga(1+) ②loga(1+a)＞loga(1+) ③a1+a<④a1+a> 其中成立的是 ( ) A.①與③ B.①與④ C.②與③ D．②與④ 答案： D 解析： 選D。 4.已知函數(shù)f(x)=loga[(-2)x+1]在區(qū)間[1，2]上恒為正，求實數(shù)a的取值范圍． 答案：在區(qū)間[1，2]上使f(x)>0恒成立。 解析：（1）當a>1時，只要 即與1矛盾. (2)當0<a<1時，設(shè)g(x)=只要0<g(x)<1. a=時，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒為正。 當0<a<時， 當 易錯點 3 函數(shù)的應用 1．(2020模擬題精選)某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1=5．06x-0．15x2，和L2=2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為 ( ) A．45．606 B．45．6 C．46．8 D．46．806 2．甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)． (1)將乙方的年利潤W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量． (2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失余額y=0．002t2.在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少? v=-. 又v′=--令v′=0得S=20，當S<20時，v′>0；當S>20時，v′<0， ∴S=20時，v取得最大值． 因此甲方向乙方要求賠付價格S=20(元／噸)時，獲得最大凈收入． 3．(2020模擬題精選)某段城鐵線路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站，在實際運行時，假設(shè)列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度vkm／h，勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差． (1)分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差； (2)若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求v的取值范圍． 當0<v≤時，(*)式變形為-7+-11≤2， 解得39≤v≤. 當＜v≤，(*)式變形為7-+-11≤2， 解得<v≤ 當v>時，(*)式變形為7-+11-≤2， 解得<v≤， 綜上所述，v的取值范圍是[39, ] 4．(2020模擬題精選)某人在一山坡P處觀看對面山崖頂上的一座鐵塔．如圖所示，塔及所在的山崖可視為圖中的豎直線OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=．試問，此人距山崖的水平距離多遠時，觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高)? tan ∠BPC= 設(shè)u= ∴ux2-(288u-64)x+160×640u=0 ① ∵u≠0 ∵x∈R.△=(288u-64)2-4×160×640u2≥0. 解得 u≤2． 當u=2時，x=320．即此人距山崖320米時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大． 【錯解分析】 上述解答過程中利用x∈R由判別式法求u的最大值是錯誤的，因為x當且僅當x=時上式取得等號．故當x=320時tan∠BPC最大． 由此實際問題知，0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大時，∠BPC最大，故當此人距山崖水平距離為320米時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大． 5．(2020模擬題精選)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0．5萬元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入0．25萬元，市場對此產(chǎn)品的需要量為500件，銷售收入為函數(shù)為R(x)=5x-(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百件)． (1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)． (2)年產(chǎn)量是多少時，當年公司所得利潤最大? (3)年產(chǎn)量是多少時，當年公司不虧本?(取=4．65)． 【特別提醒】 與函數(shù)有關(guān)的應用題經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、稅收、市場信息等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題，解答這類問題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)的解析式，然后應用函數(shù)知識加以解決.在求得數(shù)學模型的解后應回到實際問題中去，看是否符合實際問題. 【變式探究】 1 把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是 ( ) A．cm2 B.4cm2 C．3cm2 D.2cm2 答案： D 解析： S= 2 將一張2mx6m的硬鋼板按圖紙的要求進行操作，沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱(其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦)，設(shè)水箱的高為xm，容積為ym3)． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； 3 (2020模擬題精選)某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元． (1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車? 5 (2020模擬題精選)如圖，在直線y=0和y=a(a>0)之間表示的是一條河流，河流的一側(cè)河岸(x軸)是一條公路，公路上的公交車站P(x，0)隨時都有公交車來往．家住A(0，a)的某學生在位于公路上B(2a，0)處的學校就讀，每天早晨學生都要從家出發(fā),可以先乘船渡河到達公路上公交車站，再乘公交車去學校，或者直接乘船渡河到達公路上B(2a，0)處的學校．已知船速為v0(v0＞0)，車速為2v0(水流速度忽略不計)． (Ⅰ)設(shè)該學生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上的站P(x，0)，再乘公交車去學校，請用x來表示他所用的時間t； 答案：設(shè)該學生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上的車站P(x,0),再乘公交車去學校，則他所用的時間 t=f(x)= (Ⅱ)若≤x≤a，請問該學生選擇哪種上學方式更加節(jié)約時間，并說明理由．(取=1．414，=2．236) 答案：若該學生選擇先乘船渡河到達公路上的車站p(x,0),再乘公交車去學校，則他所用的時間為 2 已知f(x)=，則下列正確的是 ( ) A.奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B.偶函數(shù)，在R上為增函數(shù) C.奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D.偶函數(shù)，在R上為減函數(shù) 答案： A 解析：∵函數(shù)f(x)= 3 若不等式x2+2x+a≥-y2-2y對任意實數(shù)x、y都成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≥3 答案： C解析：原不等式即為a≥2-[x+1]2+(y+1)2]恒成立，只需a大于或等于2-[（x+1）2+(y+1)2]的最大值為2，即a≥2. 4 若函數(shù)f(x)=logax(0<a<1)在區(qū)間[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，則a等于 ( ) 10 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0．且方程f(x)+1=0有實根． (1)證明：-3<c≤-1且b≥0． 答案：解(1)f(1)=0?1+2b+c=0?b=,又c<b<1,故c<-① 方程f(x)+1=0有實根,即x2+2bx+c+1=0有實根,故△=4b2-4(c+1) ≥0,即(c+1)2-4(c+1) ≥0,解得c≥3或≤-1② g(0)=c≥1.g(1)=a+b-1+c≥1. 則 13.校食堂改建一個開水房，計劃用電爐或煤炭燒水，但用煤時也要用電鼓風及時排氣，用煤燒開水每噸開水費用S元，用電爐燒開水每噸開水費用為P元，S=5m+0．8n+5，P=10．8n+20．其中m為每噸煤的價格，n為每百度電的價格；如果燒煤時的費用不超過用電爐時的費用，則用煤燒水；否則就用電爐燒水． (1)如果兩種方法燒水費用相同，試將每噸煤的價格表示為每百度電價的函數(shù)；