2020年高考數(shù)學(xué)二輪限時(shí)訓(xùn)練 立體幾何 7 理

第五部分：立體幾何（7） (限時(shí)：時(shí)間45分鐘，滿分100分) 一、選擇題 1．若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是(　　) A．若m?β，α⊥β，則m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β C．若m⊥β，m∥α，則α∥β D．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ 【解析】　A中只有當(dāng)m垂直于α、β的交線時(shí)，才有m⊥α； B中α、β可能相交，如三棱柱的兩個(gè)側(cè)面； C中m∥α?α內(nèi)有一直線 D中，β與γ可能平行，也可能相交(不一定垂直)． 【答案】　C 2．(2020年柳州質(zhì)檢一)設(shè)a、b是不同的直線 ，α、β是不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是(　　) A．若a⊥b，a⊥α，則b∥α B．若a∥α，α⊥β，則a⊥β C．若a⊥β，α⊥β，則a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β 【解析】　A中，b可能在α內(nèi)；B中，a可能在β內(nèi)，也可能與β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α內(nèi)；D中，a⊥b，a⊥α，則b?α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β. 【答案】　D 3. 如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 【解析】∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B， ∴AC⊥平面ABC1. ∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交線是AB.故平面ABC1上一點(diǎn)C1在底面ABC的射影H必在交線AB上． 【答案】　A 4．如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面互相垂直，則這兩個(gè)二面角的大小是(　　) A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．無法確定 【解析】　如圖，α—l—β為直二面角，γ—a—δ為另一個(gè)二面角，使γ⊥α，δ⊥β，a⊥β. 把γ平面固定不動(dòng)，使δ平面繞a轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滿足條件，但γ—a—δ的度數(shù)不能確定，∴應(yīng)選D. 【答案】　D 5．(2020年浙江模擬)下面四個(gè)命題： ①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”； ②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”； ③“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”； ④“平面α∥平面β”的必要不充分條件是“α內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到β的距離相等”． 其中正確命題的序號(hào)是(　　) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解析】　a∥b推不出a平行于b所在平面，反之也不成立． ∴①不正確．由線面垂直的定義知②正確．a(chǎn)、b不相交時(shí)，a、b可能平行，此時(shí)a、b共面．③不正確．當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)一定有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面β的距離相等．反之，設(shè)A、B、C是α內(nèi)三個(gè)不共線的點(diǎn)，當(dāng)β過△ABC的中位線時(shí)，A、B、C三點(diǎn)到β的距離相等，但此時(shí)α、β相交，④正確． 【答案】　C 二、填空題 6．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC所成角的正切值是____． 【解析】　如圖，取BD中點(diǎn)O，連接AO、OE， 則AO⊥BD. ∵平面ABD⊥平面CBD，∴AO⊥平面BCD，OE∥BC， ∴∠AEO即為AE、BC所成的角． 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2， 【答案】　 7．正四棱錐S—ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為______． 【解析】　 由題意知；點(diǎn)P的軌跡為 如圖所示的三角形EFG，其中G、 F為中點(diǎn)， 【答案】　 8．設(shè)P 是60°的二面角α—l—β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥α，PB⊥β，A、B分別為垂足，PA＝2，PB＝4，則AB的長(zhǎng)是________． 【解析】　 設(shè)平面PAB與棱l交于點(diǎn)O，連接AO、BO，則∠AOB為二面角的平面角， ∴∠AOB=60°， ∴∠APB=120°. ∴AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos120° 【答案】　 三、解答題 9. (2020年年蘇北模擬)在四棱錐S—ABCD中，已知AB∥CD，SA＝SB，SC＝SD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)． (1)求證：平面SEF⊥平面ABCD； (2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求證：AB∥l. 【證明】(1)由SA＝SB，E為AB中點(diǎn)得SE⊥AB. 由SC＝SD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)得SF⊥DC. 又AB∥DC，∴SB⊥SF. 又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF. 又∵AB?平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD?平面SCD， ∴AB∥平面SCD. 又∵平面SAB∩平面SCD＝l， 根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理得：AB∥l. 10. (2020年九江模擬)如圖，四棱錐S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一動(dòng)點(diǎn)． (1)求證：平面EBD⊥平面SAC； (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角B—SC—D的大小為120°？ (3)在(2)的條件下，設(shè)AB＝1，當(dāng)E位于何處時(shí)，恰為四棱錐S—ABCD的外接球的球心．并求該球的體積． 【解析】　(1) ??平面EBD⊥平面SAC. (2)由題設(shè)易知，Rt△SBC ≌Rt△SDC. 設(shè)BE⊥SC，則DE⊥SC. ∴∠BED為二面角B—SC—D的平面角． ∴∠BED＝120°. 設(shè)AB＝a，SA＝b，計(jì)算可得，BE＝DE＝ 而BD＝a，代入余弦定理： BD2＝BE2＋DE2－2BE·DE·cos120°?a＝b， 從而＝1. (3)當(dāng)E為SC的中點(diǎn)時(shí)，恰為四棱錐S—ABCD的外接球球心，利用補(bǔ)形法可把四棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則E點(diǎn)為對(duì)角線交點(diǎn)，即正方體中心，可得結(jié)論． ∴外接球的半徑為R＝，V球＝π.