2020版新教材高中數(shù)學 考點突破素養(yǎng)提升 第二課 等式與不等式 新人教B版必修1

考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學運算 角度1　解方程與方程組 【典例1】關(guān)于x的方程x2-4x+k=0與2x2-3x+k=0有一個相同的根，求k的值. 【解析】設(shè)x2-4x+k=0的兩根為α，β， 2x2-3x+k=0的兩根為α，γ，則 ①-③得：β-γ=⑤， 由②④得：αβ=2αγ⑥ 當α=0時，由②得：k=0； 當α≠0時，由⑥得：β=2γ， 代入⑤得：β=5；把β=5代入①得，α=-1， 代入②得，k=-5，所以k=0或k=-5. 【類題·通】 求參數(shù)的值是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的常見應用，解題步驟是列方程組，解方程組. 【加練·固】 　 　若方程x2+3x+k=0的兩根之差為5，求k值. 【解析】設(shè)方程的兩根為α，α+5， 由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+α+5=-3， 所以α=-4，所以α+5=1， 所以k=α(α+5)=-4×1=-4. 角度2　解不等式與不等式組 【典例2】在R上定義運算：=ad-bc.若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】選D.原不等式等價于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1， 即x2-x-1≥(a+1)(a-2)對任意x恒成立， x2-x-1=-≥-， 所以-≥a2-a-2，-≤a≤. 【類題·通】 解決“恒成立”的基本方法是轉(zhuǎn)化法，其基本步驟有兩步，即分離與求最值，本題進行了巧妙的轉(zhuǎn)化后，變成解一元二次不等式問題. 素養(yǎng)二　邏輯推理 角度1　不等式的性質(zhì)及其應用 【典例3】(1)已知a，b滿足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，則x，y滿足的大小關(guān)系是 (　　) A.x≤y B.x≥y C.x<y D.x>y (2)若<<0，則不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|； ③a<b；④+>2中，正確的有 (　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 (3)若a，b>0，且P=，Q=，則P，Q的大小關(guān)系是 (　　) A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 【解析】(1)選B.x-y=a2+b2+20-4(2b-a)=(a+2)2+(b-4)2≥0，所以x≥y. (2)選B.由<<0，得ab>0，b<a<0. 故a+b<0<ab，|b|>|a|，因此①正確，②錯 誤，③錯誤.又+-2=>0，因此④正確. (3)選D.P2-Q2=-(a+b) =-≤0，所以P2≤Q2，即P≤Q. 【類題·通】 不等式的性質(zhì)是進行不等關(guān)系的推理運算的理論基礎(chǔ)，應注意準確應用，保證每一步的推理都有根據(jù).要熟練掌握不等式性質(zhì)應用的條件，以防推理出錯. 【加練·固】 如果a，b，c滿足c<b<a且ac<0，則下列選項中不一定成立的是(　　) A.ab>ac　　　 B.c(b-a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0 【解析】選C.c<b<a，ac<0?a>0，c<0. 對于A：?ab>ac，A正確. 對于B：?c(b-a)>0，B正確； 對于C：?cb2≤ab2，即C不一定成立. 對于D：ac<0，a-c>0?ac(a-c)<0，D正確. 角度2　均值不等式及其應用 【典例4】當x≥0時，求x+的最小值. 【解析】因為x+=(x+1)+-1， 又x≥0，所以x+1>0，>0， 所以x+1+≥2.當且僅當x+1=， 即x=-1時，x+取最小值2-1. 【類題·通】 利用均值不等式求最值的策略 【加練·固】 已知x>0，y>0，xy=10，求+的最小值. 【解析】因為x>0，y>0，xy=10，所以+≥2=2，當且僅當=，即x=2，y=5時，等號成立， 故+的最小值為2. 素養(yǎng)三　直觀想象 角度　解絕對值不等式 【典例5】已知不等式|x+2|-|x+3|>m. (1)若不等式有解. (2)若不等式解集為R. (3)若不等式解集為，分別求出m的范圍. 【解析】方法一：因為|x+2|-|x+3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點P(x)與兩定點A(-2)，B(-3)距離的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 由圖象知(|PA|-|PB|)max=1， (|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m<1，m的范圍為(-∞，1). (2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比|x+2|-|x+3|的最小值還小，即m<-1，m的范圍為(-∞，-1). (3)若不等式的解集為?，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可，即m≥1，m的范圍為[1，+∞). 方法二：由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1， |x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1， 可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解，則m∈(-∞，1). (2)若不等式解集為R，則m∈(-∞，-1). (3)若不等式解集為?，則m∈[1，+∞). 【類題·通】 解絕對值不等式的常用方法 (1)平方法. (2)分情況討論去絕對值法. (3)利用絕對值的幾何意義，借助數(shù)軸求解法. (4)構(gòu)造函數(shù)，利用圖象求解法. 素養(yǎng)四　數(shù)學建模 角度　基本不等式的實際應用 【典例6】如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.現(xiàn)有36 m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬分別設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？ 【解析】設(shè)每間虎籠長x m，寬y m， 則由條件知，4x+6y=36，即2x+3y=18. 設(shè)每間虎籠面積為S，則S=xy. 方法一：由于2x+3y≥2=2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax= m2，當且僅當2x=3y時，等號成立. 由解得 故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大. 方法二：由2x+3y=18，得x=9-y. 因為x>0，所以0<y<6，S=xy=y=y(6-y). 因為0<y<6，所以6-y>0.所以S≤=. 當且僅當6-y=y，即y=3時，等號成立，此時x=4.5. 故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大. 【類題·通】 解決基本不等式的實際應用問題，關(guān)鍵在于弄清問題的各種數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學模型，解題時，既要注意條件是否具備，還要注意有關(guān)量的實際含義. 【加練·固】 　 　某汽車運輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，若要使其營運的年平均利潤最大，則每輛客車需營運 (　　) A.3年　　B.4年　　C.5年　　D.6年 【解析】選C.設(shè)二次函數(shù)為y=a(x-6)2+11. 又圖象過點(4，7)，代入得7=a(4-6)2+11， 解得a=-1，所以y=-x2+12x-25. 設(shè)年平均利潤為m，則m==-x-+12≤2， 當且僅當x=，即x=5時取等號.