5、＝＋＝.
8．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．
[答案]
[解析] 由條件知，
，
∴P(ξ＝x2)＝，
∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值滿足－≤d≤.
1.(2020·浙江嘉興模擬)甲乙兩人分別獨(dú)立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過面試的概率都是，則面試結(jié)束后通過的人數(shù)ξ的期望是( )
A. B. C．1 D.
[答案] A
[解析] 依題意，ξ的取值為0,1,2.
且P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(ξ＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(ξ＝2)＝×＝.
6、
故ξ的期望Eξ＝0×＋1×＋2×＝＝.
2．口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)列{an}：an＝，如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為( )
A．C2·5 B．C2·5
C．C2·5 D．C2·5
[答案] B
[分析] 關(guān)鍵是弄清S7＝3的含義：S7＝a1＋a2＋…＋a7，而ai的取值只有1和－1，故S7＝3表示在ai的七個(gè)值中有5個(gè)1、2個(gè)－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到紅球．
[解析] S7＝a1＋a2＋…＋a7＝3表示七次取球試驗(yàn)中，恰有2次取到紅球，而一次取球中，取到紅球的概率P1＝，
∴所求概
7、率為P＝C2·5.
3．(2020·浙江六校聯(lián)考)節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)是每束5元；節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.5元的價(jià)格處理．根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求服從如下表所示的分布列：
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤是( )
A．706元 B．690元 C．754元 D．720元
[答案] B
[解析] 由題意，進(jìn)這種鮮花500束，
利潤η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ)
＝3.5ξ－500
而E(ξ)＝2
8、00×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，
∴E(η)＝E(3.5ξ－500)＝3.5E(ξ)－500＝690(元)．
4．(2020·湖南理，15)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則
(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.
[答案] (1) (2)
[解析] 該題為幾何概型，圓的半徑為1，正方形的邊長為，∴圓的面積為π，正方形面積為2，扇形面積為.
故P(A)＝，
9、P(A∩B)＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
5．(2020·湖南)如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中x的值；
(2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
[分析] (1)由頻率和為1，列式求出x的值；(2)從圖中知用水為3至4噸的概率為0.1，又本抽樣為有放回抽樣，故X～B(3,0.1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望．
[解析] (1)依題意及頻率分布直方圖知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.1
10、2.
(2)由題意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×0.729＋1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3.
6．袋中共有10個(gè)大小相同的編號為1、2、3的球，其中1號球有1個(gè)，2號球有m個(gè)，3號球有n個(gè)．從袋中依次摸出2個(gè)球，已知在第一
11、次摸出3號球的前提下，再摸出一個(gè)2號球的概率是.
(1)求m，n的值；
(2)從袋中任意摸出2個(gè)球，設(shè)得到小球的編號數(shù)之和為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．
[解析] (1)記“第一次摸出3號球”為事件A，“第二次摸出2號球”為事件B，則
P(B|A)＝＝，∴m＝3，n＝10－3－1＝6.
(2)ξ的可能的取值為3,4,5,6.
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.
ξ的分布列為
ξ
3
4
5
6
P
E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.
7．(2020·河北唐山)已知7件產(chǎn)品中有2件
12、次品，現(xiàn)逐一不放回地進(jìn)行檢驗(yàn)，直到2件次品都能被確認(rèn)為止．
(1)求檢驗(yàn)次數(shù)為4的概率；
(2)設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
[解析] (1)記“在4次檢驗(yàn)中，前3次檢驗(yàn)中有1次得到次品，第4次檢驗(yàn)得到次品”為事件A，則檢驗(yàn)次數(shù)為4的概率
P(A)＝·＝.
(2)ξ的可能值為2,3,4,5,6，其中
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝·＝，
P(ξ＝4)＝P(A)＝，
P(ξ＝5)＝·＋＝，P(ξ＝6)＝＝.
ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P
ξ的期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝5.
[點(diǎn)評] 要特別注意P(
13、ξ＝5)的情形，一種可能是前四次檢驗(yàn)中有一次得到次品第五次為次品；另一種可能是前五次都是正品則余下的兩件必都是次品．這是它與其它情形不同的地方．
1．(2020·衡陽模擬)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X＝4)的值是( )
A. B. C. D.
[答案] C
[分析] 弄清X＝4的含義是關(guān)鍵，盒中原有3個(gè)舊球，9個(gè)新球，取出3個(gè)球用后放回，此時(shí)盒中舊球數(shù)X＝4，故取出的3個(gè)球中有1個(gè)新球，2個(gè)舊球．
[解析] P(X＝4)＝＝.
2．(2020·廣州模擬)甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某
14、一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為( )
A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88
[答案] D
[解析] P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.
3．(2020·山東棗莊模擬)設(shè)隨機(jī)變量X～B(n,0.5)，且D(X)＝2，則事件“X＝1”的概率為______(用數(shù)字作答)
[答案]
[解析] ∵X～B(n,0.5)，∴D(X)＝n×0.5×(1－0.5)＝2，∴n＝8.∴事件“X＝1”的概率為P(X＝1)＝C×0.5×0.58－1＝.
4．某單位組織職工參加了
15、旨在調(diào)查職工健康狀況的測試．該測試包括心理健康測試和身體健康測試兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目的測試結(jié)果為A、B、C、D、E五個(gè)等級．假設(shè)該單位50位職工全部參加了測試，測試結(jié)果如下：x表示心理健康測試結(jié)果，y表示身體健康測試結(jié)果.
(1)求a＋b的值；
(2)如果在該單位隨機(jī)找一位職工談話，求找到的職工在這次測試中，心理健康為D等級且身體健康為C等級的概率；
(3)若“職工的心理健康為D等級”與“職工的身體健康為B等級”是相互獨(dú)立事件，求a、b的值．
[解析] (1)∵該單位50位職工全部參與了測試，
∴表中標(biāo)出的總?cè)藬?shù)也應(yīng)是50人，
∴a＋b＝50－47＝3.
(2) 從表中可以看出
16、，職工在這次測試中，心理健康為D等級且身體健康為C等級的人數(shù)為6人，
∴所求概率為＝0.12.
(3)∵“職工的心理健康為D等級”與“職工的身體健康為B等級是相互獨(dú)立事件，
∴P(x＝D且y＝B)＝P(x＝D)·P(y＝B)．
即＝×.
又∵a＋b＝3，∴＝×，解得b＝1.
∴a＝2，b＝1.
5．現(xiàn)有甲、乙、丙三人獨(dú)立參加就業(yè)應(yīng)聘考試，根據(jù)各人專業(yè)知識、應(yīng)試表現(xiàn)、儀容儀表等綜合因素考慮，各人合格的概率分別為，，.求：
(1)三人中至少有一人合格的概率；
(2)合格人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望；
(3)記“f(x)＝2ξx＋4在(－3，－1)上存在零點(diǎn)”為事件A，求事件A的概率．
17、
[解析] (1)記甲、乙、丙三人合格分別為事件A1、A2、A3，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝
三人中至少有一人合格的對立事件為三人中沒一人合格，所以三人中至少有一人合格的概率為
1－P(1·2·3)
＝1－××＝.
(2)由題意知，合格人數(shù)ξ可取0,1,2,3，則
P(ξ＝0)＝1－＝，
P(ξ＝1)＝P(A1·2·3＋1·A2·3＋1·2·A3)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1·A2·3＋A1·2·A3＋1·A2·A3)＝，
P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＝.
則分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
則合格人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望：
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝
(3)∵f(x)＝2ξx＋4在(－3，－1)上存在零點(diǎn)，
∴f(－3)·f(－1)<0，
∴(－6ξ＋4)(－2ξ＋4)<0，解得<ξ<2，
∴P(A)＝P(ξ＝1)＝.
2020高考數(shù)學(xué) 課后作業(yè) 11-8 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 理 新人教A版
